偏微分方程建模的案例
偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
展開 Python 求解偏微分方程 1D下的熱傳導方程 ￥2.22
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偏微分方程的數值求解 ￥66
用差分法求解了這個方程。
希望可以和“格子boltzmann方法”研究方向的學者們探討探討。
付費內容為差分法求解的詳細推導步驟和代碼。
【理論】偏微分方程簡介
在之前的文章中有提到，客觀物理世界中的各種現象，都可以使用偏微分方程來描述。
使用比較普遍的是二階偏微分方程。高階偏微分方程能通過引入中間變量的方式來退化為二階偏微分(組)形式。而大部分可以演化為以下最基本的形式：
其中
ea是質量系數(簡單理解可以認為是質量)，da是阻尼系數(簡單理解可以認為是阻尼)，β是對流系數(代表外場對因變量影響)，a是吸收系數，f是源項(可以簡單理解為激勵)。
上述表達式代表著局部微元中的守恒關系式。
有了最基本的二階偏微分方程形式，清楚各項的物理意義。通過設定不同的系數，可以得到不同的常用物理場方程。
比如，因變量u代表溫度T，c=k代表熱傳導系數，f=0表示無熱源，其他各項為0表示無對流等外場作用。這樣就得到了最基本的熱傳導方程——經典的拋物線偏微分方程。
(估計這種理論的文章仔細看的人又會很少。當成是個人筆記吧。）
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基礎課 | 說說偏微分方程
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。
展開 偏微分方程的定解條件
01
—
定解條件
偏微分方程描述的是某一類問題的共同規律，所以從數學角度會有無窮多個解。具體到某個物理問題就需要收斂到符合真實物理條件的特定解或唯一解。
具體確定解的物理條件就是定解條件：包括初始條件和邊界條件。
以弦振動為例。用手撥動弦和弓拉動弦，發出的聲音肯定是不一樣的。原因在于初始條件不一樣，所以產生的振動也不一樣。而振動方程只對弦起作用，而不能描述弦端點的狀態。弦端點狀態就是邊界條件。
02
—
初始條件
偏微分方程描述的是無限時間的問題。而實際物理模型是存在開始和結束時間節點的。
初始條件描述了物理場的初始狀態，定義了偏微分方程中某些時刻的值。
一般而言，在穩態問題中，初始值定義不太重要。但非線性問題求解時，定義一個合適的初始值有利于收斂，降低計算難度。而在瞬態問題中，必須要定義準確的初始值。
以熱傳導問題為例。對穩定狀態溫度場分析，定義大致的初始溫度即可完成計算，且初始溫度對最終計算結果無影響。但如果是瞬態隨時間變化的溫度場，就必須定義準確的初始溫度，甚至初始溫度變化率。
03
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邊界條件
偏微分方程描述的是無限空間的問題，而實際物理模型是存在有限的求解區域的。
邊界條件是求解區域邊界上變量或變量導數的變化規律，也稱之為約束條件。
狄利克雷邊界條件
邊界的物理量是明確的。比如某個溫度場，邊界溫度等于273K。
紐曼邊界條件
邊界的物理量的導數是明確的。比如某個溫度場，邊界換熱系數已知，或邊界以固定大小從熱源吸收熱量。
混合邊界條件
相當于上面兩種邊界條件的疊加。
展開 《偏微分方程的MATLAB解法》
ISBN：7307032562
系列：MATLAB工具系統叢書
尺寸：小16開
印張：13
印次：2
紙張：膠版紙
頁數：197
字數：239000
印刷時間：2004/07/01
版次：1
內容提要：
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
目錄：
前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若干程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 偏微分方程的MATLAB解法
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
【《偏微分方程的MATLAB解法 》圖書目錄】 前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若乾程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 C語言實現偏微分方程求解 ￥1.22
程序計算結果提取了最后一個時間步的溫度溫度。
官方資料（英文）偏微分方程工具箱
偏微分方程工具箱
偏微分方程工具箱.part1.rar
偏微分方程工具箱.part2.rar
伽遼金有限元法求解偏微分方程 --- c語言實現 ￥8.88
==> 分布積分法來進行微分方程的求解
==> 對應的解析解的求解方法如下所示：
==》 伽遼金法求解的一般步驟：
寫出微分方程的弱解形式。
進行分布積分法。
網格劃分。
生成系數矩陣和方程組的右端項。
進行方程組的求解。
求解出節點上的U值。
用上傅里葉變換，很快啊，AI幾秒鐘就能解出偏微分方程(轉載)
不過，你知道這些準確的氣溫預測，是通過解方程算出來的嗎？
不僅如此，靠解方程還能模擬飛機空氣動力、疾病傳播模型！
是什么方程這么厲害？我學過嗎？
它就是偏微分方程（PDE），在我們的世界中無處不在。
但在實際應用中，用計算機求解偏微分方程的難度很大，往往為了求出一個解而需要大型機器運行一個月。
并且，隨著科研中遇到問題的復雜度、運算量逐漸增加，也就更需要高效快速的求解方法。
最近，來自加州理工大學的一個研究團隊就用AI來解決這一難題，他們開發了一種新的神經網絡，比傳統的PDE求解快幾個數量級，并且在理論上適用于任何偏微分方程。
甚至連流體力學里的“老大難”：N-S方程也不在話下！
對于簡單方程的求解，這種方法只需幾秒就能解出答案，而傳統方法需要18個小時！
訓練神經網絡=求解PDE
神經網絡的本質是逼近一個函數，函數是從一個變量到另一個變量的映射。
比如圖像識別網絡，就是把輸入的圖像數據，與最后的分類結果之間建立映射關系。
訓練神經網絡其實就是盡可能逼近這個函數，這和數值求解PDE本質是一樣的。
2016年，人們開始研究圖像識別神經網絡如何用于求解PDE，用成對的生成數據來訓練神經網絡，比如計算平面上不同基本形狀（如三角形、四邊形）物體周圍的空氣流速場。
訓練數據集的輸入是物體幾何形狀和的初始條件信息，輸出是相應的二維幾何物體。訓練過程等于建立輸入和輸出之間的相關性。
訓練后的神經網絡，可以用于預測其他情況（比如汽車形狀）的流速場，它只和與傳統數值求解器的結果略有不同，但求解速度更快。
然而，對于專門研究PDE的人來說，這種方法還遠遠不夠。
因為上面的方法精度一般達不到要求，如果想要實現更高的精度，所需的數據量和網絡大小將爆炸式增長，失去了原本快速求解的意義。
從函數到算子
所以，人們想到了一種新方法，求助于“算子”。
展開 基于COMSOL 多物理場耦合&偏微分方程（PDE）的甲烷水合物注熱-降壓聯合開采數值模擬
1、共采用5個物理場：水合物分解場、甲烷氣體滲流場、水滲流場、溫度場、固體力學場；
2、使用PDE模塊進行建模，使各個參數完全耦合起來；
3、考慮了開采前儲層的初始理化參數，如孔隙度phi_0、飽和度S_h0、彈性模量E_0等；
4、所有耦合方程采用文獻中現有的已證方程；
5、收斂性和魯棒性較好，方便后續建模參數修改；
6、僅作結果展示（分解時間1h），時間（0 0.001 1）；
7、友好交流共同進步，請私信聯系我。（請注明來意）。
8、工程應用：水合注熱-降壓法開采、永久凍土區凍融、煤層氣開采流固耦合相關。
COMSOL Multiphysics 有限元數值分析軟件包
COMSOL Multiphysics 有限元數值分析軟件包
COMSOL Multiphysics(FEMLAB)是一個專業有限元數值分析軟件包，是基于偏微分方程的科學和工程問題進行建模和仿真計算的交互開發環境系統，而偏微分方程是科學問題的基礎和根本。FEMLAB 對于所有科學和工程領域內物理過程的建模和仿真提供了一個嶄新的技術！
?通過COMSOL Multiphysics(FEMLAB)的多物理場功能，你可以通過選擇不同的模塊同時模擬任意物理場組合的耦合分析；
?通過使用相應模塊直接定義物理參數創建模型；
?使用基于方程的模型可以自由定義用戶自己的方程；
多物理場問題一次輕松解決，擺脫多種軟件昂貴CAE 租用成本的夢魘，讓您一次就能輕松擁有超強功能，超低價格的CAE軟件。COMSOL Multiphysics(FEMLAB)具有強大的界面環境，以偏微分方程(PDEs) 的基礎，來建立模型并且解決科學及工程問題。
COMSOL Multiphysics(FEMLAB) 極具彈性及高度發展能力，能夠獨立處理并解決在工程及科學領域中，所包含的繁雜偏微分方程( PDEs) 耦合多變量問題之CAE 軟體。更重要的是，處理耦合問題的數目是沒有限制的。FEMLAB提供新的技術，透過強大且直覺式的圖像使用者界面 ( Graphical User Interface ; GUI)，使你容易地在所有工程及科學的規范下，建立所需的設備及處理程序模型。COMSOL Multiphysics(FEMLAB) 的主要特征是容易建立模型且可客戶化，能執行1D、2D或是3D模型。
展開 abaqus曲面方程參數化建模 ￥79.9
abaqus曲面方程參數化建模，需要用到pyhon腳本參數化建模，可以在曲面上拉伸厚度。直接輸入x,y的范圍，厚度建模。以下例子曲面方程為
該腳本可以輸入方程，給定區間建模。
