共形映射
關注創建者：匿名 創建時間：2026-01-04
共形映射的實例教程
共形映射 平面上的水平線和鉛直線拉回到曲面上，得到所謂的水平軌跡和鉛直軌跡，如圖5所示。
圖6. 黎曼面。
經典的教科書定義全純一形式如下。給定帶度量的可定向曲面，對于任意一點，存在一個包含該點的鄰域，在此鄰域上存在所謂的等溫坐標（isothermal parameters），使得黎曼度量的局部表示為。我們可以用等溫坐標構成整個曲面的圖冊，如圖6所示，那么所有局部坐標之間的變換函數都是復數值的全純函數（holomorphic function）。這樣的圖冊被稱為是共形圖冊，具有共形圖冊的曲面被稱為是黎曼面。有了共形圖冊，角度可以被定義。通常，共形圖冊也被稱為是共形結構。
全純二次微分
圖7.全純一形式的軌線和全純二次微分的軌線對比。
圖7顯示了全純一形式的軌線和全純二次微分軌線的對比，我們看到在正常點附近，兩者區別不大；單是在零點附近，兩者性狀差異較大。全純一形式的零點是8個方格粘在一起，全純二次微分的零點是6個方格貼在一起。實際上，全純一形式整體平方后也是全純二次微分，因此全純二次微分是全純一形式的自然推廣。
圖8. 共形映射和擬共形映射對比。
全純二次微分在擬共形映射(Quasi-Conformal Map)和泰西米勒理論(Teichmuller Theory)中起到了核心作用。共形映射將源曲面上無窮小圓映成目標曲面上的無窮小圓，如圖8上面一行所示；擬共形映射將無窮小橢圓映成無窮小圓，如圖8下面一行所示。
圖9. 帶有特征點的拓撲圓盤曲面間，一般不存在共形映射。
葉狀結構
圖10. 虧格為3的曲面上的葉狀結構。
全純二次微分的水平軌跡構成了曲面的一個葉狀結構（Foliation），同樣的，其鉛直軌跡也構成了曲面的另一個葉狀結構。
展開 推導
Schwartz-Christoffel變換提供了一個從復數平面的封閉多邊形內部到復數平面的無窮平行板的映射，正如下圖所示。
這種類型的一種共形映射可以用來推導平行平板的電勢的近似公式（考慮邊緣效應）。
平面上點的電勢容易計算出，并且可以通過反變換回到平面來得到應該的電勢。
我們這里使用的共形變換是
效果大致如下圖。
對進行改寫，
其中，如果條件良好滿足一些要求，可以確定。
總之，用Lambert W函數的形式來寫，就是
其中，，表示向下取整，Im表示取虛部。在點處的電勢是
Mathematica繪圖
\[Phi][{x_, y_}] :=
With[{z = x + I y},
Im[z - 1 - ProductLog[Ceiling[(y - Pi)/(2 Pi)], Exp[z - 1]]]]
ContourPlot[\[Phi][{x, y}], {x, -2, 10}, {y, -20, 20},
Epilog -> {Red, Thickness[0.02], Line[{{-2, Pi}, {0, Pi}}],
Line[{{-2, -Pi}, {0, -Pi}}]}, ContourShading -> False,
Contours -> 20]
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展開 所謂葉狀結構（foliation），就是將n維流形分解成(n-1)維子流形，其分解方式局部上具有直接結構，如圖6所示，我們將虧格為3的曲面分解成一族曲線，每條曲線被稱之為葉子。每片葉子可以是封閉曲線，或者無限延長的螺旋線。曲面上三條葉子交匯的點被稱為是奇異點，一般情況下虧格為g>1的曲面上有4g-4個奇異點。在任意一個常點處（非奇異點），存在一個領域，葉狀結構具有直積結構。
我們可以定義一個測度，這個測度的幾何意義如下：任給一條曲線，此曲線橫截通過了葉子的條數等于這條曲線的測度。
葉狀結構的葉子實際上是曲面上的光滑流線，其速度切向量場為流場。最為光滑的流場被稱為是所謂的調和場，其旋量處處為零，同時散度也處處為零。由此，曲面的葉狀結構和曲面上的全純微分開始聯系起來。
全純微分
圖7. 虧格為一的曲面上的全純微分。
圖7解釋了曲面上全純微分的概念。給定一個虧格為一的小貓曲面（左幀），我們可以周期性地將曲面保角地映射到平面上面（中幀）。或者更為嚴密地，我們將小貓曲面上的黎曼度量，經過投影映射拉回到小貓曲面的萬有覆蓋空間上面，存在從萬有覆蓋空間到整個歐式平面的共形映射。這個共形映射的導數就是定義帶小貓曲面上的一個全純1-微分形式。這個共形映射將平面上的水平線拉回到曲面上，形成全純微分的水平軌道（即為右幀中的紅色曲線），這個映射經平面上的鉛直線拉回到曲面上的全純微分的鉛直軌道（即為右幀中的藍色曲線）。給定一個全純1-微分形式，則其所有的水平軌道形成曲面的一個葉狀結構。
圖8. 虧格為二的曲面上的全純微分，及其誘導的葉狀結構。
圖8顯示了虧格為二的曲面上的全純二次微分，及其水平和鉛直軌道。全純二次微分的嚴格數學描述比較抽象費解，它是借助于黎曼面的結構來詮釋的。
展開 網格劃分有三種類型：
1、結構化網格劃分
結構化網格的基本表示形式是三維數組，也就是說，將單元中心的（x,y,z）位置簡單映射到數組中的（i,j,k）數值。因此，如果我們知道某個單元的（i,j,k）坐標，就自然會知道相鄰單元位于（i±1,j±1,k±1）。結構化網格非常有助于進行高速仿真，因為求解器不需要存儲相鄰單元的查找列表，這將降低大量的成本。
從幾何角度看，結構化網格的模塊僅限于二維四邊形或三維六面體單元，這些單元是用各種明確定義的數學技術生成的，從代數到共形映射再到偏微分方程的解。不過，結構化網格在幾何上受限，對于復雜的形狀，難以生成網格。現代的結構化網格通常是模塊結構，包含多個縫合在一起的結構化網格。我們經常會發現，與其他單元類型相比，在四邊形和六邊形結構化網格上計算 CFD 的解要更為精確。
2、非結構化網格劃分
非結構化網格是指其基本表示方式中包括一個相鄰單元的查找列表。非結構化網格在幾何上是不受限制的，可以包括多邊形（二維）或多面體（三維），面和邊的數量不受限制。最常見的是借助 Delaunay 或陣面推進法生成的四面體網格。然而，純六面體網格仍然可以是非結構化的，如果它們沒有（i,j,k）坐標，將其稱為“結構化網格”在形式上是不正確的。非結構化網格在工業 CFD 領域很受歡迎，因為可以相對容易地在復雜的幾何形狀上生成這類網格。然而，由此生成的單元往往屬性不夠完美，如偏斜過大和對齊效果欠佳，因此由于截斷誤差高和數值擴散，這往往會降低求解器的準確度。
3、混合網格劃分
為了完美兼顧準確度、速度和靈活性，一些現代 CFD 求解器會使用混合網格，它們由結構化模塊和非結構化區域以及許多不同的單元類型組成。
展開 這門課程主要介紹計算共形幾何的理論、算法和應用，涵蓋的數學理論包括代數拓撲，曲面微分幾何，凸幾何，黎曼面理論和擬共形映射理論；算法包括同倫群、同調群的計算，曲面調和映照，基于Hodge理論的全純微分形式，曲面Ricci流，基于凸幾何的最優傳輸理論；應用主要包括計算機圖形學中的全局參數化，計算機視覺中的動態三維曲面配準，醫學圖像中的形狀分析，幾何建模領域中的神圣網格，大數據分析中的幾何歸類問題，對抗生成網絡的最優傳輸解釋等等。
代數拓撲的思想和手法
幾何的目的是研究空間和形狀，將形狀進行恰切的描述和歸類。最為基本而粗糙的歸類是所謂的拓撲分類。我們說兩個形狀拓撲等價，如果一個形狀可以連續變形成另外一個形狀，不發生撕破或者粘連。我們研究的形狀最為簡單和規則的是所謂的流形，稍微寬泛一點的是復形。
因為人類的感官只能看到三維形狀，對于高維形狀無法感知。我們考察一個球面，它是二維流形，但是無法嵌入在二維平面上面。同理，一個抽象的三維球面，無法嵌入在三維歐幾里得空間之中，因此我們只能通過想象來感知三維球面：我們想象有一個實心的甜甜圈，在其表面可以畫出經線和緯線。將兩個甜甜圈沿著表面粘貼起來，使得第一個曲面的經線和第二個曲面的緯線重合，這樣我們得到的實體就是一個三維球面。顯然，這種操作在現實物理上是不可實現的。
那么，我們如何來感知并把握高維流形呢？數學上的一個通用手法就是為所研究的對象賦予不同的群，通過對群結構的分析來理解刻畫抽象的對象。群的概念雖然抽象，但是群的數據結構和算法卻是精確明晰的，雖然依然曲折，但是在計算機的幫助下，人類是能夠把握的。因此，代數拓撲的基本思想就是將拓撲問題代數化，在拓撲空間上賦予各種代數結構，通過研究這些代數結構來探究空間的拓撲結構。
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共形映射的最新內容
從幾何角度看，結構化網格的模塊僅限于二維四邊形或三維六面體單元，這些單元是用各種明確定義的數學技術生成的，從代數到共形映射再到偏微分方程的解。不過，結構化網格在幾何上受限，對于復雜的形狀，難以生成網格。現代的結構化網格通常是模塊結構，包含多個縫合在一起的結構化網格。我們經常會發現，與其他單元類型相比，在四邊形和六邊形結構化網格上計算 CFD 的解要更為精確。
這種類型的一種共形映射可以用來推導平行平板的電勢的近似公式（考慮邊緣效應）。
平面上點的電勢容易計算出，并且可以通過反變換回到平面來得到應該的電勢。
我們這里使用的共形變換是
效果大致如下圖。
對進行改寫，
其中，如果條件良好滿足一些要求，可以確定。
STAR-CCM+中流固耦合交界面使用映射接觸交界面，這種交界面不是壓印連接，而是依賴于交界面各面之間的間接關聯，用于數據映射器，這樣做的好處是允許交界面上存在非共形網格、映射過程沒有網格發生壓印，能夠保留最初創建的高質量網格。
4）剛體運動與變形疊加
為了在流體域中反映結構的變形，需要建立網格變形模型。
這門課程主要介紹計算共形幾何的理論、算法和應用，涵蓋的數學理論包括代數拓撲，曲面微分幾何，凸幾何，黎曼面理論和擬共形映射理論；算法包括同倫群、同調群的計算，曲面調和映照，基于Hodge理論的全純微分形式，曲面Ricci流，基于凸幾何的最優傳輸理論；應用主要包括計算機圖形學中的全局參數化，計算機視覺中的動態三維曲面配準，醫學圖像中的形狀分析，幾何建模領域中的神圣網格，大數據分析中的幾何歸類問題，對抗生成網絡的最優傳輸解釋等等
共形映射和擬共形映射對比。
全純二次微分在擬共形映射(Quasi-Conformal Map)和泰西米勒理論(Teichmuller Theory)中起到了核心作用。共形映射將源曲面上無窮小圓映成目標曲面上的無窮小圓，如圖8上面一行所示；擬共形映射將無窮小橢圓映成無窮小圓，如圖8下面一行所示。
圖9. 帶有特征點的拓撲圓盤曲面間，一般不存在共形映射。
或者更為嚴密地，我們將小貓曲面上的黎曼度量，經過投影映射拉回到小貓曲面的萬有覆蓋空間上面，存在從萬有覆蓋空間到整個歐式平面的共形映射。這個共形映射的導數就是定義帶小貓曲面上的一個全純1-微分形式。這個共形映射將平面上的水平線拉回到曲面上，形成全純微分的水平軌道（即為右幀中的紅色曲線），這個映射經平面上的鉛直線拉回到曲面上的全純微分的鉛直軌道（即為右幀中的藍色曲線）。
