圣杯問題 IV 三位一體
圖1. 波士頓三一教堂（姜健攝）。
2016年10月10日，在圣地亞哥召開的美國計算力學等幾何分析會議上，受等幾何分析的創始人Tom Hughes博士的邀請，老顧做了題為“基于曲面葉狀結構理論的六面體網”的報告，匯報了和大連理工大學羅鐘鉉、雷娜教授團隊合作的關于神圣網格研究成果【1】。這一報告引起了與會者的廣泛興趣，許多人認為這是神圣網格問題理論研究的一個突破。Tom Hughes博士表示這是一項非常重要的工作；T-Spline之父，CAD領域的泰斗Tom Sederberg教授表示祝賀；猶他大學CAD領域的著名學者Elaine Cohen教授表示這是一個重要突破；佛羅里達大學，CAD領域的著名學者Jorg Peters教授給予了高度評價。Jorg教授認為這項工作從原則上解決了神圣網格問題，理清了體樣條的奇異點和奇異曲線的性狀，為構造全局光滑的體樣條清除了障礙。他認為這方面學術上的研究已經成熟，剩下的工作應該被工業界接手來進一步完善。也有一些歐洲的學者紛紛索要論文，以進行跟蹤復制。德國維爾斯特拉斯應用分析和隨機（Stochastic）研究所的斯杭博士，不遠萬里來紐約訪問。充分的討論之后，他對神圣網格問題的徹底解決充滿了信心。
2016年3月22-24日，老顧專程拜訪了猶他州的楊百翰大學（Brigham Young University）的Tom Sederberg教授。Sederberg教授為大連理工大學的學者簽名贈書。
2007年，SIGGRAPH 終身成就獎得主Tom Sederberg教授將老顧介紹給計算力學領域的泰斗Tom Hughes教授。那時，Hughes教授剛剛發起等幾何分析（Isogeometric Analysis）的革命，和傳統有限元方法比較，等幾何分析可以提高計算精度，簡化設計和分析流程。但是，等幾何分析需要一個前提條件：將樣條曲面轉換成體樣條表示。而這一點，需要計算結構化神圣網格（Structured HolyGrid）。Sederberg、Hughes和老顧在華盛頓聚會，就結構化神圣網格問題進行了深入地討論。
美國三院院士（國家工程院，國家科學院，國家科學與藝術院）， Tom Hughes博士，發起了等幾何分析的革命。
近十年來，老顧拜會了國內、國際許多著名專家學者，對這一問題的認識逐步加深。在鹽湖城、在合肥，中國科技大學的陳發來教授多次告訴老顧：“這一領域的絕大多數研究都是比較經驗性的，缺乏理論支撐。需要發現和建立嚴謹、普適的理論框架。”
法國Inria的Pierre Alliez教授，德國柏林自由大學的Konrad Polthier教授都是網格生成領域的專家，他們都有自己獨到的見解。Aliez教授建議網格的邊應該和曲面的主曲率線盡量吻合，Polthier教授建議用分支覆蓋（Branch Cover）將標架場轉換成微分形式。在巴黎，老顧和法國Inria的Bruno Levy教授交流過基于Centroidal Voronoi Tessellation的體網格生成算法。在里昂，老顧和幾何逼近論大師Jean-Marie Movan教授探討過網格質量和曲率收斂的關系。在科大劉利剛教授舉辦的圖形學暑期班上，浙江大學的黃勁教授和老顧探討了這個問題。黃教授在這個領域耕耘多年，具有寶貴的第一手經驗，他對于用標架場生成六面體網的算法中奇異點、奇異線的分布問題深感興趣，由于缺乏理論根基，奇異線的產生和分布不可控，其性狀的分析也非常困難。在路易斯安那的巴吞魯日，李新教授告訴老顧用空間形變來生成體網格所遇到的退化情形。在波士頓的哈佛校園，趙輝博士和老顧探討過四邊形網格成為polycube邊界的拓撲條件。在香港，雷諾銘教授和老顧討論過如何用擬共形幾何手段來提高網格質量。在數字幾何，計算力學，計算機輔助設計等諸多領域，幾乎所有的學者都對相關問題充滿濃厚興趣。
大連是中國船舶設計、船舶制造的工業基地之一，精密機械加工方面工業基礎深厚。大連理工大學歷經半個多世紀的學術積累，具有非常雄厚的CAD/CAE科研基礎。王仁宏教授開創的學派，一直在國內計算數學、計算幾何領域占據領袖地位；計算力學的泰斗錢令希院士開創的計算力學專業，一直在國際上領先。王仁宏教授的弟子，大連理工大學的校長助理羅鐘鉉教授邀請老顧前去訪問講學，對于神圣網格問題的研究給予了高度重視和大力支持。在大連理工講學期間，老顧和計算力學方向的關振群教授交流了科研心得。關教授在網格生成領域有數十年的研究經驗，他認為對偶網格能否分解為不自相交的封閉曲線具有重要意義。關教授和香港大學的王文平教授有過深入交流，王教授指出網格的光滑性和調和能量密切相關。大連理工大學的雷娜教授為了解決神圣網格問題在紐約訪問了一年的時間，在這一年中，大家日以繼夜，高度專注于這一問題，終于在理論上取得了長足進展。
在計算機輔助設計（Computer Aided Design CAD）領域，設計的機械都是由所謂的樣條曲面（Spline Surface）來表示，特別是經典的NURBS曲面（Non-Uniform-Rational-B-Spline）。但是在計算機輔助工程（Computer Aided Engineering CAE）領域，機械的力學熱學性能的數值模擬卻是用有限元方法（Finite Element Method FEM）來處理。在通常情形下，有限元方法將機械實體進行三角剖分，如圖2和圖3所示，然后用分片線性函數來逼近光滑解。
圖2. 機械零件，表面上的三角剖分。（斯杭作）
圖3. 機械零件的內部三角剖分（斯杭作）。
CAD和CAE的基本數據結構的差異帶來了工程上的巨大困難。首先，將CAD的NURBS樣條表示轉換成有限元的剖分，即所謂的網格生成，這需要困難而復雜的計算和操作。在波音航空公司中，網格生成這一步驟占據整個流程70%以上的時間和成本，真正求解偏微分方程只占30%不到的成本。其次，數學上的處理也比較間接而迂回。物理規律一般表示成高階偏微分方程，而有限元方法一般用一階光滑的分片線性函數。為了處理光滑階數不夠的矛盾，有限元方法一般采用偏微分方程的變分形式求得弱解。比如，熱力平衡態的溫度分布滿足拉普拉斯方程，這是一個二階橢圓型偏微分方程，未知函數需要具有二階光滑性；用有限元的伽遼金法求解時，我們將拉普拉斯方程轉換成優化調和能量的問題，而調和能量只需要一階光滑性。
Tom Hughes博士深刻地洞察到了CAD和CAE基本數據結構不一致性這一基本問題，提出了等幾何分析（Isogeometric Analysis）這一顛覆的理論框架，引發了CAD/CAE領域的一場革命。等幾何分析的根本思想就是統一幾何設計和幾何分析的數據結構，工業設計和工業仿真都用樣條表示。這樣做的好處是顯而易見的。
首先，等幾何分析方法具有理論處理的便捷性。在等幾何分析的框架下，未知函數被表示成NURBS基函數的線性組合。線性組合系數是待定的未知變量。因為NURBS基函數具有高階可微，被高階微分算子作用后所得函數依然是可以被表示為NURBS函數。這樣，我們可以用待定系數法來求解偏微分方程。例如，為了求解拉普拉斯方程，我們在定義域中選取一些采樣點，然后利用未知函數在采樣點處的拉普拉斯等于零來求解待定系數。這種方法被稱為是colocation方法，它不需要將偏微分方程轉換成變分能量，因此數學手法上更為簡潔直接。今年（2016年），在等幾何分析領域的學者們在理論上首次證明了通過精心挑選采樣點的位置，colocation方法求得解的精度達到伽遼金法求得解的精度。這在理論上將等幾何分析方法提到了和有限元法平起平坐的地位。
其次，等幾何分析方法省卻了從樣條到網格的轉換過程。但是，這里隱藏著極大的挑戰。傳統的CAD模型只是將機械零件的表面用樣條來表示，而等幾何分析需要的是機械零件實體的樣條表示。從樣條曲面轉換到體樣條表示，這是等幾何分析的根基。而這一根本問題的解決依賴于六面體網格的生成，即神圣網格問題的妥善解決。同時，更進一步，經典的神圣網格不要求結構化的網格，而等幾何分析要求的是結構化六面體網格。所謂結構化，就是指局部上，六面體網格具有直積結構，和標準歐式空間中整數格點構成的網格同構。因此等幾何分析提出的神圣網格問題更具有挑戰性。
等幾何分析提出的基本理論問題可以大致歸納如下：給定空間中封閉的高虧格曲面，剖分其內部體積，
結構化的六面體網格（神圣網格）是否存在？
如果存在，最少奇異點的個數是多少？
如果存在，最少奇異曲線的條數是多少？
這種神圣網格是唯一的嗎？所有的神圣網格的集合如何描述？
如何構造這種神圣網格？是否存在自動算法？
在過去的二十年間，Thurston、Mitchell、Erickson利用子流形浸入理論和同調群理論解答了非結構六面體網格的存在性問題，他們的方法對于結構性六面體網格的問題無能為力。最近，大連理工大學的羅鐘鉉、雷娜團隊和老顧團隊合作，利用曲面的葉狀結構（foliation）理論和黎曼面的亞純微分理論（Meromorphic Differential）理論對這些問題給出了確定的回答，從而將結構化神圣網格的理論向前推進了一步。
這一理論的核心在于證明了三個基本幾何拓撲概念本質上是一致的，可著色四邊形網格（紅-藍網格）、帶測度的葉狀結構（measured foliations）和全純二次微分（holomorphic quadratic differentials），即所謂的三位一體。對于上面提到的基本問題，我們給出的解答是：
結構化的六面體網格存在，并且無窮多。
對于邊界曲面的虧格為g>1，一般情況下，奇異點有4g-4個。
最少內部奇異曲線的條數是2g-2條（邊界上有4條）。
這種神圣網格不唯一，其中邊界曲面上誘導的四邊形網格構成一個線性空間，其維數是6g-6維。
存在構造方法，其算法流程可以完全自動化。
圖4. 紅-藍四邊形網格。
圖4顯示了所謂的可染色四邊形網格（或者紅-藍四邊形網格）（colorable quad-mesh）。假設給定曲面上的四邊形網格，如果我們能夠將所有的邊紅-藍染色，使得每個四邊形中，兩組對邊分別被染成紅色和藍色，則此四邊形網格被稱為是可染色的。
圖5. 可染色和不可染色的四邊形網格。
有些四邊形網格是不可染色的，如圖5右幀所示，我們無法確定中間黑色邊的顏色，無論我們選擇紅色或是藍色，都會產生矛盾。我們證明了如下的引理：
四邊形網格可染色的充要條件是所有頂點都和偶數條邊相鄰。
假設輸入曲面是封閉曲面，如圖4中的兔子曲面，給定一個可染色四邊形網格，如兔子身上的紅-藍網格，可染色四邊形網格的所有紅邊組成有限條圈，每條圈沒有自相交點。同樣，所有藍邊也組成有限條圈，每條圈也沒有自相交點。我們考察可染色四邊形網格的對偶網格，則對偶網格由有限條圈組成，并且每條圈都沒有自相交。
我們將兔子曲面進行細分（subdivision），每個四邊形被劈成四個子四邊形，則紅圈和藍圈的條數加倍。我們不停地細分下去，則兔子曲面被紅圈覆蓋，同時也被藍圈覆蓋。換言之，兔子曲面被分解成紅圈的并集，也被分解為藍圈的并集。局部上看，紅（藍）圈層層堆疊，彼此沒有交叉或者折疊，由此，我們得到了兩個葉狀結構（foliation）。
圖6. 虧格為3的封閉曲面上的葉狀結構（foliation）。
所謂葉狀結構（foliation），就是將n維流形分解成(n-1)維子流形，其分解方式局部上具有直接結構，如圖6所示，我們將虧格為3的曲面分解成一族曲線，每條曲線被稱之為葉子。每片葉子可以是封閉曲線，或者無限延長的螺旋線。曲面上三條葉子交匯的點被稱為是奇異點，一般情況下虧格為g>1的曲面上有4g-4個奇異點。在任意一個常點處（非奇異點），存在一個領域，葉狀結構具有直積結構。
我們可以定義一個測度，這個測度的幾何意義如下：任給一條曲線，此曲線橫截通過了葉子的條數等于這條曲線的測度。
葉狀結構的葉子實際上是曲面上的光滑流線，其速度切向量場為流場。最為光滑的流場被稱為是所謂的調和場，其旋量處處為零，同時散度也處處為零。由此，曲面的葉狀結構和曲面上的全純微分開始聯系起來。
圖7. 虧格為一的曲面上的全純微分。
圖7解釋了曲面上全純微分的概念。給定一個虧格為一的小貓曲面（左幀），我們可以周期性地將曲面保角地映射到平面上面（中幀）。或者更為嚴密地，我們將小貓曲面上的黎曼度量，經過投影映射拉回到小貓曲面的萬有覆蓋空間上面，存在從萬有覆蓋空間到整個歐式平面的共形映射。這個共形映射的導數就是定義帶小貓曲面上的一個全純1-微分形式。這個共形映射將平面上的水平線拉回到曲面上，形成全純微分的水平軌道（即為右幀中的紅色曲線），這個映射經平面上的鉛直線拉回到曲面上的全純微分的鉛直軌道（即為右幀中的藍色曲線）。給定一個全純1-微分形式，則其所有的水平軌道形成曲面的一個葉狀結構。
圖8. 虧格為二的曲面上的全純微分，及其誘導的葉狀結構。
圖8顯示了虧格為二的曲面上的全純二次微分，及其水平和鉛直軌道。全純二次微分的嚴格數學描述比較抽象費解，它是借助于黎曼面的結構來詮釋的。如圖9所示，作為流形的曲面，我們無法用一個坐標系來覆蓋，只能用多個坐標系來覆蓋。如果我們都采用復坐標，并且坐標變換都是可逆全純函數，則曲面被稱為是黎曼面。給定一個全純二次微分（Holomorphic Quadratic Differential），則它在每個局部坐標系下都是某個全純函數導數的平方。
圖9. 黎曼面的定義：所有局部坐標變換都是雙全純的。
曲面上所有的全純二次微分構成一個線性空間，例如圖10所示，前兩個全純二次微分之和等于第三個全純二次微分。根據黎曼-羅赫定理，所有全純二次微分構成的空間的維數等于6g-6。
圖10. 所有的全純二次微分構成線性空間。前兩個葉狀結構之和等于第三個葉狀結構。
經典的 Hubbard-Masure 理論【2】證明了可測葉狀結構和全純二次微分之間的等價關系，任給一個可測葉狀結構，則存在一個全純二次微分，微分的水平軌道誘導的葉狀結構和給定葉狀結構在一定意義下彼此等價。
由此，我們證明了可染色四邊形網格、可測葉狀結構和全純微分之間的等價關系，即三位一體。
基于三位一體的理論，我們可以設計六面體網格的自動生成算法。下面我們用一個簡單的例子來解釋我們算法的主要流程。
圖11. 曲面上全純二次微分的水平軌道誘導的葉狀結構。
首先，我們計算全純二次微分群的基底；然后，通過線性組合求得一個全純微分；全純微分的水平軌道給出了曲面的一個葉狀結構，如圖11所示。
圖12. 葉狀結構的奇異軌道。
過奇異點的軌道被稱為是奇異軌道，每條奇異軌道連接著兩個奇異點，如圖12所示。
圖13. 葉狀結構誘導的四邊形網格。
曲面的葉狀結構誘導了曲面上的四邊形網格（圖13），奇異軌道將曲面分解成圓筒曲面（圖14）。
圖14. 奇異軌道將曲面分解成圓筒曲面。
圖15. 曲面上的四邊形網格向體內拓展成六面體網格。
每個圓筒曲面包含著一個圓柱體，表面的四邊形網格向體內拓展成圓柱體的六面體網格，如圖15所示。三個圓柱體交于一條奇異線。
圖16. 六面體網格。
最后生成的六面體網格如圖16所示，只有4個奇異點，兩條內部奇異曲線，整體具有很好地結構性。
目前，基于葉狀結構的六面體網格生成算法側重考慮了流形的拓撲結構和共形結構，而忽略了幾何信息。在實際應用中，網格化需要充分考慮曲面的幾何特征，特別是曲面的主曲率方向，曲面的特征曲線，尖銳的折角曲線等等。很多時候，我們需要加入更多的奇異點或奇異線，來使得網格化更好地適應幾何特征。這些都是下一步需要發展的方向。
斯杭博士通過多年的實踐經驗，充分認識到從拓撲剖分到組合、幾何剖分之間的巨大障礙。如何建立組合、幾何剖分的障礙理論，在網格生成領域中具有根本的重要性。
雖然，等幾何分析在學術界的研究日益蓬勃壯大，在工業界只有幾家公司開始采用這一新興技術。Tom Hughes在展望未來的時候，說出了非常具有哲理的一番話。他說歷史上任何一個偉大的創造，都歷經了三個階段：
人們認為這種方法是不可能實現的，
人們認為雖然這種方法可以被實現出來，但是和現行的方法比較沒有任何優勢，因此沒有必要采用這種方法，
人們須臾離不開這種方法。
他認為等幾何分析目前正在前兩個階段，并且豪情滿懷地暢想未來等幾何分析必將取代有限元而成為業界主流。我們也傾向于認為，目前基于葉狀結構的六面體網格生成方法介于第一和第二個階段，我們有理由相信這種方法在不遠的將來將大行其道！
關于曲面葉狀結構，全純微分的進一步理論闡述和全純微分基底的具體計算方法，敬請讀者們等待下一篇文章。
【1】N.Lei, X. Zheng, J. Jiang, Y. Lin, X.Gu, "Quadrilateral and Hexahedral Mesh Generation Based on Surface Foliation Theory", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Accepted 2016.
【2】J. Hubbard, H. Masur, “Quadratic differentials and foliations”, Acta
795 Math. (142) (1979) 221–274.
本文經公眾號老顧談幾何同意轉載。
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