共形映射的案例
圣杯問題V：全純微分
共形映射 平面上的水平線和鉛直線拉回到曲面上，得到所謂的水平軌跡和鉛直軌跡，如圖5所示。
圖6. 黎曼面。
經(jīng)典的教科書定義全純一形式如下。給定帶度量的可定向曲面，對(duì)于任意一點(diǎn)，存在一個(gè)包含該點(diǎn)的鄰域，在此鄰域上存在所謂的等溫坐標(biāo)（isothermal parameters），使得黎曼度量的局部表示為。我們可以用等溫坐標(biāo)構(gòu)成整個(gè)曲面的圖冊(cè)，如圖6所示，那么所有局部坐標(biāo)之間的變換函數(shù)都是復(fù)數(shù)值的全純函數(shù)（holomorphic function）。這樣的圖冊(cè)被稱為是共形圖冊(cè)，具有共形圖冊(cè)的曲面被稱為是黎曼面。有了共形圖冊(cè)，角度可以被定義。通常，共形圖冊(cè)也被稱為是共形結(jié)構(gòu)。
全純二次微分
圖7.全純一形式的軌線和全純二次微分的軌線對(duì)比。
圖7顯示了全純一形式的軌線和全純二次微分軌線的對(duì)比，我們看到在正常點(diǎn)附近，兩者區(qū)別不大；單是在零點(diǎn)附近，兩者性狀差異較大。全純一形式的零點(diǎn)是8個(gè)方格粘在一起，全純二次微分的零點(diǎn)是6個(gè)方格貼在一起。實(shí)際上，全純一形式整體平方后也是全純二次微分，因此全純二次微分是全純一形式的自然推廣。
圖8. 共形映射和擬共形映射對(duì)比。
全純二次微分在擬共形映射(Quasi-Conformal Map)和泰西米勒理論(Teichmuller Theory)中起到了核心作用。共形映射將源曲面上無窮小圓映成目標(biāo)曲面上的無窮小圓，如圖8上面一行所示；擬共形映射將無窮小橢圓映成無窮小圓，如圖8下面一行所示。
圖9. 帶有特征點(diǎn)的拓?fù)鋱A盤曲面間，一般不存在共形映射。
葉狀結(jié)構(gòu)
圖10. 虧格為3的曲面上的葉狀結(jié)構(gòu)。
全純二次微分的水平軌跡構(gòu)成了曲面的一個(gè)葉狀結(jié)構(gòu)（Foliation），同樣的，其鉛直軌跡也構(gòu)成了曲面的另一個(gè)葉狀結(jié)構(gòu)。
展開 靜電學(xué)中LambertW函數(shù)的應(yīng)用以及Mathematica繪圖
推導(dǎo)
Schwartz-Christoffel變換提供了一個(gè)從復(fù)數(shù)平面的封閉多邊形內(nèi)部到復(fù)數(shù)平面的無窮平行板的映射，正如下圖所示。
這種類型的一種共形映射可以用來推導(dǎo)平行平板的電勢(shì)的近似公式（考慮邊緣效應(yīng)）。
平面上點(diǎn)的電勢(shì)容易計(jì)算出，并且可以通過反變換回到平面來得到應(yīng)該的電勢(shì)。
我們這里使用的共形變換是
效果大致如下圖。
對(duì)進(jìn)行改寫，
其中，如果條件良好滿足一些要求，可以確定。
總之，用Lambert W函數(shù)的形式來寫，就是
其中，，表示向下取整，Im表示取虛部。在點(diǎn)處的電勢(shì)是
Mathematica繪圖
\[Phi][{x_, y_}] :=
With[{z = x + I y},
Im[z - 1 - ProductLog[Ceiling[(y - Pi)/(2 Pi)], Exp[z - 1]]]]
ContourPlot[\[Phi][{x, y}], {x, -2, 10}, {y, -20, 20},
Epilog -> {Red, Thickness[0.02], Line[{{-2, Pi}, {0, Pi}}],
Line[{{-2, -Pi}, {0, -Pi}}]}, ContourShading -> False,
Contours -> 20]
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展開 圣杯問題 IV 三位一體
所謂葉狀結(jié)構(gòu)（foliation），就是將n維流形分解成(n-1)維子流形，其分解方式局部上具有直接結(jié)構(gòu)，如圖6所示，我們將虧格為3的曲面分解成一族曲線，每條曲線被稱之為葉子。每片葉子可以是封閉曲線，或者無限延長(zhǎng)的螺旋線。曲面上三條葉子交匯的點(diǎn)被稱為是奇異點(diǎn)，一般情況下虧格為g>1的曲面上有4g-4個(gè)奇異點(diǎn)。在任意一個(gè)常點(diǎn)處（非奇異點(diǎn)），存在一個(gè)領(lǐng)域，葉狀結(jié)構(gòu)具有直積結(jié)構(gòu)。
我們可以定義一個(gè)測(cè)度，這個(gè)測(cè)度的幾何意義如下：任給一條曲線，此曲線橫截通過了葉子的條數(shù)等于這條曲線的測(cè)度。
葉狀結(jié)構(gòu)的葉子實(shí)際上是曲面上的光滑流線，其速度切向量場(chǎng)為流場(chǎng)。最為光滑的流場(chǎng)被稱為是所謂的調(diào)和場(chǎng)，其旋量處處為零，同時(shí)散度也處處為零。由此，曲面的葉狀結(jié)構(gòu)和曲面上的全純微分開始聯(lián)系起來。
全純微分
圖7. 虧格為一的曲面上的全純微分。
圖7解釋了曲面上全純微分的概念。給定一個(gè)虧格為一的小貓曲面（左幀），我們可以周期性地將曲面保角地映射到平面上面（中幀）。或者更為嚴(yán)密地，我們將小貓曲面上的黎曼度量，經(jīng)過投影映射拉回到小貓曲面的萬有覆蓋空間上面，存在從萬有覆蓋空間到整個(gè)歐式平面的共形映射。這個(gè)共形映射的導(dǎo)數(shù)就是定義帶小貓曲面上的一個(gè)全純1-微分形式。這個(gè)共形映射將平面上的水平線拉回到曲面上，形成全純微分的水平軌道（即為右?guī)械募t色曲線），這個(gè)映射經(jīng)平面上的鉛直線拉回到曲面上的全純微分的鉛直軌道（即為右?guī)械乃{(lán)色曲線）。給定一個(gè)全純1-微分形式，則其所有的水平軌道形成曲面的一個(gè)葉狀結(jié)構(gòu)。
圖8. 虧格為二的曲面上的全純微分，及其誘導(dǎo)的葉狀結(jié)構(gòu)。
圖8顯示了虧格為二的曲面上的全純二次微分，及其水平和鉛直軌道。全純二次微分的嚴(yán)格數(shù)學(xué)描述比較抽象費(fèi)解，它是借助于黎曼面的結(jié)構(gòu)來詮釋的。
展開 什么是網(wǎng)格劃分或網(wǎng)格生成？
網(wǎng)格劃分有三種類型：
1、結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分
結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的基本表示形式是三維數(shù)組，也就是說，將單元中心的（x,y,z）位置簡(jiǎn)單映射到數(shù)組中的（i,j,k）數(shù)值。因此，如果我們知道某個(gè)單元的（i,j,k）坐標(biāo)，就自然會(huì)知道相鄰單元位于（i±1,j±1,k±1）。結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格非常有助于進(jìn)行高速仿真，因?yàn)榍蠼馄鞑恍枰鎯?chǔ)相鄰單元的查找列表，這將降低大量的成本。
從幾何角度看，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的模塊僅限于二維四邊形或三維六面體單元，這些單元是用各種明確定義的數(shù)學(xué)技術(shù)生成的，從代數(shù)到共形映射再到偏微分方程的解。不過，結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在幾何上受限，對(duì)于復(fù)雜的形狀，難以生成網(wǎng)格。現(xiàn)代的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格通常是模塊結(jié)構(gòu)，包含多個(gè)縫合在一起的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。我們經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)，與其他單元類型相比，在四邊形和六邊形結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格上計(jì)算 CFD 的解要更為精確。
2、非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分
非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格是指其基本表示方式中包括一個(gè)相鄰單元的查找列表。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在幾何上是不受限制的，可以包括多邊形（二維）或多面體（三維），面和邊的數(shù)量不受限制。最常見的是借助 Delaunay 或陣面推進(jìn)法生成的四面體網(wǎng)格。然而，純六面體網(wǎng)格仍然可以是非結(jié)構(gòu)化的，如果它們沒有（i,j,k）坐標(biāo)，將其稱為“結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格”在形式上是不正確的。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格在工業(yè) CFD 領(lǐng)域很受歡迎，因?yàn)榭梢韵鄬?duì)容易地在復(fù)雜的幾何形狀上生成這類網(wǎng)格。然而，由此生成的單元往往屬性不夠完美，如偏斜過大和對(duì)齊效果欠佳，因此由于截?cái)嗾`差高和數(shù)值擴(kuò)散，這往往會(huì)降低求解器的準(zhǔn)確度。
3、混合網(wǎng)格劃分
為了完美兼顧準(zhǔn)確度、速度和靈活性，一些現(xiàn)代 CFD 求解器會(huì)使用混合網(wǎng)格，它們由結(jié)構(gòu)化模塊和非結(jié)構(gòu)化區(qū)域以及許多不同的單元類型組成。
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清華筆記：計(jì)算共形幾何講義 （1）代數(shù)拓?fù)?/span>
這門課程主要介紹計(jì)算共形幾何的理論、算法和應(yīng)用，涵蓋的數(shù)學(xué)理論包括代數(shù)拓?fù)洌嫖⒎謳缀危箮缀危杪胬碚摵蛿M共形映射理論；算法包括同倫群、同調(diào)群的計(jì)算，曲面調(diào)和映照，基于Hodge理論的全純微分形式，曲面Ricci流，基于凸幾何的最優(yōu)傳輸理論；應(yīng)用主要包括計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的全局參數(shù)化，計(jì)算機(jī)視覺中的動(dòng)態(tài)三維曲面配準(zhǔn)，醫(yī)學(xué)圖像中的形狀分析，幾何建模領(lǐng)域中的神圣網(wǎng)格，大數(shù)據(jù)分析中的幾何歸類問題，對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)傳輸解釋等等。
代數(shù)拓?fù)涞乃枷牒褪址?幾何的目的是研究空間和形狀，將形狀進(jìn)行恰切的描述和歸類。最為基本而粗糙的歸類是所謂的拓?fù)浞诸悺Ｎ覀冋f兩個(gè)形狀拓?fù)涞葍r(jià)，如果一個(gè)形狀可以連續(xù)變形成另外一個(gè)形狀，不發(fā)生撕破或者粘連。我們研究的形狀最為簡(jiǎn)單和規(guī)則的是所謂的流形，稍微寬泛一點(diǎn)的是復(fù)形。
因?yàn)槿祟惖母泄僦荒芸吹饺S形狀，對(duì)于高維形狀無法感知。我們考察一個(gè)球面，它是二維流形，但是無法嵌入在二維平面上面。同理，一個(gè)抽象的三維球面，無法嵌入在三維歐幾里得空間之中，因此我們只能通過想象來感知三維球面：我們想象有一個(gè)實(shí)心的甜甜圈，在其表面可以畫出經(jīng)線和緯線。將兩個(gè)甜甜圈沿著表面粘貼起來，使得第一個(gè)曲面的經(jīng)線和第二個(gè)曲面的緯線重合，這樣我們得到的實(shí)體就是一個(gè)三維球面。顯然，這種操作在現(xiàn)實(shí)物理上是不可實(shí)現(xiàn)的。
那么，我們?nèi)绾蝸砀兄盐崭呔S流形呢？數(shù)學(xué)上的一個(gè)通用手法就是為所研究的對(duì)象賦予不同的群，通過對(duì)群結(jié)構(gòu)的分析來理解刻畫抽象的對(duì)象。群的概念雖然抽象，但是群的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法卻是精確明晰的，雖然依然曲折，但是在計(jì)算機(jī)的幫助下，人類是能夠把握的。因此，代數(shù)拓?fù)涞幕舅枷刖褪菍⑼負(fù)鋯栴}代數(shù)化，在拓?fù)淇臻g上賦予各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，通過研究這些代數(shù)結(jié)構(gòu)來探究空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。
展開 STAR-CCM+流固模態(tài)-雙向流固耦合案例
3）映射接觸交界面
流固耦合交界面的處理是流固耦合計(jì)算中的關(guān)鍵技術(shù)。建立流固耦合模型時(shí)需要在流體域和固體域間添加交界面，但流體網(wǎng)格通常比固體網(wǎng)格更加精細(xì)，交界面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，交界面間是非共形網(wǎng)格。STAR-CCM+中流固耦合交界面使用映射接觸交界面，這種交界面不是壓印連接，而是依賴于交界面各面之間的間接關(guān)聯(lián)，用于數(shù)據(jù)映射器，這樣做的好處是允許交界面上存在非共形網(wǎng)格、映射過程沒有網(wǎng)格發(fā)生壓印，能夠保留最初創(chuàng)建的高質(zhì)量網(wǎng)格。
4）剛體運(yùn)動(dòng)與變形疊加
為了在流體域中反映結(jié)構(gòu)的變形，需要建立網(wǎng)格變形模型。在一些流固耦合的應(yīng)用中，結(jié)構(gòu)在變形的同時(shí)經(jīng)歷了較大的剛體變形，結(jié)構(gòu)的位移是剛體運(yùn)動(dòng)和變形的組合。比如固定在船上的螺旋槳隨著船體晃動(dòng)的同時(shí)在水中耦合變形，作用在螺旋槳上的流體載荷和剛體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的加速度載荷作為載荷傳遞給螺旋槳的結(jié)構(gòu)模型。結(jié)構(gòu)模型計(jì)算產(chǎn)生位移，螺旋槳周圍的流體網(wǎng)格隨之變形。
STAR-CCM+提供了多種形式，可以根據(jù)實(shí)際模擬的運(yùn)動(dòng)情況選擇合適的方案，要注意的是某些運(yùn)動(dòng)形式只能完成雙向或單向耦合。
3、雙向流固耦合的數(shù)據(jù)傳遞
四、風(fēng)扇流固耦合案例
1、計(jì)算域模型
幾何模型為四葉風(fēng)扇，固體域部分為扇葉。通過添加進(jìn)口段和出口段，形成封閉的流體計(jì)算域，風(fēng)扇通過滑移網(wǎng)格模擬，旋轉(zhuǎn)區(qū)域和固定區(qū)域之間通過Interface連接。
2、設(shè)置流程
3、固體域設(shè)置
1）網(wǎng)格采用定向網(wǎng)格（Directed Mesh）劃分，生成楔形網(wǎng)格，并采用高階單元。
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