背景介紹

靜電學中的一些結論，會涉及到一些復雜函數的使用。有時我們想要進行結果的可視化展示直觀感受推導的正確性。這時可以使用Mathematica豐富的繪圖支持和數學運算函數支持來完成該任務。

推導

Schwartz-Christoffel變換提供了一個從復數平面的封閉多邊形內部到復數平面的無窮平行板的映射，正如下圖所示。

這種類型的一種共形映射可以用來推導平行平板的電勢的近似公式（考慮邊緣效應）。

平面上點的電勢容易計算出，并且可以通過反變換回到平面來得到應該的電勢。

我們這里使用的共形變換是

效果大致如下圖。

對進行改寫，

其中，如果條件良好滿足一些要求，可以確定。

總之，用Lambert W函數的形式來寫，就是

其中，，表示向下取整，Im表示取虛部。在點處的電勢是

Mathematica繪圖

\[Phi][{x_, y_}] :=
With[{z = x + I y},
 Im[z - 1 - ProductLog[Ceiling[(y - Pi)/(2 Pi)], Exp[z - 1]]]]

ContourPlot[\[Phi][{x, y}], {x, -2, 10}, {y, -20, 20},
Epilog -> {Red, Thickness[0.02], Line[{{-2, Pi}, {0, Pi}}],
  Line[{{-2, -Pi}, {0, -Pi}}]}, ContourShading -> False,
Contours -> 20]

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