2017年6月初，我回到清華園再度講授《計(jì)算共形幾何》課程。每周二和四上午，在丘成桐數(shù)學(xué)科學(xué)中心（近春園三樓報(bào)告廳，9：50AM-11：50AM）授課。

課程簡(jiǎn)介

這門課程對(duì)于學(xué)員的數(shù)學(xué)要求較低，只要理解線性代數(shù)和多元微積分即可；在計(jì)算機(jī)方面，如果學(xué)員能夠編程，那將會(huì)對(duì)于學(xué)習(xí)具有極大的幫助。課程完全免費(fèi)公開(kāi)，任何有興趣的朋友都可以前來(lái)學(xué)習(xí)探討。

依隨虛擬現(xiàn)實(shí)（Virtual Reality）和增強(qiáng)現(xiàn)實(shí)（Augmented Reality）技術(shù)的迅猛發(fā)展，工業(yè)界、醫(yī)療界對(duì)于三維幾何處理（Geometric Processing）的需求猛增。相對(duì)于聲勢(shì)浩蕩的機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)，三維幾何處理的技術(shù)需要更深的數(shù)理基礎(chǔ)和更為精密的工程技巧，因此相對(duì)繁難。為了將深刻而抽象的幾何拓?fù)淅碚摵蚔R、AR應(yīng)用相結(jié)合，為了培養(yǎng)三維幾何方面的計(jì)算機(jī)人才，我們?cè)O(shè)置了這門課程。

因?yàn)槲覀兊哪康脑谟谂囵B(yǎng)計(jì)算方面的人才，我們課程的講授方法不同于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程，也不同于計(jì)算機(jī)課程：

1. 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程講授風(fēng)格是從定義，引理到定理，再到推論。學(xué)員們建立了清晰的概念和理論框架，掌握了邏輯細(xì)節(jié)，但是往往無(wú)法和現(xiàn)實(shí)聯(lián)系起來(lái)，停留在紙上談兵的階段。這門課更加重視理論后面的直覺(jué)（insights），和構(gòu)造性證明（constructive proof），以及概念和定理在計(jì)算機(jī)上的實(shí)現(xiàn)，在現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際應(yīng)用。

2. 傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)課程著重于各種對(duì)象的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法，而相對(duì)忽略算法設(shè)計(jì)和算法收斂背后的理論基礎(chǔ)。學(xué)員們往往知其然而不知其所以然，因而缺乏獨(dú)立創(chuàng)造新算法的能力。我們強(qiáng)調(diào)算法設(shè)計(jì)的理論思想。

3. 特別是我們將在課程中明確指出一些開(kāi)放問(wèn)題和科研方向，在這些問(wèn)題上數(shù)學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展了完備的理論，但是計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域還沒(méi)有發(fā)展出相應(yīng)的計(jì)算方法。這些問(wèn)題揭示著自然界的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，依然未被人類社會(huì)加以應(yīng)用。同時(shí)我們相信，這些方向是計(jì)算機(jī)科學(xué)發(fā)展的前沿，因?yàn)槠淅碚撏陚洌椒ㄇ逦贻p學(xué)子只要努力專一，必然會(huì)獲得成功。
   

   
   

這門課程主要介紹計(jì)算共形幾何的理論、算法和應(yīng)用，涵蓋的數(shù)學(xué)理論包括代數(shù)拓?fù)洌嫖⒎謳缀危箮缀危杪胬碚摵蛿M共形映射理論；算法包括同倫群、同調(diào)群的計(jì)算，曲面調(diào)和映照，基于Hodge理論的全純微分形式，曲面Ricci流，基于凸幾何的最優(yōu)傳輸理論；應(yīng)用主要包括計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中的全局參數(shù)化，計(jì)算機(jī)視覺(jué)中的動(dòng)態(tài)三維曲面配準(zhǔn)，醫(yī)學(xué)圖像中的形狀分析，幾何建模領(lǐng)域中的神圣網(wǎng)格，大數(shù)據(jù)分析中的幾何歸類問(wèn)題，對(duì)抗生成網(wǎng)絡(luò)的最優(yōu)傳輸解釋等等。

代數(shù)拓?fù)涞乃枷牒褪址?/span>

幾何的目的是研究空間和形狀，將形狀進(jìn)行恰切的描述和歸類。最為基本而粗糙的歸類是所謂的拓?fù)浞诸悺Ｎ覀冋f(shuō)兩個(gè)形狀拓?fù)涞葍r(jià)，如果一個(gè)形狀可以連續(xù)變形成另外一個(gè)形狀，不發(fā)生撕破或者粘連。我們研究的形狀最為簡(jiǎn)單和規(guī)則的是所謂的流形，稍微寬泛一點(diǎn)的是復(fù)形。

因?yàn)槿祟惖母泄僦荒芸吹饺S形狀，對(duì)于高維形狀無(wú)法感知。我們考察一個(gè)球面，它是二維流形，但是無(wú)法嵌入在二維平面上面。同理，一個(gè)抽象的三維球面，無(wú)法嵌入在三維歐幾里得空間之中，因此我們只能通過(guò)想象來(lái)感知三維球面：我們想象有一個(gè)實(shí)心的甜甜圈，在其表面可以畫出經(jīng)線和緯線。將兩個(gè)甜甜圈沿著表面粘貼起來(lái)，使得第一個(gè)曲面的經(jīng)線和第二個(gè)曲面的緯線重合，這樣我們得到的實(shí)體就是一個(gè)三維球面。顯然，這種操作在現(xiàn)實(shí)物理上是不可實(shí)現(xiàn)的。

那么，我們?nèi)绾蝸?lái)感知并把握高維流形呢？數(shù)學(xué)上的一個(gè)通用手法就是為所研究的對(duì)象賦予不同的群，通過(guò)對(duì)群結(jié)構(gòu)的分析來(lái)理解刻畫抽象的對(duì)象。群的概念雖然抽象，但是群的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和算法卻是精確明晰的，雖然依然曲折，但是在計(jì)算機(jī)的幫助下，人類是能夠把握的。因此，代數(shù)拓?fù)涞幕舅枷刖褪菍⑼負(fù)鋯?wèn)題代數(shù)化，在拓?fù)淇臻g上賦予各種代數(shù)結(jié)構(gòu)，通過(guò)研究這些代數(shù)結(jié)構(gòu)來(lái)探究空間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

例如，我們?cè)诹餍紊隙x同倫群和同調(diào)群，希望用這些群的結(jié)構(gòu)來(lái)反映流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這里有幾個(gè)層面的問(wèn)題：

1. 信息完全問(wèn)題：在將拓?fù)浯鷶?shù)化的過(guò)程中，會(huì)有信息丟失，比如對(duì)于三維流形，同調(diào)群反映的信息不完全，同倫群反映的信息更多。更為嚴(yán)密的說(shuō)法是：給定兩個(gè)封閉的三維流形，如果它們拓?fù)渫瑯?gòu)當(dāng)且僅當(dāng)它們的同倫群同構(gòu)。但是，相應(yīng)的結(jié)論對(duì)于同調(diào)群不成立。

2. 代數(shù)結(jié)構(gòu)的可計(jì)算問(wèn)題：同倫群通常是非交換的，其計(jì)算歸結(jié)為符號(hào)計(jì)算。計(jì)算一個(gè)流形的基本群（一維同倫群）是線性時(shí)間復(fù)雜度的，但是判定兩個(gè)群是否同構(gòu)，通常是NP-難問(wèn)題。同調(diào)群是可交換的，其計(jì)算歸結(jié)為線性代數(shù)，因而具有多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度。

3. 計(jì)算方法可替代問(wèn)題：為了解決拓?fù)鋯?wèn)題，代數(shù)拓?fù)洳⒎俏ㄒ坏倪x擇，微分拓?fù)浜蛶缀瓮負(fù)鋾?huì)提供強(qiáng)有力的計(jì)算方法。例如，如果一個(gè)紐結(jié)不經(jīng)過(guò)剪段和重新鏈接、可以漸變成另外一個(gè)扭結(jié)，則我們說(shuō)這兩個(gè)紐結(jié)彼此同痕。我們可以用代數(shù)拓?fù)浞椒▉?lái)判定紐結(jié)同痕：兩個(gè)紐結(jié)同痕，當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)谌S歐氏空間中的補(bǔ)集的同倫群同構(gòu)。我們也可以用幾何拓?fù)浞椒ǎ簩⑺鼈兊难a(bǔ)空間配上常曲率的黎曼度量，然后判定補(bǔ)空間是否等距。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，幾何拓?fù)涞姆椒ǜ雍?jiǎn)潔直接。

當(dāng)然，將問(wèn)題代數(shù)化的思想在數(shù)學(xué)中非常普遍。例如，代數(shù)幾何、代數(shù)曲線理論就是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題。比如，給定兩個(gè)實(shí)際生活中的曲面，曲面自然具有歐氏空間誘導(dǎo)的黎曼度量，因此成為黎曼面。曲面上所有的亞純函數(shù)構(gòu)成一個(gè)域（Meromorphic Function Field）。黎曼面之間存在保角雙射，當(dāng)且僅當(dāng)它們的亞純函數(shù)域彼此同構(gòu)。

代數(shù)拓?fù)鋺?yīng)用-虛擬腸鏡

在美國(guó)，直腸癌是男子的第四號(hào)殺手，排在前三位的是心腦血管疾病。人到中年之后，通常每年都會(huì)長(zhǎng)出直腸息肉。如果息肉的位置不當(dāng)，經(jīng)常摩擦潰瘍，就會(huì)發(fā)生癌變。息肉的生長(zhǎng)速度非常緩慢，歷經(jīng)數(shù)年才可能形成惡性病變，因此對(duì)于直腸息肉的監(jiān)控是防止直腸癌的最好手段。傳統(tǒng)光學(xué)腸鏡檢查方法非常具有侵犯性，光學(xué)鏡頭和導(dǎo)管容易造成病人的腸道創(chuàng)傷，病人需要被全身麻醉，創(chuàng)傷恢復(fù)需要數(shù)周。同時(shí)，由于腸壁具有大量的皺褶，皺褶中的息肉無(wú)法被光學(xué)方法檢測(cè)到，從而造成一定的漏檢率。

圖1. 虛擬腸鏡方法。

虛擬腸鏡的方法應(yīng)用CT成像得到腸壁曲面的數(shù)字模型，應(yīng)用共形幾何的方法將腸壁打開(kāi)展平，使得所有的皺褶被攤開(kāi)，所有的息肉完全暴露出來(lái)。這種方法醫(yī)生和病人沒(méi)有肢體接觸，病人不需要被麻醉，不會(huì)產(chǎn)生創(chuàng)傷，所有的息肉都會(huì)被檢測(cè)到。同時(shí)檢查過(guò)程便捷經(jīng)濟(jì)。

從CT圖像到腸壁曲面的計(jì)算過(guò)程中，我們首先需要將圖像進(jìn)行分割（segmentation），劃分出肌肉、空氣、體液的區(qū)域，腸壁肌肉和內(nèi)腔的分界曲面即為腸壁曲面。由于圖像噪聲和分割算法的誤差，這種方法恢復(fù)的腸壁曲面會(huì)產(chǎn)生大量的幾何噪聲和拓?fù)湓肼暋Ｋ^的拓?fù)湓肼暰褪窃谀c壁曲面產(chǎn)生很多虛假的環(huán)柄。檢測(cè)并消除這些環(huán)柄需要計(jì)算曲面同倫群的生成元。

代數(shù)拓?fù)涞膽?yīng)用-安全路由設(shè)計(jì)

在物聯(lián)網(wǎng)中，許多傳感器構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，我們需要設(shè)計(jì)路由算法以確保網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)陌踩Ｈ鐖D2所示，傳感器網(wǎng)絡(luò)覆蓋了平面區(qū)域，陰影部分是網(wǎng)絡(luò)無(wú)法覆蓋的地方，例如池塘。我們希望從點(diǎn)s傳輸消息到達(dá)點(diǎn)t，這里有多條路徑可以選擇 。

圖2. 網(wǎng)絡(luò)路由設(shè)計(jì)。

為了增加信息傳遞的安全性，我們將消息切割成多個(gè)包裹（package），每個(gè)包裹沿著不同的路徑進(jìn)行傳遞，同時(shí)我們要求任意一條路徑不能在網(wǎng)絡(luò)中漸變成另外一條。這意味著不同的路徑應(yīng)該彼此不同倫。如圖中  兩兩彼此不同倫，卻是同倫的。因此如何判斷兩條路徑是否同倫，如何設(shè)計(jì)彼此不同倫的路徑，這些都是網(wǎng)絡(luò)路由設(shè)計(jì)的重要問(wèn)題，其計(jì)算依賴于同倫群的理論。

圈空間的莫爾斯理論

圖3. 曲面上的曲線族。

曲面上的曲線族

圖4. 曲線的同倫類。

圖5. 曲面上的一條簡(jiǎn)單閉曲線。

圖6. 褲子分解和閉曲線的坐標(biāo)。

由“老顧談幾何”顧老師授權(quán)轉(zhuǎn)載。