空間與時(shí)間積分的案例
COMSOL 中空間與時(shí)間積分的方法介紹附COMSOL Multiphysics工程實(shí)踐與理論仿真
在附加物理場接口求解空間積分
要最靈活地使用空間積分，可以將它增加到一個(gè)附加的 PDE 接口上。繼續(xù)使用不定積分的例子，假設(shè)我們并非只希望計(jì)算 的不定積分。這一任務(wù)可以通過 PDE 闡釋：
并在左邊界上指定狄氏邊界條件 。系數(shù)型偏微分方程接口是執(zhí)行這一方程的最簡單接口，我們僅需作如下設(shè)定：
如何針對空間積分使用附加物理場接口。
因變量 代表相對于 的不定積分，在計(jì)算和后處理時(shí)可用。這種方法除了靈活性，還具有準(zhǔn)確性的優(yōu)勢，因?yàn)?em>積分并非作為派生值獲取，而是作為計(jì)算及內(nèi)部誤差估計(jì)的一部分。
利用內(nèi)建算子求時(shí)間積分
我們之前提到過‘?dāng)?shù)據(jù)系列操作’可以作為時(shí)間積分使用。通過分別代表了時(shí)間積分或時(shí)均的內(nèi)置算子 timeint 和 timeavg 是實(shí)現(xiàn)時(shí)間積分另一項(xiàng)重要方法。它們可用于后處理中，能夠?qū)χ付?em>時(shí)間間隔的任何瞬態(tài)表達(dá)式執(zhí)行積分操作。在示例中，我們對 90s 和 100s 的平均溫度感興趣，即：
下方的表面圖顯示了得到的積分，它是 (x,y) 中的一個(gè)空間方程。
如何使用內(nèi)置時(shí)間積分算子 timeavg。
類似的算子還有用于球面對象的積分，也就是 ballint、circint、diskint 以及 sphint。
利用其它物理場接口實(shí)現(xiàn)的時(shí)間積分
如果模型中要用到時(shí)間積分，您需要將其定義為額外的因變量。與上方顯示的系數(shù)型偏微分方程示例類似，這可以通過增加數(shù)學(xué)分支的常微分方程接口實(shí)現(xiàn)。例如，假設(shè)在每個(gè)時(shí)間步長，模型均需要從開始時(shí)刻到當(dāng)前的總熱通量，即需要測量累計(jì)能量。COMSOL 會自動計(jì)算總熱通量變量，名稱為 ht.tfluxMag。積分可以作為帶有分布式常微分方程的附加因變量計(jì)算，它是域常微分和微分代數(shù)方程接口的子節(jié)點(diǎn)。該域常微分方程的源項(xiàng)為被積函數(shù)，如下圖所示。
展開 從“雙耳時(shí)間差”到“元宇宙”：聽覺如何塑造空間感？
無論是在交通安全導(dǎo)航，還是在游戲、家庭影院中營造逼真聲場，聲音的空間屬性都至關(guān)重要。
我們?nèi)绾味ㄎ宦曇簦?首先，聽覺系統(tǒng)會利用雙耳時(shí)間差（圖1a）。
正前方或正后方傳來的聲音會同時(shí)到達(dá)雙耳。但如果聲源偏左或偏右，聲音就會先后到達(dá)兩只耳朵，產(chǎn)生微小的時(shí)間差。從另一個(gè)角度看，雙耳接收到的其實(shí)是同一聲音的不同相位。
兩耳時(shí)差 圖1a：當(dāng)聲音來自前方，雙耳時(shí)間差為零（左）。當(dāng)聲音來自側(cè)面，頭的尺寸約為20厘米，聲速為340米/秒，最大時(shí)差為0.58毫秒（右）
在低頻情況下，我們的大腦能很好地解析相位差。但頻率升高后，波長可能短于頭部尺寸，導(dǎo)致雙耳接收到的相位出現(xiàn)混淆，甚至出現(xiàn)“虛假匹配”（圖1b）。
兩耳相位差 圖1b：通常耳朵會感測到相位差（左），根據(jù)頻率和入射角度，它們可以檢測到虛假相位匹配（右）。
幸運(yùn)的是，我們還有第二條線索：頭部遮擋效應(yīng)。
當(dāng)聲音從側(cè)面?zhèn)鱽恚^部會在另一側(cè)形成“聲影區(qū)”。頻率越高，遮擋效果越明顯。低頻聲音波長較長，能繞過頭部，雙耳聽到的聲音強(qiáng)度相近；而高頻聲音波長較短，會被頭部阻擋，導(dǎo)致遠(yuǎn)離聲源的那只耳朵聽到的聲音變?nèi)酢?此外，耳廓的形狀也會提供重要的頻譜線索。
耳廓不僅會阻擋非正前方的高頻聲，其復(fù)雜結(jié)構(gòu)還會對聲音進(jìn)行反射和濾波，增強(qiáng)或減弱某些頻率。你可以試著轉(zhuǎn)動頭部感受一下：當(dāng)偏離聲源時(shí)，高頻會略微減弱——這種細(xì)微變化平時(shí)不易察覺，卻是定位聲源的重要依據(jù)。
雙耳聲記錄和重放
我們通常需要雙耳才能獲得真實(shí)的空間聽感，因?yàn)樽笥叶穆犛X差異是定位聲源最強(qiáng)的線索。
展開 如何在ANSYS WORKBNCH中施加一個(gè)同時(shí)隨時(shí)間和空間變化的載荷
如何在ANSYS WORKBNCH中施加一個(gè)同時(shí)隨時(shí)間和空間變化的載荷
注：本文轉(zhuǎn)自宋博士的博客
如何在ANSYS WORKBENCH中施加一個(gè)同時(shí)隨時(shí)間和空間變化的載荷？
例如對一個(gè)長為1米，截面是50mm*50mm的梁，施加一個(gè)隨時(shí)間和軸線坐標(biāo)X變化的載荷
其變化規(guī)律是
這里的x是從左端點(diǎn)開始的桿件上各點(diǎn)的X坐標(biāo)
而t是時(shí)間。
因此這是一個(gè) 瞬態(tài)動力學(xué)問題。要求在此載荷規(guī)律作用下梁的變形。
下面是用ANSYS WORKBENCH計(jì)算該問題的過程。
（1）打開ANSYS WORKBENCH14.5。
（2）創(chuàng)建瞬態(tài)動力學(xué)項(xiàng)目示意圖。
（3）創(chuàng)建幾何模型。
雙擊geometry,打開DM,在其中創(chuàng)建一個(gè)長1米，截面是50mm*50mm的長方體。
其細(xì)節(jié)視圖的設(shè)置是
然后退出DS.
（4）創(chuàng)建局部坐標(biāo)系。
雙擊Model，進(jìn)入到mechanical中，并把長度單位切換成米，角度單位切換成radian.然后添加一個(gè)局部坐標(biāo)系，把該坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)定位在長方體的上表面的左邊一個(gè)頂點(diǎn)上。
該坐標(biāo)系用于對后面施加的載荷提供坐標(biāo)系，以確定方程中的X是從哪里開始定義的。
（5）劃分網(wǎng)格。
設(shè)置單元尺寸為25mm,劃分網(wǎng)格如下
（6）設(shè)置載荷步。
對于分析設(shè)置進(jìn)行如下定義
即計(jì)算1秒，而只有1個(gè)載荷步，該載荷步被均分為10個(gè)載荷子步。
（7）固定左端面。
選擇左邊的端面進(jìn)行固定。
（8）施加隨時(shí)間和空間變化的分布載荷。
選擇上表面，施加分布載荷。在其細(xì)節(jié)視圖的magnitude中首先選擇function.說明要用函數(shù)進(jìn)行定義
然后在magnitude中輸入表達(dá)式如下
注意到此時(shí)的坐標(biāo)系統(tǒng)切換成了上面定義的坐標(biāo)系。
展開 如何建立運(yùn)動學(xué)方程，三維空間XYZ關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，有償請教
如何建立運(yùn)動學(xué)方程，三維空間XYZ關(guān)于時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，有償請教
材料性能例如：彈性模量，隨坐標(biāo)或時(shí)間或空間變化系列2-相變、潛熱、材料成分變化
<p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201805/1526958274444_blob.png" alt="blob.png"></p><p>本文是緊接上個(gè)帖子的內(nèi)容，對usdfld子程序采用了另外一種編寫方法，并且對應(yīng)力和應(yīng)變的結(jié)果進(jìn)行了對</p><p>比，兩者結(jié)果完全一致，這表明兩種不同的編寫方法都是正確的，而且達(dá)到了非常一致的結(jié)果，本貼的內(nèi)容將為模量隨坐標(biāo)的模擬提供另一種新的思路，具有很重要的指導(dǎo)意義。</p><p>ABAQUS斷裂模擬收徒 ，保證快速學(xué)會各種ABAQUS斷裂模擬方法 1200/人（將享有各種插件以及程序，價(jià)值3000+、專門定制視頻、全程親自教學(xué)、各種模型調(diào)試及解答問題等等，傾囊相教）</p>
展開 材料性能例如：彈性模量，隨坐標(biāo)或時(shí)間或空間變化系列1-相變、潛熱、材料成分變化 ￥299
<p>材料的彈性模量有時(shí)候隨坐標(biāo)是變化的，例如梯度涂層等，這個(gè)時(shí)候就需要借助子程序來實(shí)現(xiàn)了，下面是成功的模型結(jié)果</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201805/1526905570330_blob.png" alt="blob.png" height="266" width="673"></p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201805/1526905796063_blob.png" alt="blob.png" height="336" width="335">模量隨y坐標(biāo)變化的模型的狀態(tài)變量</p><p>無梯度代表著均勻模量模型，有梯度代表模量從下到上隨y坐標(biāo)變化（如果想讓它隨x坐標(biāo)也變化，可以修改程序，很簡單）</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/201805/1526905703702_blob.png" alt="blob.png"></p><p>模量隨y坐標(biāo)成拋物線變化，底端固定，上面施加拉伸載荷</p><p>結(jié)果分析：</p><p>1 狀態(tài)變量值的大小代表了模量的大小（程序中設(shè)置E與狀態(tài)變量是線性關(guān)系），從狀態(tài)變量的云圖結(jié)果可以看出，底端模量最小，SDV2值最小，隨著y增加，開始增加很慢，然后增加速率增大，頂端的SDV2值最大，由此可知，模量隨y拋物線變化程序是沒有問題的；</p><p>2 從y反向的彈性應(yīng)變也可以看出：對于均勻的彈性模量模型，因?yàn)榭傮w模量都是200GPa，所以相同的拉伸載荷之后，y方向的彈性應(yīng)變更大，這也印證了程序的正確性；</p><p>以下打包文件中包含源程序和例子：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload
展開 材料性能例如：彈性模量，隨坐標(biāo)或時(shí)間或空間變化系列3（圓柱坐標(biāo)系）-相變、潛熱、材料成分變化
<p>有的時(shí)候我們需要材料模量隨坐標(biāo)變化來形成梯度變化的材料，前面已經(jīng)介紹了材料的模量在總體坐標(biāo)系（直角坐標(biāo)系）下隨xy坐標(biāo)的變化，但是在某些特殊情況下，我們需要材料環(huán)向均勻，徑向漸變，這在很多工程研究中都是常見的，下面我們?nèi)匀唤柚暗淖映绦颍淖兙帉戇^程，實(shí)現(xiàn)模量在圓柱坐標(biāo)系下的改變，下面給出例子。</p><div contenteditable="false" width="100%"><img src="https://img.jishulink.com/upload/201806/1528006192252_1.jpg" title="1.jpg" alt="1.jpg" style="max-width:760px;" data-mobile-src="https://img.jishulink.com/upload/201806/1528006192252_1.jpg?image_process=/format,webp" data-pc-src="https://img.jishulink.com/upload/201806/1528006192252_1.jpg?image_process=/format,webp" data-initial-src="https://img.jishulink.com/upload/201806/1528006192252_1.jpg">
</div><div contenteditable="false" width="100%"><img src="https://img.jishulink.com/upload/201806/1528006164041_2.jpg" title="2.jpg" alt="2.jpg" style="max-width:760px;" data-mobile-src="https:/
展開 談?wù)劤Ｒ姷膸追NCFD算法－FVM FDM FEM MPS SPH LBM究竟有什么區(qū)別
該算法是將流體的Euler控制方程在單元控制體內(nèi)進(jìn)行積分后離散求解。目前大家常用的CFD軟件，例如Fluent，CFX，Starccm+和OpenFoam等都是主要基于這種方法。
FVM的基本思路：1、將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，每一個(gè)控制體積都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)作代表，將待求的守恒型微分方程在任一控制體積及一定時(shí)間間隔內(nèi)對空間與時(shí)間作積分；2、對待求函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對時(shí)間及空間的變化型線或插值方式作出假設(shè)；3、對步驟 1 中各項(xiàng)按選定的型線作出積分并整理成一組關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知量的離散方程。
就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的變化規(guī)律（既插值函數(shù)），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點(diǎn)之間如何變化。有限體積法只尋求的結(jié)點(diǎn)值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時(shí)，必須假定值在網(wǎng)格點(diǎn)之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計(jì)算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項(xiàng)采取不同的插值函數(shù)。
FVM的優(yōu)點(diǎn)：1、具有很好的守恒性。2、更加靈活的假設(shè)，可以克服泰勒展開離散的缺點(diǎn)。3、可以很好的解決復(fù)雜的工程問題。對網(wǎng)格的適應(yīng)性很好。4、在進(jìn)行流固耦合分析時(shí)，能夠完美的和有限元法進(jìn)行融合。
2. FDM-有限差分法
有限差分方法(FDM)是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。
展開 計(jì)算流體力學(xué)常用的五大類數(shù)值方法簡介
有限體積法
有限體積法又稱為控制體積法，其導(dǎo)出離散方程的基本思路是：
(1)將計(jì)算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積，每一個(gè)控制體積都有一個(gè)節(jié)點(diǎn)作代表，將待求的守恒型微分方程在任一控制體積及一定時(shí)間間隔內(nèi)對空間與時(shí)間作積分；
(2)對待求函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)對時(shí)間及空間的變化型線或插值方式作出假設(shè)；
(3)對步驟1中各項(xiàng)按選定的型線作出積分并整理成一組關(guān)于節(jié)點(diǎn)上未知量的離散方程。有限體積法著重從物理觀點(diǎn)來構(gòu)造離散方程，每一個(gè)離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式，推導(dǎo)過程物理概念清晰，離散方程系數(shù)具有一定的物理意義，并可保證離散方程具有守恒特性，這是有限體積法的主要優(yōu)點(diǎn)。
就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物，該方法的主要缺點(diǎn)是不便對離散方程進(jìn)行數(shù)學(xué)特性分析。
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