鐵木辛的案例
【JY】從一根懸臂梁說起
懸臂梁左端固結，右端施加2000KN集中荷載，分別采用歐拉梁-計算模型和鐵木辛柯梁-計算模型。
楊衛院士：力之大道兩周天（一）
他的一位弟子是鐵木辛柯。圖1是烏克蘭的一張郵票，所緬懷的肖像就是鐵木辛柯。我曾經訪問過基輔技術大學，他們查了我的師承，知道鐵木辛柯（多年前在該校工作過）是我的五代師祖，就送給我這張郵票以示紀念。這張郵票上列出了一個方程式，它就是材料力學中著名的鐵木辛柯梁方程。鐵木辛柯早期做了很多力學建模工作，把復雜的工程問題凝煉為力學方程。
圖1 紀念郵票，左：鐵木辛柯；右：馮·卡門
普朗特還有另一位弟子叫馮·卡門。二戰前夕，希特勒在德國迫害猶太人，馮·卡門和很多猶太人科學家來到美國，輾轉至加州理工學院。馮·卡門和鐵木辛柯在加州一南一北（分別于加州理工學院和斯坦福大學），把美國的應用力學學科帶動起來。馮·卡門著名的學生、助手有幾十位，其中包括錢學森先生和錢偉長先生。我訪問過馮·卡門曾經工作過的實驗室，在馮·卡門當年的辦公桌上放著一本小冊子，內中逐一評述馮·卡門的學生，其中就有錢學森先生。囿于冷戰時的政治環境，那本小冊子對中國頗有偏見，在對錢先生的介紹中講到“很不幸后來錢學森回到了中國，在紅色中國發展了導彈”。小冊子認為錢學森先生回國是美國的一大損失。哥廷根學派的另一位代表人物是海森堡，他博士論文的工作是研究固體結構的屈曲，后來成為量子力學的主要創始人之一。
德國戰敗之際，美國和前蘇聯接收團來到德國。前蘇聯把德國大批軍工裝備和儀器設備運回國內；而美國更重視人才的接收。當時在加州理工學院任教的馮·卡門和他的學生錢學森一道，來到德國，成功說服普朗特來到美國，參見圖2。這張照片出自馮·卡門的回憶錄 The Wind and Beyond。該回憶錄由一位記者整理，記錄了馮·卡門的生平。其中圖2這張照片非常珍貴，因為普朗特是德國空氣動力學的代表（如機翼理論和V2飛彈），馮·卡門是美國航空航天的代表，而錢學森后來成為了紅色中國導彈技術的領軍人物。可稱這張圖為“空天三代”。
展開 【iSolver案例分享24】球面網殼模態分析
基頻計算結果對比
3.1 五個軟件的基頻比較
第1階自振頻率
梁單元類型
單根桿件單元數目
Ansys
(Hz)
Abaqus
(Hz)
Nastran
(Hz)
Midas
(Hz)
iSolver
(Hz)
歐拉梁
1
10.040
9.4386
10.084
10.0521
10.0839
鐵木辛柯梁
1
10.657
10.123
--
10.0519
10.1231
歐拉梁
20
9.6087
9.6058
9.6065
9.5790
9.6090
鐵木辛柯梁
20
9.6117
9.6072
--
9.5762
9.6076
從表中數據可以看到：
（1）當使用歐拉梁單元且單根桿件僅有1個單元時，abaqus與其他軟件計算出的第一階頻率均存在較大差異；而iSolver的計算結果和Nastran頻率基本完全一樣，而Midas也與ansys更接近。
（2）對于鐵木辛柯梁單元且單根桿件僅有1個單元時，Ansys 、Abaqus、Midas計算結果也存在差異；而iSolver的計算結果和Abaqus完全一致，同時也和Midas的結果更接近。（根據midas的計算結果，文中提到的Midas的鐵木辛柯梁可能只是加入剪力修正的歐拉梁。）
（3）對于歐拉梁單元，當單元加密以后，Abaqus、Nastran、iSolver計算結果基本一致，且略大于Midas，但比Ansys要小一些；
（4）對于鐵木辛柯梁，單元加密時，Ansys、Abaqus、iSolver、Midas四個軟件計算結果基本一致。
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還有一種是鐵木辛柯梁，考慮剪切變形對撓度的影響，但假設切應力是均布的。BEAM188和BEAM189單元使用的梁模型為鐵木辛柯梁。BEAM188單元有兩個節點，BEAM189單元有三個節點，一般情況下每個節點有六個自由度，即沿節點坐標系XYZ的平移自由度和繞XYZ的轉動自由度，通過設置，可以開啟節點的第七個自由度，稱為翹曲自由度，筆者對翹曲自由度無研究。對于本文的一榀鋼排架分析，有如下注意事項：
1 梁結構，提取節點位移和轉角，使用后處理命令PRNSOL;
2 梁結構，提取約束反力，使用后處理命令PRRSOL；
3 梁結構，繪制軸力圖，彎矩圖，剪力圖等，使用后處理命令ETABLE;
后文目錄：
一：建模
二：求解
三：后處理(位移,轉角,約束反力,彎矩,軸力,剪力等)
四：源文件
展開 
STKO助力OpenSEES系列：結構模態分析以及動力特性（MDOF與等效SDOF驗證）
四、歐拉梁和鐵木辛柯梁對模態分析的影響
第四點是一個細節問題，總有同學問我，為什么Abaqus 和OpenSEES 做出來的結果對不上。實際上，是我們并沒有考究我們的單元選擇。在Abaqus 中，若不做特殊設置，默認的梁單元是考慮剪切變形的鐵木辛柯梁，而在OpenSEES中默認的elastic beam column 是歐拉梁。歐拉梁因為不考慮剪切變形則會使得結構稍稍偏剛，這一點可以從下表的對比可以看出，歐拉梁的模型的特征值和圓頻率均大于鐵木辛柯梁。因而在這一節，一并回復詢問者，做模型一定要細心，每一個參數的設置都會導致結構的懸殊。所以在Abaqus請明確使用的是B31 還是B33，在OpenSEES中可以使用section aggregator 進行添加剪切剛度以考慮剪切變形，總之模型需要保持一致性。
五、幾何模型導入的快速建模
第五點內容，可參見文首視頻教程，在這里不再贅述。
六、MDOF 和SDOF 等效合理性的驗證
結構多自由度等效為單自由度的理論是進行結構抗震設計的一個重要內容。通過動力學的知識，我們可知，結構在彈性狀態下，模態之間是正交互不影響的，于是通過對多自由度體系的推導如下：
我們可以得出以下結論： 地震輸入給結構的總能量等于各個模態等效單自由度體系相應能量的之和。因而，我們可以將復雜的MDOF 問題轉化為具有相應有效模態質量的單自由度問題。以雙自由度系統而言，如下圖：
這個雙自由度系統的地震響應就等效為為兩個分別具有有效模態質量的單自由度體系的疊加，也就是振型時程分析的原理。
在這里我們探討一個有趣的問題，我們能否通過對結構的模態分析就可以根據此結構的動力特性求得結構在相應振型荷載分布下的結構初始剛度，這從原理上是可以實現的。
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應用力學的辛數學方法
§2.5.2.1 陀螺力對振動穩定性的影響
§2.5.2.2 辛本征問題及其求解
§2.5.2.3 反對稱矩陣的辛本征問題算法
§2.5.2.4 數例
參考文獻
第三章 柱形坐標彈性體系的求解
§3.1 鐵木辛柯梁理論續講
§3.2 分離變量，本征問題，共軛辛正交歸一關系
§3.3 展開定理
§3.4 本征值多重根與約當型
§3.4.1 鐵木辛柯梁理論的波傳播分析及其推廣
§3.4.2 共軛辛正交的物理解釋——功的互等
§3.5 非齊次方程的展開求解
§3.6 兩端邊界條件
§3.7 區段變形能、精細積分法
§3.7.1 位移法
§3.7.2 區段混合能、辛對偶變量
§3.7.3 黎卡提微分方程及其精細積分
§3.7.4 冪級數展開
§3.7.5 區段混合能合并?
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</strong></p><p><strong>3 梁單元BEAM188和BEAM189詳解</strong></p><p> 在力學理論中，常用的梁力學模型有兩種，一種是歐拉梁，不考慮剪切變形對梁撓度的影響，還有一種是鐵木辛柯梁，考慮剪切變形對撓度的影響，但假設切應力是均布的。BEAM188和BEAM189單元使用的梁模型為鐵木辛柯梁。BEAM188單元有兩個節點，BEAM189單元有三個節點，一般情況下每個節點有六個自由度，即沿節點坐標系XYZ的平移自由度和繞XYZ的轉動自由度，通過設置，可以開啟節點的第七個自由度，稱為翹曲自由度，筆者對翹曲自由度無研究。上文提到，梁單元是線模型分析的默認單元，所以筆者認為要分析線模型，則必須掌握梁單元。<strong>學習梁單元的重點有四個：1如何用梁單元替代桿單元；2梁單元的偏移設置，具體設置可查看后文實例三（梁單元的偏移）；3梁單元的剛接和鉸接，具體設置可查看后文實例四（梁單元的剛接和鉸接）；4梁單元計算結果的查看，具體設置可查看后文實例五（梁單元的后處理）。</strong></p>
展開 Workbench單元總結和分析結果查看
beam188和189的力學模型是鐵木辛科梁，考慮剪切變形對撓度的影響，剪切力為截面均布。
導入梁結構，注意：
梁單元取代桿單元可以通過釋放自由度來實現：
03 2D實體單元
04 殼單元
shell63單元的力學模型是薄板，屬于kirchhoff-love假設，不考慮剪切變形的影響。shell181和281的力學模型是中厚板，屬于mindlin-reissner假設，考慮剪切變形的影響。
05 3D實體單元
SOLID185-3D8N; SOLID186-3D20N;
SOLID187-3D10N; SOLID285-3D4N;
每個節點有三個自由度。
06 梁結果查看
查看應力：
直接應力（軸向拉壓應力）；最小彎曲應力；最大完全應力；最小組合應力（直接應力和最小彎曲應力的組合）；最大組合應力（直接應力和最大彎曲應力的組合）
查看宏觀力：
07 剛度分析
08 應變分析
09 應力分析
10 強度分析
展開 板殼單元的分析詳解 附板殼理論鐵摩辛柯下載
看上面的解釋和理解，可以近似的看到，在板的理論中，從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論≈在梁的理論中，從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論！
關于歐拉梁理論和鐵木辛柯梁理論，可以看下
【JY】從一根懸臂梁說起
但是在梁的理論中，
從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論，考慮剪切變形雖然導致了廣義位移和廣義載荷個數的增加，但兩種梁理論中邊界條件的個數卻是相同的。在板的理論中，
從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論，考慮剪切變形不但增加了廣義位移和廣義載荷的個數，也使剪力從不獨立變為獨立，還使邊界條件的個數增加了1個，這是板的特有現象。
值得指出的是，厚板理論存在邊界效應。比如，厚板理論自由邊的剪力為零，若考察剪力從板中央到自由邊的變化過程，就會發現在自由邊附近剪力急劇減小為零，這就是厚板的邊界效應。隨著板厚度的減小，這種效應會越來越劇烈，因此，對于板的自由邊，綜合剪力等于等于零更為合理。在板的固支和簡支邊界上也會存在邊界效應現象。
展開 【JY】板殼單元的分析詳解
看上面的解釋和理解，可以近似的看到，在板的理論中，從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論≈在梁的理論中，從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論！
關于歐拉梁理論和鐵木辛柯梁理論，可以看下
【JY】從一根懸臂梁說起
但是在梁的理論中，
從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論，考慮剪切變形雖然導致了廣義位移和廣義載荷個數的增加，但兩種梁理論中邊界條件的個數卻是相同的。在板的理論中，
從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論，考慮剪切變形不但增加了廣義位移和廣義載荷的個數，也使剪力從不獨立變為獨立，還使邊界條件的個數增加了1個，這是板的特有現象。
值得指出的是，厚板理論存在邊界效應。比如，厚板理論自由邊的剪力為零，若考察剪力從板中央到自由邊的變化過程，就會發現在自由邊附近剪力急劇減小為零，這就是厚板的邊界效應。隨著板厚度的減小，這種效應會越來越劇烈，因此，對于板的自由邊，綜合剪力等于等于零更為合理。在板的固支和簡支邊界上也會存在邊界效應現象。
展開 
ansys建模計算——常用單元和材料類型
beam188和beam189號稱超級梁單元，基于鐵木辛科梁理論，有諸多優點：考慮剪切變形的影響，截面可設置多種材料，可用"/eshape,1"顯示形狀，截面慣性矩不用自己計算而只需輸入截面特征，可以考慮扭轉效應，可以變截面（8.0以后），可以方便地把兩個單元連接處變成鉸接（8.0以后，用ENDRELEASE命令）。缺點是：8.0版本之前beam188用的是一次形函數，其精度遠低于beam4等單元，一根梁必須多分幾個單元。8.0之后可設置“KEYOPT(3)=2”變成二次形函數，解決了這個問題。可見188單元已經很完善，建議使用。beam189與beam188的區別是有3個結點，8.0版之前比beam188精度高，但因此建模較麻煩，8.0版之后已無優勢。
(3)shell(板殼)系列
shell41一般用來模擬膜。
shell63可針對一般的板殼，注意僅限彈性分析。
它的塑性版本是shell43。
加強版是shell181（注意18*系列單元都是ansys后開發的單元，考慮了以前單元的優點和缺陷，因而更完善），優點是：能實現shell41、shell63、shell43...的所有功能并比它們做的更好，偏置中點很方便（比如模擬梁版結構時常要把板中面望上偏置），可以分層，等等。
(4)solid（體）系列
土木中常用的就solid45、46、65、95等。
45就不用多說了，95是它的帶中結點版本。
solid46可以容忍單元的長厚比達到20比1，可以用來模擬鋼板碳纖維板鋼管等。
solid65是專門的混凝土單元，可以考慮開裂，這個討論得很多了，清華的陸新征寫的一個講義(www.luxizheng.net)里面有詳細解釋。
展開 超高層框筒結構反應譜分析
圖四 的材料參數選取原則
圖五 模型中的參數
由于使用了中的鐵木辛科梁單元，還需要在文件中為梁單元截面額外定義橫向剪切剛度，定義方法為在的 中添加*關鍵字，如圖六所示。
圖六 在中添加關鍵字
此模型是為了計算反應譜，而反應譜需要輸入地震幅值。利用GB-SPECTR提取地震數據并進行加工處理，見圖六、圖七。設置分析步時，step1：線性攝動，頻率，數值10（即10個振型）；step2：線性攝動，反應譜。
圖六 GB-SPECTR提取地震數據
圖七 地震數據處理
進行相互作用時，要合并所有線條結構整合成框架，進行框架-核心筒鋼板墻、框架-樓板的綁定，見圖八。
圖八 約束設置
設置載荷時，固定底部即可，見圖九。網格設置按默認，梁方向設置成1，0，0。
圖九 固定底部
作業模塊中調用子程序，見圖十。
圖十 調用
計算結果見圖十一、圖十二。
圖十一 可視化云圖
圖十二 反應譜
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柔性梁原理；
柔性梁是一個無質量的相同截面的柔性連接，按照Timoshenko（鐵木辛柯梁理論）來傳遞兩個標記點之間力和力矩，如圖1-4、圖1-5 示，詳細計算見表1-2。
3) Pad 襯墊（板之間接觸力）；
板簧各片之間的接觸用Adams/View 中的接觸力來定義,見圖1-6 示，通過用戶圖形界面來為前半段和后半段板簧之間加入接觸力以及襯墊高度和摩擦力。
4) Clip 彈簧夾；
彈簧夾主要作用：
a. 當鋼板彈簧反向變形（反跳）時，是各片不致互相分開，以免主片單獨承載；
b. 防止各片橫向錯動。
用戶可以為主片簧和其他板簧之間定義Clip 彈簧夾，采用固定副將彈簧夾固定到底部的板簧上。板簧之間創建接觸力，主片簧和彈簧夾之間創建接觸力，見圖1-7 示。
展開 『分享』彈性力學與張量分析（郭日修）
張量的物量分量
第三章 張量分析
§3.1 基矢量的偏導數與克里斯托費爾符號
§3.2 正交曲線坐標系的克里斯托費爾符號
§3.3 矢量的協變導數
§3.4 高階張量的協變導數
§3.5 張量方程
§3.6 梯度、散度、旋度
§3.8 黎曼－克里斯托費爾張量
§3.9 兩點張量場
第二篇 彈性力學基本方程
第四章
應力分析
§4.1 應力張量的概念
§4.2 平衡方程
§4.3 應力張量的主方向、主值、不變量
§4.4 最大剪應力
§4.5 八面體剪應力
§4.6 偏應力張量
§4.7 應力張量的物理分量
§4.8 圓柱坐標系、球坐標系中的靜力方程
第五章
應變分析
§5.1 應變張量的概念
§5.2 直角坐標系中的應變張量
§5.3 小變形應變張量、轉動張量
§5.4 相容方程
§5.5 應變張量的一些性質
§5.6 應變張量的物理分量
§5.7 圓柱坐標系、球坐標系中的幾何方程
§5.8 變形前后體元及面元的變化
§5.9 大變形的應力張量
第六章 應力－應變關系
§6.1 廣義胡克定律、彈性張量
§6.2 各向同性彈性體的彈性張量
§6.3 彈性常數的物理意義
§6.4 各向同性彈性體的廣義胡克定律
§6.5 偏應力張量與偏應變張量的關系
第七章 彈性力學的基本方程
§7.1 方程的匯集
§7.2 彈性力學平衡問題的提法
§7.3 以位移矢量ui
§7.4 以應力張量σij表示的相容方程
§7.5 解的惟一性
§7.6 圣維南原理
§7.7 疊加原理
第三篇 彈性力學問題及解題方法
第八章 若干線彈性問題的精確解
§8.1 內、外壓力作用下的球殼――球對稱問題
§8.2 內、外壓力作用下的圓柱殼――軸對稱問題
§8.3 等截面直桿的扭轉
§8.4 等截面直桿扭轉問題舉例
§8.5 梁的純彎曲
§8.6 平面問題
§8.7 平面問題舉例
第九章 幾個應用彈性力學問題
§9.1 鐵木辛柯梁理論
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