牛頓的案例
5-流體的幾組基本概念——壓縮與不可壓縮流、牛頓與非牛頓流、定常與非定常流
認識流體之壓縮與不可壓縮流、牛頓與非牛頓流、定常與非定常流
1、不可壓縮流和可壓縮流
壓縮性是流體的基本屬性。
任何流體都是可以壓縮的，只不過可壓縮的程度不同而已。
液體的壓縮性都很小，隨著壓強和溫度的變化，液體的密度僅有微小的變化，在大多數情況下，可以忽略壓縮性的影響，認為液體的密度是一個常數。
氣體的壓縮性都很大。從熱力學中可知，當溫度不變時，完全氣體的體積與壓強成反比，壓強增加一倍，體積減小為原來的一半；當壓強不變時，溫度升高1℃體積就比0℃時的體積膨脹1/273。所以，通常把氣體看成是可壓縮流體，即它的密度不能作為常數，而是隨壓強和溫度的變化而變化的。我們把密度隨溫度和壓強變化的流體稱為可壓縮流體。把液體看作是不可壓縮流體，氣體看作是可壓縮流體，都不是絕對的。在實際工程中，要不要考慮流體的壓縮性，要視具體情況而定。
2、牛頓流體與非牛頓流體
考慮流體的剪切應力和速度梯度之間的關系。如果流動過程中流體層間所產生的剪應力與法向速度梯度成正比，而與壓力無關，則這種流體為牛頓流體。
非牛頓流體廣是指不滿足牛頓黏性實驗定律的流體，指的是其剪應力與剪切應變率之間不是線性關系的流體，粘性隨著剪切力或者剪切速率而變化而改變。非牛頓流體其實很常見，絕大多數生物流體都屬于現在所定義的非牛頓流體。比如人身上血液、淋巴液、囊液等多種體液，以及像細胞質那樣的“半流體”都屬于非牛頓流體。
太（白）粉溶液是典型的非牛頓流體，它的主要特征是：流體的粘度會因為受到的壓力或速度而變化，壓力越大速度越快，粘度會增加，甚至可以成為暫時性的固體。一盆太（白）粉的水溶液，如果你將手緩慢的插入水溶液中你的手會沒入其中，當你拿出來時手上會沾滿白色的太（白）粉溶液。
展開 ANSYS Workbench分析實例之牛頓擺
一個有趣的案例
牛頓擺是個解壓且能激發創造力的玩具。除此之外，它還向人們昭示著自然界中兩個極其重要的基本物理定律——能量守恒定律和動量守恒定律。
動量守恒定律
孤立系統的動量是守恒/恒定的。即當兩個物體碰撞時，碰撞前后的動量保持不變。
動量守恒定律是最早發現的一條守恒定律，它淵源于十六、七世紀西歐的哲學思想。法國哲學家兼數學、物理學家笛卡爾，對這一定律的發現做出了重要貢獻。
其實，笛卡爾與瑞典克里斯汀公主既沒心形曲線也沒愛情，有的只是命債……
牛頓爵士不會想到，在他逝世以后的240年，一個他從來沒有玩過的玩具——牛頓擺誕生，并且以他的名字命名。實際上，牛頓擺既不是牛頓發明的，也不是他第一個提出玩具演示法則的。
1662年，克里斯提安·惠更斯等三位科學家向皇家學會提交的論文中首次提到了這種擺所展示的原理。克里斯提安·惠更斯尤其對牛頓擺的發明做出了最大貢獻。
至于為什么要以牛頓的名字命名，可能是因為動量守恒定律是從牛頓第二定律中得出來的吧！也或者是牛頓對經典力學的貢獻要遠高于惠更斯這些人，也未可知。
一般來說，牛頓擺由5（奇數）個小球組成，將最左側的球抬高至一定的高度，讓其自由回落，回落時碰撞緊密排列的另外四個球，最右邊的球將被彈出，并僅有最右邊的球被彈出。
當然此過程也是可逆的，當擺動最右側的球撞擊其它球時，最左側的球會被彈出。當最右側的兩個球同時擺動并撞擊其他球時，最左側的兩個球會被彈出。
展開 【JY】超詳細的非牛頓流體模型使用方法
本篇文章將詳細介紹非牛頓流體函數的具體使用方法。
常見的非牛頓流體有：冪律、CarreauYasuda 模型、交叉模型、Herschel-Bulkley 模型以及粘度曲線等 5 種模型。
表觀粘度η
非牛頓流體的粘度μ隨剪切速率γ′和剪切應力τ而變化，所以用流動曲線上某一點的τ與γ′的比值來表示在某一值時的粘度，這種粘度稱為表觀粘度，用η表示：
τ=ηγ′
η=τ/γ′
下面將介紹各模型的參數的含義：
① 冪律（Ostwald-De Wale冪律）：
冪律模型適用于廣泛剪切變形速率下的假塑性流體或脹塑性流體。
由于其在公式上的簡單性，在工程上有較大的實用價值。但是由于它是一個純粹的經驗方程，所以物理意義不夠明確。
另外，對于切變率很大或很小的情形，冪指數定律都不適用。
一致性指數：k，也稱稠度系數。k值是粘度的度量，但不等于粘度值，而粘度越高，K值也越高；
冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，是與溫度有關的參數，n偏離1的程度越大，表明材料非牛頓性越強。；
當n>1時，冪律方程反映剪切變稠的脹塑性流體（如淀粉、蔗糖溶液、涂料等）；
當n<1時，冪律方程反映剪切變稀的假塑性流體（如大多數聚合物，番茄醬等）；
當n=1時，冪律方程反映牛頓流體k=η0；
最小粘度：流體在冪律模型下適用的最小粘度，n>1時必須要輸入；
最大粘度：流體在冪律模型下適用的最小粘度，n<1時必須要輸入。
多數高分子流體是假塑性流體，可以用冪律方程描述，其流動行為指數n=0.15~0.6。
② Carreau Yasuda模型：
Carreau Yasuda方程既反映高剪切速率下的假塑性，又反映低剪切速率下的牛頓性。能夠描寫比冪律方程范圍更廣的流動性質。
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牛頓擺是個解壓且能激發創造力的玩具。除此之外，它還向人們昭示著自然界中兩個極其重要的基本物理定律——能量守恒定律和動量守恒定律。
動量守恒定律
孤立系統的動量是守恒/恒定的。即當兩個物體碰撞時，碰撞前后的動量保持不變。
動量守恒定律是最早發現的一條守恒定律，它淵源于十六、七世紀西歐的哲學思想。法國哲學家兼數學、物理學家笛卡爾，對這一定律的發現做出了重要貢獻。
其實，笛卡爾與瑞典克里斯汀公主既沒心形曲線也沒愛情，有的只是命債……
牛頓爵士不會想到，在他逝世以后的240年，一個他從來沒有玩過的玩具——牛頓擺誕生，并且以他的名字命名。實際上，牛頓擺既不是牛頓發明的，也不是他第一個提出玩具演示法則的。
1662年，克里斯提安·惠更斯等三位科學家向皇家學會提交的論文中首次提到了這種擺所展示的原理。克里斯提安·惠更斯尤其對牛頓擺的發明做出了最大貢獻。
至于為什么要以牛頓的名字命名，可能是因為動量守恒定律是從牛頓第二定律中得出來的吧！也或者是牛頓對經典力學的貢獻要遠高于惠更斯這些人，也未可知。
一般來說，牛頓擺由5（奇數）個小球組成，將最左側的球抬高至一定的高度，讓其自由回落，回落時碰撞緊密排列的另外四個球，最右邊的球將被彈出，并僅有最右邊的球被彈出。
當然此過程也是可逆的，當擺動最右側的球撞擊其它球時，最左側的球會被彈出。當最右側的兩個球同時擺動并撞擊其他球時，最左側的兩個球會被彈出。
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由牛頓與胡克之爭論看理性力學
在力學的基本方針上，牛頓的理性力學是建立在質點概念上的，而胡克的力學概念是彈性變形的應力概念。在現代力學中，一般的區分體力（牛頓概念的推廣）和面力（應力，胡克概念）為不同的概念。]因而，二者間的爭論是必然的。
牛頓與胡克爭論的本質就在于力學概念的差別。在當時，牛頓的理性力學包括靜力學和動力學，而胡克的力學概念只限于靜力學。因而，胡克處于下風。
牛頓運用微分原理，論證可以把面力用點力概念代替。用作用力等于反作用力來使兩個對應面閉合成一個體積元，因而使點力的概念完整化。但是，胡克看到的是，包圍一個體積元兩個對應面上的應力是不同的，除非該體積元無變形。
這樣一來，牛頓力學就演化成為剛體（質點）力學，而胡克的力學概念則演化成為彈塑性（變形）力學（連續介質力學）。
在建立彈性動力學理論時，牛頓的質點力被推廣為微元體的體力，與應力（面力）概念一起，得到了基本的方程：應力的梯度等于牛頓的質點力（加速力）。二個概念缺一不可。
然而，除了了解工程力學（連續介質力學）的研究人員外，一邊倒的是不加思考的接受牛頓質點力的概念。
對于已接受牛頓質點力概念的人，學習工程力學（連續介質力學）時會很容易的接受和使用矢量概念的有關解釋（如對 Kirchhoff-Love 無旋矢量與無散矢量的和分解定理的偏愛），而很難接受張量概念（如對陳 Stokes 伸張張量與正交轉動張量的和分解定理的排斥）。
這是一個莫大的諷刺：張量概念誕生于彈性變形的應變（應力）概念和高斯曲面幾何概念；而工程力學（連續介質力學）卻趨向于排斥它。只不過是在愛因斯坦成功的使用張量概念后，在工程力學（連續介質力學）中，才趕時髦式的應用了張量的表達方式。其中，Green應變張量概念是最為受到重視的。
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常見的非牛頓流體有：冪律、CarreauYasuda 模型、交叉模型、Herschel-Bulkley 模型以及粘度曲線等 5 種模型。
表觀粘度η
非牛頓流體的粘度μ隨剪切速率γ′和剪切應力τ而變化，所以用流動曲線上某一點的τ與γ′的比值來表示在某一值時的粘度，這種粘度稱為表觀粘度，用η表示：
τ=ηγ′
η=τ/γ′
下面將介紹各模型的參數的含義：
① 冪律（Ostwald-De Wale冪律）：
冪律模型適用于廣泛剪切變形速率下的假塑性流體或脹塑性流體。
由于其在公式上的簡單性，在工程上有較大的實用價值。但是由于它是一個純粹的經驗方程，所以物理意義不夠明確。
另外，對于切變率很大或很小的情形，冪指數定律都不適用。
一致性指數：k，也稱稠度系數。k值是粘度的度量，但不等于粘度值，而粘度越高，K值也越高；
冪律指數：n，為流動行為指數或非牛頓指數，是與溫度有關的參數，n偏離1的程度越大，表明材料非牛頓性越強。；
當n>1時，冪律方程反映剪切變稠的脹塑性流體（如淀粉、蔗糖溶液、涂料等）；
當n<1時，冪律方程反映剪切變稀的假塑性流體（如大多數聚合物，番茄醬等）；
當n=1時，冪律方程反映牛頓流體k=η0；
最小粘度：流體在冪律模型下適用的最小粘度，n>1時必須要輸入；
最大粘度：流體在冪律模型下適用的最小粘度，n<1時必須要輸入。
多數高分子流體是假塑性流體，可以用冪律方程描述，其流動行為指數n=0.15~0.6。
② Carreau Yasuda模型：
Carreau Yasuda方程既反映高剪切速率下的假塑性，又反映低剪切速率下的牛頓性。能夠描寫比冪律方程范圍更廣的流動性質。
展開 Abaqus非牛頓流體模擬方法 ￥169.99
</p><p><img src="https://img.jishulink.com/202007/imgs/3e90259f09b04630aef2c20cd6352c3b"></p><p><strong>John Mainstone與瀝青滴漏實驗裝置</strong></p><p>非牛頓流體中的脹塑性流體無疑是流體中的世界級網紅，它很奇特，人可以在上面快速跑動，但是靜站在上面就會陷下去，它的力學特點是表觀粘度隨剪切速率的增大而增大，通俗地講就是“你剛（快）我強，你弱（慢）我柔”，可以抵抗沖擊，但是輕撫就稀碎，所以有人建議拿它來做防彈衣。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/202007/imgs/865509da4ae8473d82e11380421f2c02"></p><p><strong>脹塑性流體</strong></p><p>如何用Abaqus模擬非牛頓流體？</p><p>Abaqus自6.9版加入了非牛頓流體的模擬功能，用戶可以在Abaqus/CFD模型中執行一個包含非牛頓流體的流體動力學分析，也可以在Abaqus/Explicit模型中使用非牛頓流體，比如CEL或SPH分析。</p><p>需要注意的是，在Abaqus/Explicit模型中使用非牛頓流體，剪切粘度的定義必須與狀態方程（EOS）描述的材料一起使用。
展開 牛頓擺之力學淺析-不連續介質中的“波動”問題 ￥49.99
理想牛頓擺的模擬效果
牛頓擺（Newton's cradle）并非牛頓發明，這種裝置中小球的碰撞特點最早是由法國物理學家埃德姆·馬略特（高中物理的理想氣體定律三大基石之一，波義耳-馬略特定律么還記得嗎？）于1676年發現并提出。
論輩分，馬略特要大牛頓二十幾歲，可能他是要致敬這位橫空出世的天才，這個擺球裝置被命名為牛頓擺。
我們可以看到，理想牛頓擺中間的3個球在碰撞過程中“穩如泰山”，然而，現實中的牛頓擺要做到這種效果，是極其困難的事情，因為沖擊能量的傳遞速度是有限的，中間那幾個球會總會有一些能量來不及傳遞出去就已經失去了來自接觸面的約束，所以并不會原地不動。
現實中的牛頓擺是這樣的：
中間的球也在動
這樣的：
中間的球又在動
擺來擺去，還是這樣的：
中間的球還在動
理想概念根深蒂固導致的一個問題
想跟提問者說，對于問題描述而言，第一句可能不是必須的。
牛頓擺的Abaqus仿真模擬
理想中的牛頓擺不考慮能量損失，是完全的彈性碰撞，現實中的牛頓擺有摩擦（球與球之間、球與空氣，繩索連接處等），系統存在阻尼，非彈性碰撞與阻尼會耗散掉初始動能，繩索與球自身變形引起的振動也會吸收一部分能量。
牛頓擺碰撞仿真模型
這個問題的核心不在于球怎么振動，而在于沖擊的傳遞過程，所以我們通過剛體接觸建模來建立牛頓擺的碰撞仿真模型。
球與球之間的接觸屬性設置里面需要定義適當的法向接觸算法、摩擦系數與接觸尼阻。
牛頓擺碰撞仿真
還記得我們有一期文章提到的Abaqus虛擬高速攝影嗎？
展開 OAS 軟件牛頓環案例解難題
牛頓環的三維追跡圖
牛頓環的干涉條紋圖
總結
該案例充分體現了 OAS 光學軟件在光學現象模擬中的優勢，基于 OAS 軟件的牛頓環模擬方案，還可拓展至非球面元件檢測、薄膜厚度測量等領域，為光學工程應用提供可靠的技術支撐。
comsol的非彈性非牛頓流體的本構方程參數估計 ￥375
image_process=/format,webp/resize,w_219" alt="基于comsol的鋰電池疊片電化學耦合熱分析的圖1" width="219"></span></p><p> </p><p> 非牛頓流體，是指不滿足牛頓黏性實驗定律的流體，即其剪應力與剪切應變率之間不是線性關系的流體。非牛頓流體廣泛存在于生活、生產和大自然之中。絕大多數生物流體都屬于所定義的非牛頓流體。 </p><p> 高分子聚合物濃溶液和懸浮液等一般為非牛頓流體。聚乙烯、聚丙烯酰胺、<a href="https://baike.baidu.com/item/%E8%81%9A%E6%B0%AF%E4%B9%99%E7%83%AF/1688898" rel="noopener noreferrer" target="_blank">聚氯乙烯</a>、尼龍6、PVS、賽璐珞、滌綸、橡膠溶液、各種工程塑料、化纖的熔體、溶液等，都是非牛頓流體。石油、泥漿、水煤漿、陶瓷漿、紙漿、油漆、油墨、牙膏、家蠶絲再生溶液、鉆井用的洗井液和完井液、磁漿、某些感光材料的涂液、泡沫、液晶、高含沙水流、泥石流、地幔等也都是非牛頓流體。食品工業中的番茄汁、淀粉液、蛋清、蘋果漿、濃糖水、醬油、果醬、煉乳、瓊脂、土豆漿、熔化巧克力、面團、米粉團、以及魚糜、肉糜等各種糜狀食品物料也都是非牛頓流體。
展開 fluent下使用非牛頓流體（轉載）
fluent下使用非牛頓流體
1、非牛頓流體：剪應力與剪切應變率之間滿足線性關系的流體稱為牛頓流體，而把不滿足線性關系的流體稱為非牛頓流體。
2、fluent中使用非牛頓流體
a、層流狀態：直接在材料物性下設置材料的粘度，設置其為非牛頓流體。
b、湍流狀態
fluent在設置湍流模型后，會自動將材料的非牛頓流體性質直接改成了牛頓流體，因此需要做一些修改。最基本的方式有兩種：1、打開隱藏的湍流模型下非牛頓流體功能；2，直接利用UDF宏DEFINE_PROPERTY定義
3、打開隱藏的湍流模型下非牛頓流體功能
方法為：
（1） 在湍流模型中選擇標準的k-e模型；
（2） 在Fluent窗口輸入命令：define/models/viscous/turbulence-expert/turb-non-newtonian 然后回車。
（3） 輸入：y 然后回車。
4、利用DEFINE_PROPERTY宏
A：這是一個自定義材料的粘度程序如下，也許對你有幫助。
在記事本中編輯的，另存為“visosity1.c"
#include "udf.h"
DEFINE_PROPERTY(cell_viscosity, cell, thread)
{
real mu_lam;
real trial;
rate=CELL_STRAIN_RATE_MAG(cell, thread);
real temp=C_T(cell, thread);
mu_lam=1.e12;
{
if(rate>1.0e-4 && rate<1.e5)
trial=12830000.
展開 
基于非牛頓流體力學的酸奶粘度研究
本文通過對酸奶這種非牛頓流體的粘度研究，分析采集到的數據，獲得其流體特性介質參數，根據該流體特性介質參數優化酸奶生產工藝，進而提出降低初態粘度和平穩粘度間差異的改進方案。
攪拌型酸奶作為一種發酵乳制品，在完成破乳停止發酵后，變成一種具有一定粘稠度的液體，其粘度值隨著溫度、時間和剪切率的改變而改變，這種物質在流變學中被定義為非牛頓流體。
流變學中指出不滿足牛頓黏性實驗定律的流體，被定義為非牛頓流體，其剪應力與剪切應變率之間不是線性關系。非牛頓流體廣泛存在于生活、生產和大自然中，食品工業中的酸奶就是一種典型的非牛頓流體。非牛頓流體的粘度，在特定溫度下，除了依賴于剪切速率外，它還依時間而變化。此時，粘度不僅是剪切值大小的函數，而且也是剪切作用時間長短的函數，因此酸奶粘度在特定溫度下是剪切率和時間兩個變量的函數，即：
非牛頓流體的初態粘度μ、穩態粘度η、粘度損失率λ，以及剪切率γ 存在以下關系：
其中，Q為流量；D為管道直徑。
通過在線粘度數據采集，利用不同剪切率下的初態粘度曲線、粘度損失率曲線和穩態粘度曲線，來確定上述非牛頓流體的介質參數，并在設計改進方案時利用這些介質參數進行模擬建模，進而確定適合該流體酸奶的最佳生產工藝參數，為降低初態粘度和平穩粘度間的差異提供客觀數據依據。
設備與方法
設備
采集數據的關鍵是在線取樣設備和粘度測量設備，這里選用Rheomat 180粘度儀來連續獲得多個粘度值。
展開 [飛控]從零開始建模(一)-牛頓歐拉方程
物體如何旋轉跟力矩有關，力矩與力F和距離l有如下公式：
(這里的力矩與機型有關)如果是‘十’字型的飛機
x,y,z軸的力矩為：
d是機體中心到每個螺旋槳的距離，b是一個系數
具體推導過程參考
《Quadcopter Dynamics, Simulation, and Control》
進而根據歐拉方程：
其中J是慣量矩陣，ω是角速度，ε是角加速度，這里的運算是叉乘
通常我們假設四旋翼進行小角度運動，那么角速度為：
所以角加速度為：
慣量矩陣為：
整理上述公式可得：
4.牛頓-歐拉方程
可以看到建模的其實就是為了得到輸入的力與加速度的關系，通過牛頓方程可以得到平動的加速度，通過歐拉方程可以得到角加速度，所以這種建模方法也叫牛頓-歐拉方程：
建模到這里已經完成了大部分工作，現在還剩下兩個問題
電機產生的力f1,f2,f3,f4怎么求
這個方程里有很多參數如何確定，比如系數b,轉動慣量矩陣等等
電機產生的力這部分叫做動力系統建模，是跟你的電機，電調有關，通常可以認為：
C_T為升力系數，w為螺旋槳的轉速,帶入模型中可得：
轉動慣量J，升力系數C_T，扭力系數C_M,要確定模型里這些未知的參數需要用到系統辨識的相關知識。但是目前我們可以使用一種簡單的方法來確定。
展開 Fortran基礎編程——牛頓拉弗森迭代
今日推文主要分享一個非線性方程的牛頓-拉弗森迭代解法，借助Fortran語言，講述Fortran編程時需要注意的地方。理論及在Abaqus中的實現過程已在上幾期推文基于Abaqus的Newton-Raphson算法中說明，本次主要說明Fortran編程時需要注意的地方，本文代碼主要參考：《Fortran程序設計權威指南》。
例：
主程序
主程序：Solve.f90，子程序：New_Raphson.f90，函數文件：function.f90，Module模塊：NEWTON.F90。將整個程序分塊編寫，在主程序中調用即可，大型的Fortran中顯得尤為重要。
主程序代碼：
PROGRAM main
! 主程序：Newton迭代法計算方程的根
use NEWTON
OPEN(UNIT=11,FILE='FOUT1510.TXT')
OPEN(UNIT=12,FILE='IM_RESULT1510.TXT')
CALL SOLVE(X,ITER)
WRITE(11,46)X,ITER
46 FORMAT(T5,'Newton迭代法計算方程的根',//,&
3X,'X= ',F15.10,/,&
3X,'ITER=',I5)
END PROGRAM main
由上述程序可看出，主程序只有use、call、輸出語句，甚至可以將輸出語句編一個子程序，在主程序中用call調用即可，如此以來，使得自己的代碼更加簡潔明朗，在編寫Python、Matlab也是同樣的道理。
展開 MATLAB牛頓迭代求根
一個基于MATLAB進行牛頓迭代的簡單案例~
NewtonRaphson.zip
