動量守恒的案例
Moldex3D模流分析Flow參考資料之數學模型及其假設
傳統上射出成形程序的近似分析方法示意圖
基本上，流動的方程式通常包括質量守恒、動量守恒及能量守恒。
質量守恒Conservation of Mass
如上假設所述，質量守恒定律可以表示為：
?·(u) = 0
u在此處代表速度向量。通常大家希望能夠對上式做點修正，即以微分或其導函數項來表示之：
此顯示在直角坐標系統中沿不同方向的變化量。
動量守恒Conservation of Momentum
根據動量守恒定律，流體在某固定的體積下，其總動量只會因為經由表面進入流體的動量凈流入量及重力這樣的外力作用在流體上時才會增加?？梢韵率奖硎局?此處是每單位體積的質量乘上加速度，此為慣性作用效應。當處于穩態且無慣性作用時，若進一步忽略重力的效應后，式子可被簡化成：
Stokes equation這就是著名的史托克方程式(Stokes equation)。此方程式經常被應用到其他3D 模具充填分析軟件，用來當作默認的方程式, 以此方程式為基礎, 此動量方程式甚至可簡化為：
當應用材料不可壓縮性后，并導入厚度方向的平均速度分量，，我們可以進一步簡化：
其中，且 h 是厚度的一半。
所以質量與動量守恒可以簡化成與壓力有關的質量-動量方程式
展開 數值計算|控制方程及單值性條件
導讀：計算流體力學中的流動與傳熱過程都遵循3個基本物理定律：質量守恒、動量守恒及能量守恒。本文介紹這些定律的數學表達式-控制方程，以及使一個過程區別另一個過程的單值性條件(初始條件及邊界條件)
控制方程通用形式
流動傳熱過程中的3個基本物理定律均有各自的數學描述(控制方程)，具體參見本節后面部分，但這些描述方式有統一的表達形式，即控制方程的通用形式：
當流動傳熱過程伴隨質量交換時，控制方程還需要增加組分守恒定律：
質量守恒定方程：[單位時間內為微元體中流體質量的增加]=[單位時間內流入微元體的凈質量]
動量守恒方程：[微元體流體動量的增加率]=[作用在微元體上各種力之和]
能量守恒定律： [微元體內熱力學能的增加率]=[進入微元體的凈熱流量]+[體積力與表面力對微元體做的功]
控制方程的類型
控制方程主要有兩大類-守恒型及非守恒型，兩者區域在于控制方程左側對流項的表現形式。(對流項表示流動在單位時間內單位面積上進入微元體的某個物理量凈值)
守恒型：上述的通用形式控制方程：
其對流項均采用散度(divergence)的形式表示，這種形式稱為守恒型控制方程。
非守恒型：
質量守恒方程：
動量守恒方程：
能量守恒方程：
守恒型與非守恒型的比較：
守恒型與非守恒型都是守恒定律的數學表達。
由于數值計算是對有限大小的計算單元進行的，對于有限大小的計算體積，兩種形式的控制方程則有不同的特性。凡是從守恒型的控制方程出發，采用控制容積積分法導出的離散方程可以保證守恒特性，而從非守恒型控制方程出發所導出控制方程未必具有守恒特性。
展開 ANSYS Workbench分析實例之牛頓擺
除此之外，它還向人們昭示著自然界中兩個極其重要的基本物理定律——能量守恒定律和動量守恒定律。
動量守恒定律
孤立系統的動量是守恒/恒定的。即當兩個物體碰撞時，碰撞前后的動量保持不變。
動量守恒定律是最早發現的一條守恒定律，它淵源于十六、七世紀西歐的哲學思想。法國哲學家兼數學、物理學家笛卡爾，對這一定律的發現做出了重要貢獻。
其實，笛卡爾與瑞典克里斯汀公主既沒心形曲線也沒愛情，有的只是命債……
牛頓爵士不會想到，在他逝世以后的240年，一個他從來沒有玩過的玩具——牛頓擺誕生，并且以他的名字命名。實際上，牛頓擺既不是牛頓發明的，也不是他第一個提出玩具演示法則的。
1662年，克里斯提安·惠更斯等三位科學家向皇家學會提交的論文中首次提到了這種擺所展示的原理?？死锼固岚病せ莞褂绕鋵εｎD擺的發明做出了最大貢獻。
至于為什么要以牛頓的名字命名，可能是因為動量守恒定律是從牛頓第二定律中得出來的吧！也或者是牛頓對經典力學的貢獻要遠高于惠更斯這些人，也未可知。
一般來說，牛頓擺由5（奇數）個小球組成，將最左側的球抬高至一定的高度，讓其自由回落，回落時碰撞緊密排列的另外四個球，最右邊的球將被彈出，并僅有最右邊的球被彈出。
當然此過程也是可逆的，當擺動最右側的球撞擊其它球時，最左側的球會被彈出。當最右側的兩個球同時擺動并撞擊其他球時，最左側的兩個球會被彈出。
展開 Moldex3D模流分析Flow參考資料之制程特征
傳統上射出成形程序的近似分析方法示意圖
基本上，流動的方程式通常包括質量守恒、動量守恒及能量守恒。
質量守恒Conservation of Mass
如上假設所述，質量守恒定律可以表示為：
?·(u) = 0
u在此處代表速度向量。通常大家希望能夠對上式做點修正，即以微分或其導函數項來表示之：
此顯示在直角坐標系統中沿不同方向的變化量。
動量守恒Conservation of Momentum
根據動量守恒定律，流體在某固定的體積下，其總動量只會因為經由表面進入流體的動量凈流入量及重力這樣的外力作用在流體上時才會增加。可以下式表示之：
此處是每單位體積的質量乘上加速度，此為慣性作用效應。當處于穩態且無慣性作用時，若進一步忽略重力的效應后，式子可被簡化成：
Stokes equation這就是著名的史托克方程式(Stokes equation)。此方程式經常被應用到其他3D 模具充填分析軟件，用來當作默認的方程式, 以此方程式為基礎, 此動量方程式甚至可簡化為：
當應用材料不可壓縮性后，并導入厚度方向的平均速度分量，，我們可以進一步簡化：
其中，且 h 是厚度的一半。
所以質量與動量守恒可以簡化成與壓力有關的質量-動量方程式
展開 
ANSYS Workbench分析實例之牛頓擺
除此之外，它還向人們昭示著自然界中兩個極其重要的基本物理定律——能量守恒定律和動量守恒定律。
動量守恒定律
孤立系統的動量是守恒/恒定的。即當兩個物體碰撞時，碰撞前后的動量保持不變。
動量守恒定律是最早發現的一條守恒定律，它淵源于十六、七世紀西歐的哲學思想。法國哲學家兼數學、物理學家笛卡爾，對這一定律的發現做出了重要貢獻。
其實，笛卡爾與瑞典克里斯汀公主既沒心形曲線也沒愛情，有的只是命債……
牛頓爵士不會想到，在他逝世以后的240年，一個他從來沒有玩過的玩具——牛頓擺誕生，并且以他的名字命名。實際上，牛頓擺既不是牛頓發明的，也不是他第一個提出玩具演示法則的。
1662年，克里斯提安·惠更斯等三位科學家向皇家學會提交的論文中首次提到了這種擺所展示的原理?？死锼固岚病せ莞褂绕鋵εｎD擺的發明做出了最大貢獻。
至于為什么要以牛頓的名字命名，可能是因為動量守恒定律是從牛頓第二定律中得出來的吧！也或者是牛頓對經典力學的貢獻要遠高于惠更斯這些人，也未可知。
一般來說，牛頓擺由5（奇數）個小球組成，將最左側的球抬高至一定的高度，讓其自由回落，回落時碰撞緊密排列的另外四個球，最右邊的球將被彈出，并僅有最右邊的球被彈出。
當然此過程也是可逆的，當擺動最右側的球撞擊其它球時，最左側的球會被彈出。當最右側的兩個球同時擺動并撞擊其他球時，最左側的兩個球會被彈出。
展開 直升機旋翼的動力學奧妙
圖10 阿迪力新疆喀納斯高空走鋼絲
最后，和動量矩守恒有關的例子是陀螺儀，它是具有高速旋轉剛體轉子、服從動量矩守恒律的一種常用儀表?，F代高精度的單自由度陀螺常是液浮、磁浮和氣浮并用的三浮陀螺儀。這種陀螺儀的精度極高。陀螺儀廣泛應用于各種運載體（如船舶、飛機等）上，成為各種運載體的自動控制、制導和導航系統中測定姿態、方位的重要元件。實際上，地球就是一個巨大的陀螺儀，由于動量守恒，其旋轉角速度恒久不變。讀者們是否可以設想一下，這對于我們人類生活會有哪些實際意義呢？
『原創』交通事故再現軟件 pc-crash
事故重建主要根據交通事故現場特征，如碰撞后車輛位移、損壞程度、拖痕長度、路面情況等，運用力學動量守恒與能量守恒的基本理論，對事故發生過程進行推理與驗證。動量守恒理論以碰撞前的動量與碰撞后的動量總和相等為依據，根據車輛行駛方向與碰撞后的相關位置，來判斷事故前、后的車速變化及碰撞角度并完成參數檢測。能量守恒則以事故發生后車輛位移、損壞程度、碰撞角度等因素為依據，運用碰撞力學理論，來研究動能與位能的變化，從而推導出碰撞前、后車速和碰撞角度。重建工作就是將實際案例資料或實驗資料，通過統計回歸分析預測、事故現場模擬及碰撞軌跡分析等方法，來研究事故發生前、后車輛速度運行軌跡，最后將運算的結果或模擬的運行以屏幕顯示或打印的形式輸出，具體說明事故發生過程。
目前國內使用pc-crash的用戶:
清華大學,上海交通大學,同濟大學,哈爾濱工業大學,吉林大學,中國公安大學,云南理工大學,江蘇大學,公安部無錫研究所,河南交警總隊,黑龍江交警總隊等
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展開 starccm求解器出錯？了解一下STAR CCM+中的分離求解器與耦合求解器
1 分離流動求解器
分離流求解器以順序方式求解質量守恒方程和動量守恒方程。對求解變量U、V、W、P依次迭代求解非線性控制方程。分離求解器采用壓力-速度耦合算法，通過求解場修正方程來滿足速度壓力的質量守恒約束。由連續性方程和動量方程構造壓力校正方程，通過對壓力進行校正，求出滿足連續性方程的速度場。這種方法也稱為預測-校正方法。壓力作為一個變量由壓力校正方程得到。
STAR-CCM+提供了兩種壓力-速度耦合算法：
SIMPLE
PISO
PISO與SIMPLE算法的比較：
兩種算法具有相同的時間精度，但在時間步長較小的情況下，PISO比SIMPLE更快
在大時間步長問題中，組合CFL可能上升到遠高于10，此時PISO算法變得不穩定，而SIMPLE依然能夠保持穩定。
隨著時間步長的增大，SIMPLE算法的瞬態求解會失去時間精度，但SIMPLE 仍可以通過使用較大的時間步長，獲得精確的穩態解（如果存在）。
PISO算法適用于對流Courant數較小的瞬態問題。因此，對于可以使用大時間步長的問題中（例如獲取穩態解），可以使用SIMPLE算法；但是對于需要使用小時間步長和更高時間精度的問題，使用PISO算法。
分離求解器源于恒密度流。雖然它可以處理輕微的可壓縮流動和低瑞利數的自然對流，但不適合于激波捕捉、高馬赫數和高瑞利數的應用。
2 耦合流動求解器
在耦合流動求解器下，連續守恒方程和動量守恒方程以耦合的方式求解，即它們作為方程的向量同時求解。由動量方程得到速度場。由連續性方程計算壓力，由狀態方程計算密度。
展開 FLUENT收斂型噴嘴內不可壓縮流動模擬
噴嘴的核心是質量守恒和動量守恒。
對于密度恒定的不可壓縮流，質量守恒規定流體的速度與噴嘴的橫截面積成反比。這意味著，隨著噴嘴橫截面積的減小，流體的速度增加。如果我們進一步假設流體的粘度可以忽略不計，即流動是無粘的，那么線動量守恒就簡化為著名的伯努利方程。本例的目的是了解守恒定律在確定通過收斂噴嘴的不可壓縮空氣流物理過程中的作用。
1、啟動FLUENT并導入網格
（1）在Windows系統下執行“開始”→“所有程序”→ANSYS 2021 R1→Fluid Dynamics→Fluent 2021 R1命令，啟動Fluent 2021 R1。
（2）單擊主菜單中File→Read→Mesh命令，導入.msh網格文件。
2、定義模型
單擊命令結構樹中General按鈕，彈出General（總體模型設定）面板，在Solver中Time選擇Steady，進行穩態計算，2D Space選擇Axisymmetric。
3、設置邊界條件
（1）在邊界條件面板中，雙擊inlet彈出邊界條件設置對話框。Velocity Magnitude輸入10，單擊OK按鈕確認退出。
（2）雙擊outlet彈出邊界條件設置對話框。保持默認值，單擊OK按鈕確認退出。
4、初始條件
單擊主菜單中Solution→Initialization按鈕，彈出Solution Initialization（初始化設置）面板。
Initialization Methods中選擇Hybrid Initialization，單擊Initialize按鈕進行初始化。
展開 CFD理論|基本方程（2）
可以構成一個二階對稱張量:
動量方程
（1）微元體受力
動量方程是動量守恒原理在流體運動中的表達方式，其中運動的流體微團的動量表達式為：
動量守恒的原理是要求流體系統的動量變化率等于該系統上的全部作用力之和，也就是牛頓第二定律,，即：
（2）動量方程
動量方程方程的表達式為：
此為拉格朗日積分形式的動量方程，右側第一項為體積力，第二項為表面力?？梢赃M一步改寫為歐拉形式的動量方程：
同樣根據高斯公式將面積分改為體積分，并且在歐拉方法中V是任取的控制體體積，因此可以得到微分形式的歐拉型動量方程：
將方程左側的隨體導數展開：
結合連續方程整理可以得到：
其中 稱為動量通量的張量，為對稱張量，所以方程又可以寫為：
由于技術鄰對公式的排版比較有難度，想看比較友好的排版，文末有排版較好的文章截圖，并且文章同時也同步更新在微信公眾號及知乎號上。
微信公眾號：CFD控
知乎號：CFD控制
文章截圖：
展開 形形色色機翼中的動力學奧秘
圖：V-22“魚鷹”傾斜（傾轉）式旋翼飛機
直升機旋翼動力學奧妙與動量矩守恒律
▲▲▲
前邊提到，單旋翼直升機除了有一個大的旋翼外，在尾部還有一個小的尾旋翼（也叫尾槳）。下圖是一個帶鑲嵌式尾旋翼（尾槳）的直升機。尾槳產生的作用力沿水平方向，并且與機身垂直，對機身重心有一個力矩（轉矩）。再仔細看，尾槳力矩使機身轉動的方向必然和主旋翼的轉動方向相反。在設計時，要保證尾槳的轉矩與旋翼的動量矩大小相等方向相反。這樣直升機才能正常飛行。下面我們從力學原理出發來討論一下直升機運行的奧秘。
圖： 帶鑲嵌式尾槳的直升機
動量矩定理 (Theorem of moment of momentum) 和動量矩守恒定律 (Law of conservation of moment of momentum) 是剛體（或質點系）運動必須滿足的動力學原理。動量矩定理說，動量矩對時間的變化率等于外加力矩之總和。當質點系不受外力作用或所受全部外力對某定點或定軸的主矩始終等于零時，該質點系對該點或該軸的動量矩保持不變。即當作用于它的外力矩之和為零時，它的動量矩變化率將等于零。這就是動量矩守恒定律。
展開 
基于CFD理論的戰略大飛機的氣動特性數值模擬
湍流模型的標準k-ε方程[20]為：
控制理論的3維N-S方程為[21]：
其中：ρ是流體密度；k是湍動能；t是時間；ui是時均速度；μ是流體動力粘度；μt是湍動粘度；σk是與湍動能k對應的Prandtl數；Gk是由于平均速度梯度引起的湍動能k的產生項；Gb是由于浮力引起的湍動能k的產生項；ε是湍動耗散率；YM是湍流中脈動擴張的貢獻；Sk是用戶定義的源項；σε是與耗散率ε對應的Prandtl數；C1ε、C2ε和C3ε是經驗常數；Sε是用戶定義的源項；u是速度矢量；u、v和w是速度矢量u在x、y和z方向上的分量；p是流體微元體上的壓力；div()是散度；grad()是梯度；Su是動量守恒方程u方向的廣義源項；Sv是動量守恒方程v方向的廣義源項；Sw是動量守恒方程w方向的廣義源項[22]。
2
戰略大飛機概念設計
戰略大飛機的使命任務和發展定位為：1) 在軍用領域，戰略大飛機可作為軍用運輸機、預警機、加油機和預警加油機的飛行平臺；2) 在民用領域，戰略大飛機可成為客機，同“波音-747”和“A-380”平分秋色。
根據飛機設計的使命任務和發展定位，采用CATIA軟件，參照“安-225”“波音-747”和“A-380”等大飛機，筆者設計出戰略大飛機的3維數字樣機如圖1。
展開 ALE與S-ALE 相同與不同
普通算法下，梁端點在這些節點處的動量投影不為零，造成這些節點的速度邊條被破壞。*CONSTRAINED_BEAM_IN_SOLID對于固體上的速度邊界條件做了特殊處理，可以在保證動量守恒的情況下，滿足速度邊界條件。
支持自適應網格(r-adaptivity) 這個功能主要是為模擬纖維復合材料的制造過程－－在可塑性強的材料中添加纖維，然后在模具中施壓后最終成型。纖維由梁單元模擬，在用固體單元離散的基體中沿切向滑動并產生滑移力?；屏突凭嚯x的關系使用AXFOR選項給定。但是現在的問題是固體單元在模壓過程中的變形很大，如果不采用某些特殊處理的話，很快問題就會因為單元畸變而無法繼續求解。一種解決畸變的方式就是在固體變形較大時重新構筑網格，稱為自適應網格(remeshingadaptivity, r-adaptivity)。這種方法在實現中，有一個停止運行－》寫出網格和歷史變量－》重構網格并投影歷史變量－》繼續運行的過程。CBIS在這一過程中需要記錄并重投影與切向滑移有關的歷史變量。
懲罰法 約束法對于瞬時效應較小的工程問題表現很好，但對于應變梯度大的問題會有動能丟失的毛病。這是因為在動量在梁單元和固體單元來回分配的時候會造成平滑效應(smoothing)。其中一個直觀表現就是采用不同的時間步長，問題的結果相差很大。檢查能量平衡時會發現時間步長越小，約束次數越多，動能丟失越大。為解決這種問題，我們提供了耦合的懲罰法選項－－*CONSTRAINED_BEAM_IN_SOLID_PENALTY。簡單而言，就是在梁和固體間構造彈簧，它們之間的相對運動會造成彈簧拉伸從而產生懲罰力。這樣，動能會轉化為彈性能儲存在彈簧中并最終釋放，達到既保持能量平衡，又達成運動一致的目的。
展開 Pinn求解固體力學問題（強形式）
pinn求解固體力學問題（強形式）
彈性力學三類基本方程
平衡方程：該方程也稱動量守恒方程或柯西第二運動定律，其表明物體內部應力的變化（散度）必須與作用在其上的體力相平衡
張量表示：
幾何方程：描述材料形變與位移之間的關系
張量表示：
本構方程：描述材料的應力-應變關系。對于線性彈性材料，這通常被表示為胡克定律
張量表示：
算例
邊界條件如下所示：
體力為
如何正確學習CAE？ ￥1
比如：
1.結構分析：該單元方程的依據主要是彈性動力學；
2.流體分析：單元方程的依據主要是質量守恒，動量守恒以及能量守恒的三個方程；
3.電磁場:單元方程的依據是麥克斯韋方程組;
4.熱分析而言，單元方程來自于熱傳導方程。
這就意味著，要懂得單元方程，我們先要弄明白我們所面對的是哪一個學科，需要先學習相關的基礎課程。比如，要做結構分析，那么材料力學，彈性力學，機械振動是必須預先學習的，否則，我們就不知道單元方程的依據是什么!
對于一個合格的FEA工程師，至少應該在學習過程中，注意以下幾點的學習與提高：
堅實的理論基礎——力學理論與有限元理論；
基于理論基礎，結合工程實際經驗，準確判斷問題，給出正確合理的分析方案；
軟件運用經驗，主要是熟練常用的分析軟件；
三點中，第三點最容易實現，最容易忽視前兩點，新手學習過程中往往對著案例操作，不知所以然地完成一個又一個案例，但要你獨立地去分析一個項目，你會發現無從下手，頭皮發麻，因此，建議新手學習首先需要提高自己的理論基礎。
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