變分學
關注創建者：匿名 創建時間：2021-11-24
變分學的實例教程
摘要
張量分析學存在對稱性破缺現象：既存在概念上的對稱性破缺——有張量微分，但沒有張量變分；又存在理論上的對稱性破缺——有張量微分學，但沒有張量變分學。然而，近年來的研究進展表明，破缺的對稱性是可以彌補的。本文將綜述彌補過程：回顧虛物質導數概念的拓展歷史，再現張量局部變分概念的抽象過程，展示張量變分學的構建歷程，揭示張量變分學與張量微分學之間的對稱性。
01
前言
本文標題涉及了三個關鍵詞：虛物質導數、局部變分、張量變分學，其中，虛物質導數和局部變分是似曾相識的詞匯：虛物質導數似乎只是在經典物質導數前面加了一個“虛” 字；局部變分似乎只是在經典變分前面加了一個限定詞“局部”。
讀者也許會有疑問：“為何多此一舉？”“這不是玩弄詞藻嗎？” 作者的辯解如下。引入虛物質導數和局部變分概念，是為了實現三個意圖：一是彌補張量分析學概念體系中破缺的對稱性；二是為張量變分學奠定基礎，三是為張量的協變變分學開辟道路。
展開 目錄：
第一章 緒論
第一節 彈性力學邁值問題地變分描述
第二節 固體力學中變分原理的定義和分類
第三節 變分原理的優點
第四節 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節 變分法問題的簡例
第二節 函數與泛函
第三節 變分的若干運算性質
第四節 變分學中的若干基本定理
第五節 幾種類型泛函的駐值問題 Euler方程
第六節 條件駐值問題
第三章 彈性力學中的變分原理與有限元模型
第一節 彈性力學基本方程的張量表示
第二節 彈性力學邁值問題轉化為能量泛函極值問題
第三節 極小勢能原理與協調模型
第四節 極小余能原理與平衡模型 I
第五節 廣義位能原理與廣義余能原理
第六節 復雜邊界條件下的廣義位能原理
第七節 不完全的廣義文能與廣義余能泛函
第八節 分區的廣義變分原理
第九節 修正的余能原理與平衡模型 II
第十節 雜交應力模型
第十一節 修正的勢能原理和雜交位移模型簡介
第十二節 混合變分原理和混合模型 雜交混合模型
第十三節 小位移彈性力學各種變分原理的關系
第四章 塑性力學中的變分原理及其應用
第一節 彈塑性問題的虛功原理與余虛功原理
第二節 彈塑性全量理論的最小余能原理
第三節 彈塑性全量理論的最小勢能原理
第四節 若干材料模型的變分原理
第五節 塑性全量理論的廣義變分原理
第六節 彈塑性增量理論的變分原理
第七節 速率型本構關系及能量公式
第八節 基于最小勢能原理的彈塑性有限元法
第九節 彈塑性問題解的唯一性問題
第十節 理想塑性體的極限分析的變分原理
第五章 其他問題的變分原理
第一節 有限位移彈性理論的最小勢能原理
第二節 有限位移彈性理論的余能駐值原理
第三節 有限位移問題的廣義變分原理
第四節 有限位移問題的有限單元法 穩定問題的特征值
第五節 彈性動力學問題的變分原理
第六節 彈性體自由振動的變分原理
第七節 穩定溫度場的熱彈性變分原理
第八節
展開 作者簡介：
目錄：
第一章 緒論
第一節 彈性力學邁值問題地變分描述
第二節 固體力學中變分原理的定義和分類
第三節 變分原理的優點
第四節 本課程的目的
第二章 變分法的若干基本概念
第一節 變分法問題的簡例
第二節 函數與泛函
第三節 變分的若干運算性質
第四節 變分學中的若干基本定理
第五節 幾種類型泛函的駐值問題 Euler方程
第六節 條件駐值問題
第三章 彈性力學中的變分原理與有限元模型
第一節 彈性力學基本方程的張量表示
第二節 彈性力學邁值問題轉化為能量泛函極值問題
第三節 極小勢能原理與協調模型
第四節 極小余能原理與平衡模型 I
第五節 廣義位能原理與廣義余能原理
第六節 復雜邊界條件下的廣義位能原理
第七節 不完全的廣義文能與廣義余能泛函
第八節 分區的廣義變分原理
第九節 修正的余能原理與平衡模型 II
第十節 雜交應力模型
第十一節 修正的勢能原理和雜交位移模型簡介
第十二節 混合變分原理和混合模型 雜交混合模型
第十三節 小位移彈性力學各種變分原理的關系
第四章 塑性力學中的變分原理及其應用
第一節 彈塑性問題的虛功原理與余虛功原理
第二節 彈塑性全量理論的最小余能原理
第三節 彈塑性全量理論的最小勢能原理
第四節 若干材料模型的變分原理
第五節 塑性全量理論的廣義變分原理
第六節 彈塑性增量理論的變分原理
第七節 速率型本構關系及能量公式
第八節 基于最小勢能原理的彈塑性有限元法
第九節 彈塑性問題解的唯一性問題
第十節 理想塑性體的極限分析的變分原理
第五章 其他問題的變分原理
第一節 有限位移彈性理論的最小勢能原理
第二節 有限位移彈性理論的余能駐值原理
第三節 有限位移問題的廣義變分原理
第四節 有限位移問題的有限單元法 穩定問題的特征值
第五節 彈性動力學問題的變分原理
展開 為了讀者選購和使用方便，本手冊分5卷出版，分別名為“經典數學卷”、“近代數學卷”、“計算機數學卷”、“隨機數學卷”和“經濟數學卷”。需要指出的是，各個分支(篇目)的歸屬是相對的，這里考慮了各分卷篇幅大小的平衡問題。例如，“蒙特卡羅法”這一篇也可歸入“計算機數學卷”。
目錄：
經典數學卷
第1篇 微積分
第2篇 無窮級數與廣義積分
第3篇 高等代數
第4篇 矩陣論
第5篇 微分幾何
第6篇 復變函數淪
第7篇 實變函數
第8篇 特殊函數
第9篇 積分變換與級數交換
第10篇 常微分方程
第11篇 差分方程
第12篇 積分方程
第13篇 偏微分方程
第14篇 變分學
第15篇 計算數論
第16篇 群論
附錄1 初等代數
附錄2 平面三角
附錄3 歐氏幾何
附錄4 解析幾何
索引
//聯系方式不變//
展開 作者：《現代數學手冊》編纂委員會編
出版社：華中科技大學出版社
頁數：932版次：1包裝：精裝開本：大32開印張：29.5字數：1130000印次：1印刷時間：2000/12/01用紙：膠版紙
經典數學卷
第1篇 微積分
第2篇 無窮級數與廣義積分
第3篇 高等代數
第4篇 矩陣論
第5篇 微分幾何
第6篇 復變函數淪
第7篇 實變函數
第8篇 特殊函數
第9篇 積分變換與級數交換
第10篇 常微分方程
第11篇 差分方程
第12篇 積分方程
第13篇 偏微分方程
第14篇 變分學
第15篇 計算數論
第16篇 群論
附錄1 初等代數
附錄2 平面三角
附錄3 歐氏幾何
附錄4 解析幾何
近代數學卷
第1篇 數理邏輯
第2篇 組合數學
第3篇 圖論
第4篇 拓撲學
第5篇 流形上的微積分
第6篇 李群與李代數
第7篇 泛函分析
第8篇 傅里葉分析
第9篇 廣義函數
第10篇 常微分方程的穩定性理論
第11篇 常微分方程的幾何理淪
第12篇 泛函微分方程
第13篇 偏微分方程的近代理論
第14篇 分支理論
第15篇 變分不等式
第16篇 動力系統
第17篇 漸近分析方法
第18篇 函數逼近方法
第19篇 樣條函數
第20篇 分形幾何
第21篇 生物數學
計算機數學卷
第1篇 數值分析
第2篇 數值代數
第3篇 有限元法與邊界元法
第4篇 計算流體力學中的差分法
第5篇 多重網格法
第6篇 區域分解方法
第7篇 小波分析
第8篇 Petri網
第9篇 網絡最優化
第10篇 電路網絡
第11篇 隨機算法
第12篇 算法設計與復雜性分析
第13篇 組合最優化的近似算法
第14篇 遺傳算法
第15篇 模擬退火算法
第16篇 數學機械化與機械化數學
第17篇 符號計算
第18篇 自動定理證明
第19篇 并行與分布計算中的模型與算法
第20
展開 
變分學的最新內容
引入虛物質導數和局部變分概念，是為了實現三個意圖：一是彌補張量分析學概念體系中破缺的對稱性；二是為張量變分學奠定基礎，三是為張量的協變變分學開辟道路。
限于篇幅，本文主要聚焦于前兩個意圖，即概念體系的對稱性和張量變分學。而張量協變變分學，則是后續文章綜述的重點。
本著循序漸進的原則闡述了有關變分學和彈塑性力學的基本知識，并從經典的自然變分原理人手推出了廣義變分原理和各種形式的修正變分原理。書中在論述小位移彈塑性靜力問題中的變分原理和有限元模型的基礎上也扼要地介紹了有限位移、穩定、動力以及熱應力等有關變分原理地問題。書稿選材反映了當前國內外地研究水平和作者地研究成果。
本著循序漸進的原則闡述了有關變分學和彈塑性力學的基本知識，并從經典的自然變分原理人手推出了廣義變分原理和各種形式的修正變分原理。書中在論述小位移彈塑性靜力問題中的變分原理和有限元模型的基礎上也扼要地介紹了有限位移、穩定、動力以及熱應力等有關變分原理地問題。書稿選材反映了當前國內外地研究水平和作者地研究成果。
目錄：
經典數學卷
第1篇 微積分
第2篇 無窮級數與廣義積分
第3篇 高等代數
第4篇 矩陣論
第5篇 微分幾何
第6篇 復變函數淪
第7篇 實變函數
第8篇 特殊函數
第9篇 積分變換與級數交換
第10篇 常微分方程
第11篇 差分方程
第12篇 積分方程
第13篇 偏微分方程
第14篇 變分學
第15篇 計算數論
第16篇 群論
附錄1 初等代數
附錄2 平面三角
附錄3 歐氏幾何
經典數學卷
第1篇 微積分
第2篇 無窮級數與廣義積分
第3篇 高等代數
第4篇 矩陣論
第5篇 微分幾何
第6篇 復變函數淪
第7篇 實變函數
第8篇 特殊函數
第9篇 積分變換與級數交換
第10篇 常微分方程
第11篇 差分方程
第12篇 積分方程
第13篇 偏微分方程
第14篇 變分學
第15篇 計算數論
第16篇 群論
附錄1 初等代數
附錄2 平面三角
附錄3 歐氏幾何
附錄4 解析幾何
精裝開本：大32開印張：29.5字數：1130000印次：1印刷時間：2000/12/01用紙：膠版紙
經典數學卷
第1篇 微積分
第2篇 無窮級數與廣義積分
第3篇 高等代數
第4篇 矩陣論
第5篇 微分幾何
第6篇 復變函數淪
第7篇 實變函數
第8篇 特殊函數
第9篇 積分變換與級數交換
第10篇 常微分方程
第11篇 差分方程
第12篇 積分方程
第13篇 偏微分方程
第14篇 變分學
