臨界載荷的案例
ALGOR做臨界屈曲載荷分析
ALGOR2010做臨界屈曲載荷分析
結(jié)構(gòu)突然坍塌時的屈曲分析
計(jì)算壓縮支柱的臨界載荷（如歐拉屈曲案例）就是這樣一個例子。
在 COMSOL Multiphysics 中，有一種特殊的研究類型稱為“線性屈曲”。在研究時，需要添加任意大小的外部荷載。它可以是一個單位載荷或預(yù)期的工作負(fù)荷。這個研究包括兩個研究步驟：
穩(wěn)態(tài)研究步驟，計(jì)算所施加載荷的應(yīng)力狀態(tài)。
線性屈曲研究步驟。這是一個特征值解，應(yīng)力狀態(tài)被用來確定臨界荷載因子。
臨界載荷因子是需要乘以施加的載荷以達(dá)到屈曲載荷的系數(shù)。如果使用工作載荷建模，可以將臨界載荷因子解釋為安全系數(shù)。臨界載荷因子可以小于 1，在這種情況下，臨界載荷比施加的載荷要小。這本身并不是一個問題，因?yàn)榉治鍪蔷€性的。臨界載荷因子甚至可以是負(fù)的，在這種情況下，屈曲所需的最低載荷的作用方向與施加載荷的方向相反。
特征值的求解也會提供屈曲模式的振型。請注意，模式的振型只在一個任意的比例因子內(nèi)已知，就像特征頻率分析中的特征模式一樣。
在詳細(xì)介紹之前，必須提出一些注意事項(xiàng)：
對于一些結(jié)構(gòu)，由于缺陷敏感性，使用這種方法獲得的理論屈曲荷載可能明顯高于實(shí)際遇到的載荷。這對于薄殼尤其重要。
有些結(jié)構(gòu)甚至在屈曲之前就表現(xiàn)出明顯的非線性。原因可能是結(jié)構(gòu)既是幾何非線性又是材料非線性。
千萬不要在屈曲分析中使用對稱條件，即使結(jié)構(gòu)和荷載是對稱的，屈曲形狀也可能不是對稱的。
兩個對稱框架的屈曲形狀，截面略有不同，載荷對稱相等。
進(jìn)行線性屈曲分析時，我們可以將問題看作一個線性特征值問題來求解。屈曲的標(biāo)準(zhǔn)是剛度矩陣是奇異的，因此位移是不確定的。
展開 基于PERA SIM的火箭艙段特征值屈曲分析
圖7 賦予截面屬性
2.4 載荷及邊界條件
本文假設(shè)火箭艙段在屈曲分析中受到軸向拉伸載荷。為了模擬這種載荷，本文在火箭艙段的另一端面施加了固定約束。固定約束從模型樹中選擇任務(wù)>邊界>創(chuàng)建固定約束>選擇另一端面>應(yīng)用，固定約束創(chuàng)建過程如圖8所示。
圖8 施加邊界條件
本文采用單位軸向集中力作為載荷參數(shù)，即在端面上施加了1N的軸向單位力。這樣，可以通過特征值參數(shù)λi來表示臨界載荷與單位載荷之比，即
其中，Pcr是臨界載荷，P0是對應(yīng)的軸向單位力。由于P0是常數(shù)，因此λi越大，表示臨界載荷越大，結(jié)構(gòu)越穩(wěn)定；λi越小，表示臨界載荷越小，結(jié)構(gòu)越不穩(wěn)定。載荷創(chuàng)建過程如圖9所示。
圖9 創(chuàng)建載荷條件
3.屈曲分析結(jié)果
本文使用PERA SIM Mechanical軟件對火箭艙段進(jìn)行了特征值屈曲分析，并得到了前6階屈曲模態(tài)及其對應(yīng)的特征值參數(shù)。創(chuàng)建計(jì)算完任務(wù)并提交計(jì)算后，得到了屈曲載荷1階屈曲模態(tài)載荷乘子(1階)74491.1，可知1階臨界載荷為74491.1N。
圖10 屈曲模態(tài)（1階）
表1列出了前6階的載荷乘子計(jì)算結(jié)果，并按照特征值參數(shù)從小到大的順序排列。
表1 火箭艙段的屈曲模態(tài)及特征值參數(shù)
下圖為某商業(yè)軟件計(jì)算使用相同的網(wǎng)格模型和計(jì)算參數(shù)計(jì)算后得到的計(jì)算結(jié)果。
圖11 某商業(yè)軟件計(jì)算前6階屈曲乘子
將PERA SIM Mechanical計(jì)算結(jié)果與之相對比，計(jì)算前6階載荷乘子偏差，如下表2所示。
展開 7_APDL基礎(chǔ)及仿真理論-特征值屈曲分析
頻率越來越大，臨界載荷考慮最小的值。
solve
finish
/post1
set,list !列表顯示頻率值，一階頻率值即是所求臨界載荷
plnsol,u,sum !觀察一階變形情況
finish
Linear Buckling和Eigenvalue Buckling Analysis有什么區(qū)別
如上圖所示：
當(dāng)P=0.01Mpa時，計(jì)算的載荷因子為1184，那么臨界失穩(wěn)載荷=0.01+0.01×1184=11.85Mpa；
當(dāng)P=0.1Mpa時，計(jì)算的載荷因子為117.5，那么臨界失穩(wěn)載荷=0. 1+0.1×117.5=11.85Mpa；
當(dāng)P=1.0Mpa時，計(jì)算的載荷因子為10.851，那么臨界失穩(wěn)載荷=1.0+1×10.851=11.851Mpa；
當(dāng)P=10Mpa時，計(jì)算的載荷因子為0.089432，那么臨界失穩(wěn)載荷=10+10×0.089432=10.89432Mpa；
當(dāng)P=100Mpa時，靜力分析中直接出現(xiàn)非線性不收斂情況，最終無法計(jì)算載荷因子；
由上計(jì)算結(jié)果不難看出，非線性特征值屈曲分析的載荷值是不能隨便施加的，這個載荷值是個對計(jì)算結(jié)果有重要影響的“有量綱的真值”，因?yàn)檫@個值是作為初始擾動載荷施加在屈曲分析中的，當(dāng)載荷較小的時候，計(jì)算的結(jié)果才是準(zhǔn)確的，如上面在P=0.01~1Mpa時候計(jì)算的臨界失穩(wěn)載荷幾乎相同，在P=10Mpa時，臨界失穩(wěn)載荷值是10.89Mpa，而當(dāng)P=100Mpa時，這個載荷值早已超出該結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷，出現(xiàn)超大的變形，且非線性計(jì)算無法收斂了。為了驗(yàn)證一下結(jié)果，筆者又試算了幾次，發(fā)現(xiàn)在P=10.3Mpa的時候就已經(jīng)出現(xiàn)不收斂的現(xiàn)象了，此時雖未超出臨界失穩(wěn)載荷，但這個初始擾動載荷已經(jīng)達(dá)到失穩(wěn)載荷的87%了，已經(jīng)開始導(dǎo)致該結(jié)構(gòu)出現(xiàn)超大變形而造成無法收斂的結(jié)果了。在P=10.2Mpa時計(jì)算結(jié)果如下圖所示：
當(dāng)P=10.2Mpa時，計(jì)算的載荷因子為0.028881，那么臨界失穩(wěn)載荷=10.2+10.2×0.028881=10.4946Mpa；此時計(jì)算的臨界失穩(wěn)載荷與P=10Mpa時的1089432Mpa差了0.5Mpa左右，計(jì)算的失穩(wěn)載荷值已經(jīng)不穩(wěn)定了，所以在P=10或10.2Mpa時計(jì)算的結(jié)果均是不正確的。
展開 8_APDL基礎(chǔ)及仿真理論-–非線性屈曲分析
當(dāng)F = Fcr時,結(jié)構(gòu)處于中性平衡狀態(tài)，把這個力定義為臨界載荷。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中, 幾何缺陷的存在或力的擾動將決定載荷路徑的方向。在實(shí)際結(jié)構(gòu)中, 很難達(dá)到臨界載荷，因?yàn)閿_動和非線性行為, 低于臨界載荷時結(jié)構(gòu)通常變得不穩(wěn)定。
要理解非線性屈曲分析，首先要了解特征值屈曲。特征值屈曲分析預(yù)測一個理想線彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度，缺陷和非線性行為阻止大多數(shù)實(shí)際結(jié)構(gòu)達(dá)到理想的彈性屈曲強(qiáng)度，特征值屈曲一般產(chǎn)生非保守解, 使用時應(yīng)謹(jǐn)慎。
非線性屈曲分析時考慮結(jié)構(gòu)平衡受擾動（初始缺陷、載荷擾動）的非線性靜力分析，該分析時一直加載到結(jié)構(gòu)極限承載狀態(tài)的全過程分析，分析中可以綜合考慮材料塑性、幾何非線性、接觸、大變形。非線性屈曲比特征值屈曲更精確，因此推薦用于設(shè)計(jì)或結(jié)構(gòu)的評價。
!3、非線性屈曲分析的理論計(jì)算及有限元計(jì)算
!理論解，根據(jù)Euler公式。其中μ取決于固定方式。
!有限元方法，
已知在特征值屈曲問題：
求解，即可得到臨界載荷
而非線性屈曲問題：
其中為結(jié)構(gòu)初始剛度， 為有缺陷的結(jié)構(gòu)剛度，{δ}為位移矩陣，{F}為載荷矩陣。
!4、弧長法的介紹(圖片摘于ansys)
如上分析，特征值屈曲分析得到的是非保守解，具有兩個優(yōu)點(diǎn)：快捷分析，屈曲模態(tài)形狀可用作非線性屈曲分析的初始幾何缺陷。因此為了得到較為精確的屈曲分析，還需要做非線性屈曲分析，結(jié)構(gòu)達(dá)到極限載荷時，非線性求解將發(fā)散，為獲得結(jié)構(gòu)屈曲后加載歷程的下降段，將會采用弧長法進(jìn)行求解。非線性屈曲分析的目的是得到第一個極限載荷點(diǎn)，弧長法能夠用于后面的后屈曲分析。
弧長法僅對靜態(tài)分析有效，而且必須激活幾何非線性（NLGEOM，ON）。不能和弧長法一起使用線性搜素（LNSRCH）、自適應(yīng)下降、自動時間步長（AUTOTS,DELTIM）等。
展開 Abaqus 非線性屈曲分析方法
在有限元分析中，我們主要通過屈曲分析（Buckling Analysis）去判斷發(fā)生屈曲的臨界載荷大小。而這其中根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)和要求的不同又分為線性屈曲分析（通常直接簡稱為屈曲分析）和后屈曲分析。當(dāng)然，如何涉及非線性問題，后屈曲分析是必要的，不過對于后屈曲分析的實(shí)現(xiàn)方式也會更加麻煩一些，因?yàn)樾枰植空{(diào)整inp關(guān)鍵字達(dá)到目的，但只要掌握了關(guān)鍵點(diǎn)，依葫蘆畫瓢還是非常湊效的。
在Abaqus中對于屈曲的計(jì)算考慮則依據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性而定，簡單的可以只考慮線性屈曲分析預(yù)估臨界載荷大小；對于較復(fù)雜的模型，則可以考慮Riks法進(jìn)行后屈曲計(jì)算，從而可獲取屈曲以后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)情況；但對于涉及接觸脫開等特別復(fù)雜的問題可能得借助Explicit來實(shí)現(xiàn)；而對于局部褶皺問題需要借助Static,Stabilize來實(shí)現(xiàn)。
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線性屈曲分析
線性屈曲分析用于預(yù)估臨界失穩(wěn)載荷和失穩(wěn)模態(tài)；所求得的屈曲特征值與所加載的載荷大小相乘就是臨界失穩(wěn)載荷；當(dāng)然，對完善結(jié)構(gòu)的屈曲問題，線性屈曲分析也是為后屈曲分析引入缺陷（擾動）做好準(zhǔn)備，這是非常關(guān)鍵的。
在Abaqus中進(jìn)行線性屈曲分析的方法是通過Buckle進(jìn)行的。
一般線性屈曲分析只需要關(guān)注第一階屈曲模態(tài)，并根據(jù)計(jì)算所得的第一階屈曲載荷因子預(yù)估使結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲所需要的臨界載荷是多大。但通常而言線性屈曲分析得到的臨界失穩(wěn)載荷大小是保守的，偏大的。為了獲取更加準(zhǔn)確的結(jié)果，特別是復(fù)雜模型，就需要進(jìn)行非線性屈曲分析（或稱為后屈曲分析）。
因此通常會在線性屈曲分析中考慮添加關(guān)鍵字作為后屈曲分析的擾動引入?yún)?shù)。
展開 材料力學(xué)之壓桿穩(wěn)定ANSYS特征值屈曲分析
導(dǎo)讀：掌握壓桿不同約束條件的施加和特征值屈曲分析方法，臨界載荷等于施加的載荷乘以特征值。
一、模型演示
以下模型實(shí)驗(yàn)演示了不同邊界條件下受壓桿件的屈曲現(xiàn)象和對應(yīng)的屈曲變形。實(shí)驗(yàn)中采用塑料尺來模擬桿件，我們可以感受到使塑料尺發(fā)生屈曲時所需力的大小。
(1)將塑料尺的一端置于桌面上，另一端用手掌加以固定，下壓塑料尺的頂部并逐步增加壓力，直尺會突然產(chǎn)生如圖a所示的側(cè)向變形。進(jìn)一步增加壓力，變形也會相應(yīng)的增大。本實(shí)驗(yàn)演示了兩端鉸支桿件的屈曲現(xiàn)象。
圖a 兩端鉸支
(2)用手指將塑料尺的兩端捏緊，防止其發(fā)生選裝和平動。然后對直尺逐漸施加壓力直至出現(xiàn)如圖b所示的側(cè)向變形。本實(shí)驗(yàn)演示了兩端固定桿件的屈曲現(xiàn)象。可以明顯感受到本實(shí)驗(yàn)所需的臨界壓力要大于前一個實(shí)驗(yàn)。
圖b 兩端固定
(3)如果在塑料尺中部設(shè)置一側(cè)向支撐，以保證尺子在這點(diǎn)不會發(fā)生平動，則需要施加比第一個實(shí)驗(yàn)更大的壓力才能使塑料尺發(fā)生如圖c所示的屈曲變形。
圖c 中部側(cè)向支撐
模型演示圖片來源：英國曼徹斯特大學(xué)季天健教授。
二、定義和概念
穩(wěn)定性：平衡物體在其原來平衡狀態(tài)下抵抗干擾的能力。
失穩(wěn)：不穩(wěn)定的平衡物體在任意微小的外界干擾下的變化或破壞過程，也稱為屈曲。
臨界載荷：使結(jié)構(gòu)介于穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡之間的載荷，或使結(jié)構(gòu)處于屈曲臨界狀態(tài)的載荷。
平衡的三種狀態(tài)：穩(wěn)定平衡、隨遇平衡（臨界狀態(tài)）、不穩(wěn)定平衡。
三、問題描述
鋼板尺子長度500mm，寬度39mm，厚度1.2mm。彈性模量E= 200 GPa，泊松比u =0.3。
分別受以下4種約束作用：
(1)兩端鉸支，
(2)一端固定、另一端自由，
(3)一端固定、另一端鉸支，
(4)兩端固定。
計(jì)算在各種約束情況下的臨界載荷。
展開 Abaqus 非線性屈曲分析方法 附ABAQUS分析手冊分析卷下載
在有限元分析中，我們主要通過屈曲分析 (Buckling Analysis) 去判斷發(fā)生屈曲的臨界載荷大小。而這其中根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)和要求的不同，又分為線性屈曲分析（通常直接簡稱為屈曲分析）和后屈曲分析。當(dāng)然，如何涉及非線性問題，后屈曲分析是必要的，不過對于后屈曲分析的實(shí)現(xiàn)方式也會更加麻煩一些，因?yàn)樾枰植空{(diào)整inp關(guān)鍵字達(dá)到目的，但只要掌握了關(guān)鍵點(diǎn)，依葫蘆畫瓢還是非常湊效的。
在Abaqus中，對于屈曲的計(jì)算考慮則依據(jù)結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性而定，簡單的可以只考慮線性屈曲分析預(yù)估臨界載荷大小；對于較復(fù)雜的模型，則可以考慮Riks 法進(jìn)行后屈曲計(jì)算，從而可獲取屈曲以后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)情況；但對于涉及接觸脫開等特別復(fù)雜的問題，可能得借助Explicit 來實(shí)現(xiàn)；而對于局部褶皺問題需要借助Static、Stabilize來實(shí)現(xiàn)。
01
線性屈曲分析
線性屈曲分析用于預(yù)估臨界失穩(wěn)載荷和失穩(wěn)模態(tài)，所求得的屈曲特征值與所加載的載荷大小相乘就是臨界失穩(wěn)載荷。當(dāng)然，對完善結(jié)構(gòu)的屈曲問題，線性屈曲分析也為后屈曲分析引入缺陷（擾動）做好準(zhǔn)備，這是非常關(guān)鍵的。
在Abaqus中，進(jìn)行線性屈曲分析的方法是通過Buckle 進(jìn)行的。
一般線性屈曲分析只需要關(guān)注第一階屈曲模態(tài)，并根據(jù)計(jì)算所得的第一階屈曲載荷因子預(yù)估使結(jié)構(gòu)發(fā)生屈曲所需要的臨界載荷是多大。但通常而言，線性屈曲分析得到的臨界失穩(wěn)載荷大小是保守的，偏大的。
展開 有限元理論基礎(chǔ)及Abaqus內(nèi)部實(shí)現(xiàn)方式研究系列48：屈曲分析（1）-理論
屈曲的含義把“屈”和“曲”連起來就是結(jié)構(gòu)件在受壓時彎曲的現(xiàn)象，更具體點(diǎn)就是結(jié)構(gòu)件在壓力或載荷作用下，因穩(wěn)定性不足而突然發(fā)生大變形甚至失效的現(xiàn)象。用大白話解釋“屈曲”就是：結(jié)構(gòu)件在壓力下“突然塌掉”或“彎成奇怪形狀”的現(xiàn)象。
屈曲一般發(fā)生在細(xì)長壓桿或者薄板等結(jié)構(gòu)件中。生活中有很多這樣的例子，譬如帳篷的支架在大力下或者頂端放個重包突然失去支撐能力，導(dǎo)致帳篷坍塌，又譬如空的易拉罐用手指按壓時，按壓點(diǎn)會癟下去，力比較小時，易拉罐外殼還能恢復(fù)，當(dāng)指力足夠大時，易拉罐外殼就直接現(xiàn)成一個永久的坑了。
工程上也有很多屈曲的現(xiàn)象，譬如火箭發(fā)射過程中，由于火箭加速產(chǎn)生的巨大軸向載荷（如發(fā)射時的加速度可達(dá)數(shù)十倍重力加速度），會導(dǎo)致細(xì)長結(jié)構(gòu)（如箭體或儲箱）因穩(wěn)定性不足而彎曲，又譬如船舶在波浪中航行時，船體因波浪起伏產(chǎn)生巨大的縱向彎曲應(yīng)力，導(dǎo)致中拱或中垂?fàn)顟B(tài)，引發(fā)肋骨或甲板的屈曲。
2.2 屈曲分析的目點(diǎn)
從以上生活常識可知，總有一個突然就垮塌的過程，就像上面的易拉罐例子一樣，如果力比較小，放手后易拉罐還能恢復(fù)原樣，我們認(rèn)為這個力對這個結(jié)構(gòu)件是安全的，但如果放手后產(chǎn)生了不可恢復(fù)的形變，那么這個力對結(jié)構(gòu)件是不安全的，從安全到不安全的臨界點(diǎn)的力就是臨界載荷。
屈曲這個過程經(jīng)歷了：線彈性變形過程-》達(dá)到屈曲臨界點(diǎn)-》（后屈曲）屈曲后的結(jié)構(gòu)變形過程。
在工程上屈曲分析的主要目點(diǎn)是計(jì)算結(jié)構(gòu)在軸向壓力或彎曲荷載作用下發(fā)生屈曲失效的臨界載荷值，從而判斷當(dāng)前設(shè)計(jì)是否安全。
2.3 屈曲分析的方法
屈曲分析有多種方法：
2.3.1 非線性屈曲分析
非線性屈曲分析是將力隨著位移的關(guān)系表達(dá)出來，直到能看出哪點(diǎn)是臨界載荷，臨界載荷時位移增加時，力將不再增加，反而下降，也就是臨界載荷就是載荷Vs位移曲線上的馬鞍點(diǎn)位置。
展開 ABAQUS非線性屈曲分析
屈曲分析主要用于研究結(jié)構(gòu)在特定載荷下的穩(wěn)定性以及確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷，屈曲分析包括： 線性屈曲和非線性屈曲分析。線彈性失穩(wěn)分析又稱特征值屈曲分析；線性屈曲分析可以考慮固定的預(yù)載荷，也可使用慣性釋放；非線性屈曲分析包括幾何非線性失穩(wěn)分析， 彈塑性失穩(wěn)分析（材料非線性失穩(wěn)分析）， 非線性后屈曲分析（包含幾何非線性和材料非線性）。
ABAQUS屈曲分析有三種方法：
1、直接施加極值載荷，拉出力-位移曲線，查看區(qū)區(qū)狀態(tài)。這種方式不適合對稱結(jié)構(gòu)，如一塊板、或圓筒，軸向加載時分析不出屈曲效果；
2、特征值屈曲分析方法，可以評估結(jié)構(gòu)的屈曲臨界值，但是只能是線性分析；
3、Riks法，這種方法可以計(jì)算最大臨界載荷和屈曲后的后屈曲響應(yīng)，可查看后屈曲狀態(tài)，可以考慮材料非線性、幾何非線性及初始缺陷的影響，其中初始缺陷通過特征值屈曲模態(tài)、振型及一般節(jié)點(diǎn)位移來表述。
我們此次課程中采用屈曲分析方式，先計(jì)算屈曲模態(tài)，也就是先做特征值屈曲分析，此分析為線性屈曲分析，在小變形的情況下進(jìn)行，得出臨界載荷（一般取一階模態(tài)的eigenvalue乘以加載的單位載荷1），且需要在inp文件中輸入如下圖字符，輸入次字符的目的是將初始缺陷的節(jié)點(diǎn)輸出為.fil文件；然后將1階屈曲模態(tài)做為初始缺陷引入極限載荷后屈曲分析，后屈曲分析可以定義非線性材料及幾何非線性，所以risk屈曲分析也成為非線性屈曲分析.
展開 
自主研發(fā) | 基于PERA SIM的壓桿特征值屈曲分析
對應(yīng)的壓應(yīng)力為臨界壓應(yīng)力，對應(yīng)的載荷為臨界載荷。擾動是普遍存在的，如材料不均勻缺陷，成形制造幾何缺陷等。因此失穩(wěn)(又稱屈曲)對于受壓應(yīng)力的構(gòu)件而言是內(nèi)在的特性。為了防止屈曲失效，需確定結(jié)構(gòu)的臨界載荷或臨界壓應(yīng)力，使實(shí)際載荷或壓應(yīng)力小于許用值。
當(dāng)構(gòu)件失穩(wěn)時，一種內(nèi)在的本質(zhì)是原本沿截面厚度均勻分布的壓應(yīng)力，隨著變形的增大躍變?yōu)閺澢鷳?yīng)力，截面因抗彎能力不夠而不能維持原有幾何形狀。
當(dāng)結(jié)構(gòu)的抗彎截面尺寸較小時，如細(xì)長的大柔度桿，薄壁圓筒等，失穩(wěn)時截面的壓應(yīng)力往往低于材料的彈性極限，這種失穩(wěn)稱為彈性失穩(wěn)。但當(dāng)結(jié)構(gòu)的抗彎截面尺寸較大時如大柔度桿，壁厚較厚的圓筒，失穩(wěn)時截面的壓應(yīng)力往往高于材料的彈性極限出現(xiàn)塑性變形，這種失穩(wěn)稱為彈塑性失穩(wěn)。
臨界載荷或臨界壓應(yīng)力的大小首先與抗彎剛度有關(guān)，對于彈性失穩(wěn)，彈性模量越大，抗彎剛度越大，抗彈性失穩(wěn)能力越強(qiáng)。
2.2 特征值屈曲分析
特征值屈曲分析預(yù)測了理想彈性結(jié)構(gòu)的理論屈曲強(qiáng)度。該方法與教科書中的彈性屈曲分析方法相一致。歐拉柱的特征值屈曲分析與經(jīng)典歐拉解相匹配。缺陷和非線性行為阻礙了大多數(shù)現(xiàn)實(shí)世界結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)其理論彈性屈曲強(qiáng)度。因此，特征值屈曲通常產(chǎn)生非保守結(jié)果，因?yàn)樗鼪]有考慮到這些影響。
雖然特征值屈曲分析是非保守的，但與非線性屈曲解決方案相比，它具有計(jì)算成本低的優(yōu)點(diǎn)，并且可以提供近似的(盡管是非保守的)屈曲條件預(yù)測。下圖為屈曲的加載曲線(線性和非線性)。
圖1 屈曲加載曲線(線性和非線性)
在特征值屈曲分析中，求解以下特征值問題，得到屈曲載荷乘子λi和屈曲模態(tài)ψi。在該解中，假設(shè)[K]和[S]矩陣為常數(shù)，即解是線性的。
展開 算例丨基于ABAQUS的復(fù)合材料薄壁圓筒屈曲分析
對所建模型施加邊界條件和施加載荷。將圓筒的一端固支，另一端施加單位 1 的均布軸邊壓載。
最后進(jìn)行網(wǎng)格劃分。考慮到在復(fù)合材料層合殼模型中剪切柔度的影響，可采 用厚殼單元 S4R 來模擬它。所得到的模型如圖所示：
圖 3-3 模型網(wǎng)格圖
3.2.2 計(jì)算結(jié)果分析
在 JOD 模塊中建立屈曲分析模塊進(jìn)行分析，可得到薄壁圓筒的六階屈曲失 穩(wěn)載荷因子。
表 2 各階模態(tài)的屈曲載荷因子
模態(tài)
屈曲載荷因子
1
48.015
2
48.015
3
48.98
4
48.981
5
50.188
6
50.188
則取第一階模態(tài)的屈曲載荷因子計(jì)算臨界載荷。由屈曲載荷因子與臨界載荷的關(guān)系：
Pcr = λ ? p
當(dāng)對薄壁圓筒施加 48.015N/mm 的邊載時，圓筒將屈曲失穩(wěn)。對應(yīng)的各階模態(tài)云圖如下所示：
模態(tài)1位移軸向和截面方向云圖
模態(tài)2位移軸向和截面方向云圖
模態(tài)3位移軸向和截面方向云圖
模態(tài) 4 位移軸向和截面方向云圖
模態(tài) 5 位移軸向和截面方向云圖
模態(tài) 6 位移軸向和截面方向云圖
圖 3-4 各階模態(tài)云圖
由上圖可以看出當(dāng)施加一階模態(tài)的載荷時，圓筒已經(jīng)屈曲失穩(wěn)。所以保留一 階的臨界載荷更有現(xiàn)實(shí)意義。
4.總結(jié)
由算例的計(jì)算過程可以得到屈曲載荷因子的大小與劃分的網(wǎng)格數(shù)和網(wǎng)格類 型有關(guān)，網(wǎng)格劃分過小會導(dǎo)致計(jì)算步驟過多影響計(jì)算速度甚至無法計(jì)算出結(jié)果， 網(wǎng)格過大導(dǎo)致結(jié)果不精確。所以在選擇網(wǎng)格時應(yīng)選擇適當(dāng)選擇類型和大小。
文章來源：CAE仿真學(xué)社
展開 自主CAE | 基于PERA SIM的外壓薄壁圓筒特征值屈曲分析
圖11 邊界條件添加
3.9 載荷定義
定義載荷類型為壓力，選擇外側(cè)面，設(shè)置壓力值1MPa，點(diǎn)擊確定，完成載荷的設(shè)置。
圖12 載荷添加
3.10 計(jì)算結(jié)果分析
提交計(jì)算后，得到屈曲載荷乘子(1階)0.178，失穩(wěn)波形數(shù)5。即受側(cè)向外壓作用時的臨界壓力為0.178MPa。
圖13 屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)( PERA SIM結(jié)果)
下圖為通過某國際標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)有限元軟件計(jì)算得到的屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)，屈曲載荷乘子(1階)0.176，失穩(wěn)波形數(shù)5。這與PERA SIM計(jì)算結(jié)果非常接近。
圖14 屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)(標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件結(jié)果)
3.11 不同壓桿長度下的計(jì)算結(jié)果
考慮有效長度L = 60、127、250mm，厚度t = 0.1、0.18、0.36mm 各種組合情況下有限元特征值屈曲分析結(jié)果(包含PERA SIM及標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件)。臨界載荷列表如下：
表1 PERA SIM臨界載荷結(jié)果(MPa)
表2 標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件臨界載荷結(jié)果(MPa)圖片
表3 PERA SIM結(jié)果偏差(與標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件相比)
失穩(wěn)波形數(shù)列表如下：
表4 PERA SIM失穩(wěn)波形數(shù)結(jié)果
表5 標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)軟件失穩(wěn)波形數(shù)結(jié)果
由上面結(jié)果可知，PERA SIM計(jì)算結(jié)果與某國際標(biāo)準(zhǔn)商業(yè)有限元軟件結(jié)果對標(biāo)，臨界載荷偏差普遍較小(3%以內(nèi))，失穩(wěn)波形完全一致。因此，PERA SIM的計(jì)算可靠性可以保證。
展開 仿真APP應(yīng)用案例——煤氣罐屈曲分析
煤氣罐在使用過程中，承受著內(nèi)部燃?xì)鈮毫Α⒆陨碇亓σ约翱赡艿耐獠繘_擊等多種載荷。當(dāng)這些載荷達(dá)到一定程度時，煤氣罐的結(jié)構(gòu)可能會發(fā)生屈曲現(xiàn)象。屈曲，簡單來說，就是結(jié)構(gòu)在特定載荷下突然失去原有的穩(wěn)定平衡狀態(tài)，發(fā)生較大的變形。這種變形可能導(dǎo)致煤氣罐的局部甚至整體失效，進(jìn)而引發(fā)燃?xì)庑孤⒈ǖ葹?zāi)難性后果。
從實(shí)際案例來看，一些煤氣罐由于長期使用、受到外力撞擊或者內(nèi)部壓力異常等原因，出現(xiàn)了不同程度的屈曲變形，最終導(dǎo)致了嚴(yán)重的安全事故。
通過屈曲分析，可以提前預(yù)測煤氣罐在各種工況下的穩(wěn)定性，確定其能夠承受的極限載荷。這有助于在設(shè)計(jì)階段優(yōu)化煤氣罐的結(jié)構(gòu)，選擇合適的材料和尺寸，確保其在正常使用條件下不會發(fā)生屈曲失效。在煤氣罐的使用和維護(hù)過程中，屈曲分析的結(jié)果可以為安全評估提供依據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)潛在的安全隱患，采取相應(yīng)的措施進(jìn)行修復(fù)或更換，保障用戶的生命財(cái)產(chǎn)安全。
二、對煤氣罐進(jìn)行屈曲分析的方法有哪些？
傳統(tǒng)上，對煤氣罐進(jìn)行屈曲分析主要有理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測試兩種方法。
理論計(jì)算方法基于力學(xué)原理和數(shù)學(xué)模型，通過建立煤氣罐的結(jié)構(gòu)力學(xué)方程，求解其在不同載荷條件下的屈曲臨界載荷。例如，對于簡單形狀的煤氣罐，可以利用經(jīng)典的彈性力學(xué)理論，如薄板理論、薄殼理論等，推導(dǎo)出相應(yīng)的屈曲計(jì)算公式。然而，這種方法往往需要對煤氣罐的結(jié)構(gòu)進(jìn)行大量的簡化假設(shè)，對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的煤氣罐，計(jì)算結(jié)果可能與實(shí)際情況存在較大偏差。而且，理論計(jì)算過程通常較為繁瑣，需要具備深厚的力學(xué)和數(shù)學(xué)知識，對于一般的工程技術(shù)人員來說，實(shí)施難度較大。
實(shí)驗(yàn)測試方法則是通過對實(shí)際的煤氣罐或其模型施加模擬載荷，觀察其在載荷作用下的變形情況，直接測量屈曲臨界載荷。常見的實(shí)驗(yàn)方法包括液壓加載實(shí)驗(yàn)、氣壓加載實(shí)驗(yàn)等。實(shí)驗(yàn)測試能夠直觀地反映煤氣罐的真實(shí)力學(xué)性能，得到的數(shù)據(jù)較為可靠。但是，實(shí)驗(yàn)測試需要專門的實(shí)驗(yàn)設(shè)備和場地，成本較高，且實(shí)驗(yàn)過程耗時較長。
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