彎矩曲率關系
關注創建者：5237 創建時間：2020-02-11
彎矩曲率關系的實例教程
考慮了撓曲率的梁截面分析Matlab程序
通過輸入撓度變化率、截面信息、本構可以計算得到彎矩曲率關系和荷載撓度曲線
具體分析過程如下：
根據材料力學的知識，一根承受豎向荷載的梁，它的彎曲曲率的數學意義等于豎向位移的二階微分，而曲率的物理意義是彎曲形狀的半徑的倒數。同樣，彎矩除以EI，就等于曲率。對于我們在入門的材料力學里遇到的問題來說，EI 一般都是常數，所以彎矩和曲率之間是一條簡單的直線。而對于鋼筋混凝土梁，EI 就不再是常數了，隨著混凝土的逐漸開裂、鋼筋的受拉屈服，鋼筋混凝土梁的 EI 也在逐漸變化。所以，鋼筋混凝土梁的彎矩-曲率圖不再是一條直線。最簡化的分析，我們取三個關鍵點，將彎矩-曲率圖看作是三條線段組成的折線。這三個關鍵點分別是：混凝土開裂、鋼筋受拉屈服、混凝土受壓破壞。
對于鋼筋混凝土梁截面的受彎分析，有兩條基本原則。第一條是「幾何協調」，也就是「平截面假定」。截面在受彎變形之后依然保持為平截面，換言之，應變與離中性軸的距離成正比，受拉區和受壓區的應變圖是兩個相似直角三角形。
第二條準則是「靜力平衡」，也就是受壓區的總壓力 C 要等于受拉區的總拉力 T，同時，拉力或者壓力乘以內力臂 jd 要與外荷載的彎矩平衡。
第一條準則處理的是純幾何問題，或者可以說是應變問題；第二條準則應對的則是純力學問題，或者可以說是應力問題。這兩者之間的關聯也就是我們下面要關注的應力-應變關系。
在鋼筋混凝土截面受力分析中，我們采用的鋼筋應力應變是這樣的，先是一條斜線，斜線的斜率為鋼筋的彈性模量，斜線到達屈服點之后，就變為一條水平直線。而混凝土的應力-應變關系就沒有這么簡單了，事實上它是一條曲線。在混凝土的壓應變達到極限壓應變的一半之前，我們可以近似的認為是一條斜線，斜率為混凝土的彈性模量。
對于鋼筋，實際的應力應變關系是左圖這樣的，但實際的混凝土構件中，由于不可能出現太大的變形，所以鋼筋不會出現很大的應變，因此，我們近似采用右邊的簡化關系。
展開 S1級截面：可達全截面塑性，保證塑性鉸具有塑性設計要求的轉動能力，且在轉動過程中承載力不降低，稱為一級塑性截面，也可以稱為塑性轉動截面；此時圖1所示的曲線1可以表示其彎矩-曲率關系。?p2一般要求達到塑性彎矩Mp除以彈性初始剛度得到的曲率?p的8~15倍。
S2級截面：可達全截面塑性，但由于局部屈曲，塑性鉸轉動能力有限，稱為二級塑性截面；此時彎矩-曲率關系如圖1所示的曲線2，?p1大約是?p的2~3倍。
S3級截面：翼緣全部屈服，腹板可發展不超過1/4截面高度的塑性，稱為彈塑性截面；作為梁時，其彎矩-曲率關系如圖1所示的曲線3。
S4級截面：邊緣纖維可達到屈服強度，但由于局部屈曲而不能發展塑性，稱為彈性截面；作為梁時，其彎矩-曲率關系如圖1所示的曲線4。
S5級截面：在邊緣纖維達到屈服應力前，腹板可能發生局部屈曲，稱為薄壁截面；作為梁時，其彎矩-曲率關系如圖1所示的曲線5。
圖1 截面的分類及其轉動能力
需要注意的是，S4級截面界限是邊緣纖維剛好達到屈服狀態。S1~S3級截面，能發展截面塑性，設計中可以按照規范的要求考慮塑性發展系數。而S5級截面在邊緣屈服未達到時，板件就已發生局部屈曲，只能考慮有效截面進行計算。因此對于板件寬厚比超出了S4時，按照新鋼標需要考慮有效截面復核強度與穩定。
1.2 新鋼標板件寬厚比等級限值的確定
對應歐洲規范EC3的S1~S4截面，新鋼標將壓彎和受彎構件的截面分成S1~S5五個截面等級，其中S1、S2為塑性截面， S3為中國規范特有的考慮一定塑性發展的彈塑性截面，S4為彈性截面，S5為薄壁截面。
新鋼標截面等級確定，主要依據板的彈性穩定理論，同時參考了國外規范以及一些經驗值。
展開 由z向應變為0可得到：
②薄板中面沒有面內位移，即在中面內有
根據Kirchhoff假設，板面上任何一點的面內位移u和v為：
因為薄板的面外應力分量遠小于面內應力分量，所以在薄板理論中采用平面應力問題的物理方程（注意平面應力問題的基本假設），于是有
由彎矩和扭矩的定義可知，沿板厚積分（辛普森/高斯積分）即可得彎矩和扭矩與曲率和扭率的關系，得：
其中，
上式是薄板廣義應力M與廣義應變K的關系，或稱薄板的本構關系。
由z向應變為0可得到：
②薄板中面沒有面內位移，即在中面內有
根據Kirchhoff假設，板面上任何一點的面內位移u和v為：
因為薄板的面外應力分量遠小于面內應力分量，所以在薄板理論中采用平面應力問題的物理方程（注意平面應力問題的基本假設），于是有
由彎矩和扭矩的定義可知，沿板厚積分（辛普森/高斯積分）即可得彎矩和扭矩與曲率和扭率的關系，得：
其中，
上式是薄板廣義應力M與廣義應變K的關系，或稱薄板的本構關系。
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基于Reissner-Mindlin假設的中厚板殼理論的推導：
選取板的中面為xy平面，x軸與xy平面垂直，板內任一點的位移為：
沿厚度方向積分的彎矩與曲率關系為
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