根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)，一根承受豎向荷載的梁，它的彎曲曲率的數(shù)學(xué)意義等于豎向位移的二階微分，而曲率的物理意義是彎曲形狀的半徑的倒數(shù)。同樣，彎矩除以EI，就等于曲率。對(duì)于我們?cè)谌腴T的材料力學(xué)里遇到的問題來說，EI 一般都是常數(shù)，所以彎矩和曲率之間是一條簡(jiǎn)單的直線。而對(duì)于鋼筋混凝土梁，EI 就不再是常數(shù)了，隨著混凝土的逐漸開裂、鋼筋的受拉屈服，鋼筋混凝土梁的 EI 也在逐漸變化。所以，鋼筋混凝土梁的彎矩-曲率圖不再是一條直線。最簡(jiǎn)化的分析，我們?nèi)∪齻€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，將彎矩-曲率圖看作是三條線段組成的折線。這三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是：混凝土開裂、鋼筋受拉屈服、混凝土受壓破壞。

對(duì)于鋼筋混凝土梁截面的受彎分析，有兩條基本原則。第一條是「幾何協(xié)調(diào)」，也就是「平截面假定」。截面在受彎變形之后依然保持為平截面，換言之，應(yīng)變與離中性軸的距離成正比，受拉區(qū)和受壓區(qū)的應(yīng)變圖是兩個(gè)相似直角三角形。

第二條準(zhǔn)則是「靜力平衡」，也就是受壓區(qū)的總壓力 C 要等于受拉區(qū)的總拉力 T，同時(shí)，拉力或者壓力乘以內(nèi)力臂 jd 要與外荷載的彎矩平衡。

第一條準(zhǔn)則處理的是純幾何問題，或者可以說是應(yīng)變問題；第二條準(zhǔn)則應(yīng)對(duì)的則是純力學(xué)問題，或者可以說是應(yīng)力問題。這兩者之間的關(guān)聯(lián)也就是我們下面要關(guān)注的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。

在鋼筋混凝土截面受力分析中，我們采用的鋼筋應(yīng)力應(yīng)變是這樣的，先是一條斜線，斜線的斜率為鋼筋的彈性模量，斜線到達(dá)屈服點(diǎn)之后，就變?yōu)橐粭l水平直線。而混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系就沒有這么簡(jiǎn)單了，事實(shí)上它是一條曲線。在混凝土的壓應(yīng)變達(dá)到極限壓應(yīng)變的一半之前，我們可以近似的認(rèn)為是一條斜線，斜率為混凝土的彈性模量。

對(duì)于鋼筋，實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是左圖這樣的，但實(shí)際的混凝土構(gòu)件中，由于不可能出現(xiàn)太大的變形，所以鋼筋不會(huì)出現(xiàn)很大的應(yīng)變，因此，我們近似采用右邊的簡(jiǎn)化關(guān)系。也就是忽略左圖中的曲線 cde，代之以直線 bc 的繼續(xù)延伸。

不同強(qiáng)度的混凝土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是左圖這樣的，為了應(yīng)用于設(shè)計(jì)的工程分析和設(shè)計(jì)，我們需要用數(shù)學(xué)來描述這些曲線。如何把應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)出來，這就是一個(gè)問題。基于實(shí)際的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，有很多不同的數(shù)學(xué)描述。比如右邊的 Hognestad 和 Todeschini。Todeschini 相對(duì)更為常用，因?yàn)樗皇欠侄魏瘮?shù)，而是用一個(gè)統(tǒng)一的式子來表達(dá)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，處理起來更為方便。

這么多的數(shù)學(xué)模型，規(guī)范到底采用的是哪種呢？上面的是 ACI318 的規(guī)范，簡(jiǎn)單說，隨便你，只要你認(rèn)為這種數(shù)學(xué)模型跟實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較吻合。下面的是 GB50010 的規(guī)定，給出了具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式，采用的是改進(jìn)的 Rusch 模型，分段函數(shù)，第一段是曲線，第二段是水平直線。

這里也可以體現(xiàn)出一點(diǎn)小差異，很多時(shí)候，ACI318 給的是要求和建議，而 GB 規(guī)范給的是具體的規(guī)定。比如這個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，ACI 給的是可以采用任何數(shù)學(xué)模型，只要跟實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好即可，這樣，新出現(xiàn)的研究結(jié)果可以隨時(shí)應(yīng)用到實(shí)際工程中。而 GB 給的是直接的 Rusch 模型，就這樣定死了，新的研究結(jié)果要想用到實(shí)際工程中，只能能下一版規(guī)范的修訂了。

我們比較一下 Todeschini 和 GB 規(guī)范采用的改進(jìn)版 Rusch。我們用 MathCAD 繪制這兩個(gè)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的圖形。ACI 的抗壓強(qiáng)度采用的是圓柱體試件，GB 規(guī)范采用的是立方體試件，混凝土強(qiáng)度等級(jí) C60 以下，這兩者之間的比值約等于0.79。所以 C30 混凝土大致相當(dāng)于 3440 psi 的混凝土。

上圖就是兩者的對(duì)比，紅色的是Todeschini，藍(lán)色的是改進(jìn)的 Rusch。因?yàn)锳CI 用的是標(biāo)準(zhǔn)值，GB 的則是設(shè)計(jì)值，對(duì)于梁受彎來說，ACI 的標(biāo)準(zhǔn)值要再折減0.9，所以我們可以對(duì)比 0.9倍的Todeshini 和 GB 的曲線。總體來看，GB 規(guī)范還是更為保守。

下面我們舉一個(gè)算例，采用的初始參數(shù)基本相同。最大的區(qū)別可能是 ACI 的保護(hù)層厚度更大、鋼筋強(qiáng)度更高。

直到開裂之前，鋼筋混凝土梁截面都處在線性階段，符合基本材料力學(xué)的理論。截面由鋼筋和混凝土兩種材料構(gòu)成，為了處理更方便，我們把鋼筋轉(zhuǎn)化成等效的混凝土截面。同樣的處理還出現(xiàn)在鋼-混凝土組合梁的分析中，只不過跟這里相反，這里是把鋼筋變成混凝土，組合梁是把混凝土變成鋼材。

通過等效變換，把鋼筋轉(zhuǎn)換為等效的混凝土截面之后，截面由兩種材料變成了同一種材料，截面形狀變?yōu)榱俗笊辖沁@個(gè)形狀。我們可以得出這個(gè)幾何形狀的慣性矩和中性軸。應(yīng)變線性分布，中性軸處為零；應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，所以也是線性分布。開裂的臨界點(diǎn)就是混凝土的拉應(yīng)力達(dá)到開裂拉應(yīng)力。其實(shí)這就是個(gè)簡(jiǎn)單的材料力學(xué)中均質(zhì)桿件的彎矩應(yīng)力分析。

具體的計(jì)算如上所示。為了方便比較，我們把最終的開裂彎矩和開裂曲率轉(zhuǎn)換為公制單位。

而 GB 采用的混凝土受拉應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系略有不同，上面 ACI 的受拉是直接線性關(guān)系，而這里的受拉應(yīng)力應(yīng)變是雙折線，包含了一條水平曲線。也就是說，應(yīng)變?nèi)匀皇侵本€，受拉區(qū)的應(yīng)力則變成了斜線加直線。這時(shí)候的拉力由三部分組成，三角形混凝土拉應(yīng)力區(qū)的總拉力T1、矩形混凝土拉應(yīng)力區(qū)的總拉力T2、鋼筋的拉力T3。鋼筋的應(yīng)變與鋼筋所在位置的混凝土的應(yīng)變相同，也就是鋼筋的總拉力 T3 等于應(yīng)變乘以鋼筋的彈性模量再乘以鋼筋面積。

因?yàn)槔瓚?yīng)力區(qū)不是線性分布，所以不能再?gòu)膸缀涡螤畛霭l(fā)得出中性軸位置了。我們先假定一個(gè)受壓區(qū)高度，然后求算受壓區(qū)總壓力 C 和受拉區(qū)總拉力 T，繼而逐漸調(diào)整受壓區(qū)高度的大小，使得壓力和拉力相等。

對(duì)比一下兩種方法的開裂彎矩和曲率的結(jié)果，考慮到 ACI 是標(biāo)準(zhǔn)值，所以折減之后的設(shè)計(jì)值略微大于 GB 的計(jì)算結(jié)果，GB 要更保守一些。造成差異的主要原因我們之前也說過，主要是因?yàn)椴捎昧瞬煌氖芾瓍^(qū)應(yīng)力分布。