彎矩曲率關(guān)系的案例
基于撓度變化率的梁截面分析Matlab程序 ￥10
考慮了撓曲率的梁截面分析Matlab程序
通過輸入撓度變化率、截面信息、本構(gòu)可以計(jì)算得到彎矩曲率關(guān)系和荷載撓度曲線
具體分析過程如下：
鋼筋混凝土_梁的彎矩曲率
根據(jù)材料力學(xué)的知識，一根承受豎向荷載的梁，它的彎曲曲率的數(shù)學(xué)意義等于豎向位移的二階微分，而曲率的物理意義是彎曲形狀的半徑的倒數(shù)。同樣，彎矩除以EI，就等于曲率。對于我們在入門的材料力學(xué)里遇到的問題來說，EI 一般都是常數(shù)，所以彎矩和曲率之間是一條簡單的直線。而對于鋼筋混凝土梁，EI 就不再是常數(shù)了，隨著混凝土的逐漸開裂、鋼筋的受拉屈服，鋼筋混凝土梁的 EI 也在逐漸變化。所以，鋼筋混凝土梁的彎矩-曲率圖不再是一條直線。最簡化的分析，我們?nèi)∪齻€(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，將彎矩-曲率圖看作是三條線段組成的折線。這三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是：混凝土開裂、鋼筋受拉屈服、混凝土受壓破壞。
對于鋼筋混凝土梁截面的受彎分析，有兩條基本原則。第一條是「幾何協(xié)調(diào)」，也就是「平截面假定」。截面在受彎變形之后依然保持為平截面，換言之，應(yīng)變與離中性軸的距離成正比，受拉區(qū)和受壓區(qū)的應(yīng)變圖是兩個(gè)相似直角三角形。
第二條準(zhǔn)則是「靜力平衡」，也就是受壓區(qū)的總壓力 C 要等于受拉區(qū)的總拉力 T，同時(shí)，拉力或者壓力乘以內(nèi)力臂 jd 要與外荷載的彎矩平衡。
第一條準(zhǔn)則處理的是純幾何問題，或者可以說是應(yīng)變問題；第二條準(zhǔn)則應(yīng)對的則是純力學(xué)問題，或者可以說是應(yīng)力問題。這兩者之間的關(guān)聯(lián)也就是我們下面要關(guān)注的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系。
在鋼筋混凝土截面受力分析中，我們采用的鋼筋應(yīng)力應(yīng)變是這樣的，先是一條斜線，斜線的斜率為鋼筋的彈性模量，斜線到達(dá)屈服點(diǎn)之后，就變?yōu)橐粭l水平直線。而混凝土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系就沒有這么簡單了，事實(shí)上它是一條曲線。在混凝土的壓應(yīng)變達(dá)到極限壓應(yīng)變的一半之前，我們可以近似的認(rèn)為是一條斜線，斜率為混凝土的彈性模量。
對于鋼筋，實(shí)際的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是左圖這樣的，但實(shí)際的混凝土構(gòu)件中，由于不可能出現(xiàn)太大的變形，所以鋼筋不會出現(xiàn)很大的應(yīng)變，因此，我們近似采用右邊的簡化關(guān)系。
展開 如何按新鋼標(biāo)控制寬厚比？
S1級截面：可達(dá)全截面塑性，保證塑性鉸具有塑性設(shè)計(jì)要求的轉(zhuǎn)動(dòng)能力，且在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中承載力不降低，稱為一級塑性截面，也可以稱為塑性轉(zhuǎn)動(dòng)截面；此時(shí)圖1所示的曲線1可以表示其彎矩-曲率關(guān)系。?p2一般要求達(dá)到塑性彎矩Mp除以彈性初始剛度得到的曲率?p的8~15倍。
S2級截面：可達(dá)全截面塑性，但由于局部屈曲，塑性鉸轉(zhuǎn)動(dòng)能力有限，稱為二級塑性截面；此時(shí)彎矩-曲率關(guān)系如圖1所示的曲線2，?p1大約是?p的2~3倍。
S3級截面：翼緣全部屈服，腹板可發(fā)展不超過1/4截面高度的塑性，稱為彈塑性截面；作為梁時(shí)，其彎矩-曲率關(guān)系如圖1所示的曲線3。
S4級截面：邊緣纖維可達(dá)到屈服強(qiáng)度，但由于局部屈曲而不能發(fā)展塑性，稱為彈性截面；作為梁時(shí)，其彎矩-曲率關(guān)系如圖1所示的曲線4。
S5級截面：在邊緣纖維達(dá)到屈服應(yīng)力前，腹板可能發(fā)生局部屈曲，稱為薄壁截面；作為梁時(shí)，其彎矩-曲率關(guān)系如圖1所示的曲線5。
圖1 截面的分類及其轉(zhuǎn)動(dòng)能力
需要注意的是，S4級截面界限是邊緣纖維剛好達(dá)到屈服狀態(tài)。S1~S3級截面，能發(fā)展截面塑性，設(shè)計(jì)中可以按照規(guī)范的要求考慮塑性發(fā)展系數(shù)。而S5級截面在邊緣屈服未達(dá)到時(shí)，板件就已發(fā)生局部屈曲，只能考慮有效截面進(jìn)行計(jì)算。因此對于板件寬厚比超出了S4時(shí)，按照新鋼標(biāo)需要考慮有效截面復(fù)核強(qiáng)度與穩(wěn)定。
1.2 新鋼標(biāo)板件寬厚比等級限值的確定
對應(yīng)歐洲規(guī)范EC3的S1~S4截面，新鋼標(biāo)將壓彎和受彎構(gòu)件的截面分成S1~S5五個(gè)截面等級，其中S1、S2為塑性截面， S3為中國規(guī)范特有的考慮一定塑性發(fā)展的彈塑性截面，S4為彈性截面，S5為薄壁截面。
新鋼標(biāo)截面等級確定，主要依據(jù)板的彈性穩(wěn)定理論，同時(shí)參考了國外規(guī)范以及一些經(jīng)驗(yàn)值。
展開 板殼單元的分析詳解 附板殼理論鐵摩辛柯下載
由z向應(yīng)變?yōu)?可得到：
②薄板中面沒有面內(nèi)位移，即在中面內(nèi)有
根據(jù)Kirchhoff假設(shè)，板面上任何一點(diǎn)的面內(nèi)位移u和v為：
因?yàn)楸“宓拿嫱鈶?yīng)力分量遠(yuǎn)小于面內(nèi)應(yīng)力分量，所以在薄板理論中采用平面應(yīng)力問題的物理方程（注意平面應(yīng)力問題的基本假設(shè)），于是有
由彎矩和扭矩的定義可知，沿板厚積分（辛普森/高斯積分）即可得彎矩和扭矩與曲率和扭率的關(guān)系，得：
其中，
上式是薄板廣義應(yīng)力M與廣義應(yīng)變K的關(guān)系，或稱薄板的本構(gòu)關(guān)系。
【JY】板殼單元的分析詳解
由z向應(yīng)變?yōu)?可得到：
②薄板中面沒有面內(nèi)位移，即在中面內(nèi)有
根據(jù)Kirchhoff假設(shè)，板面上任何一點(diǎn)的面內(nèi)位移u和v為：
因?yàn)楸“宓拿嫱鈶?yīng)力分量遠(yuǎn)小于面內(nèi)應(yīng)力分量，所以在薄板理論中采用平面應(yīng)力問題的物理方程（注意平面應(yīng)力問題的基本假設(shè)），于是有
由彎矩和扭矩的定義可知，沿板厚積分（辛普森/高斯積分）即可得彎矩和扭矩與曲率和扭率的關(guān)系，得：
其中，
上式是薄板廣義應(yīng)力M與廣義應(yīng)變K的關(guān)系，或稱薄板的本構(gòu)關(guān)系。
