泛函分析的案例
有限元的發展現狀與新趨勢
另一位數學家Lagrange提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達式的另一途經。
在19世紀末及20世紀初，數學家瑞雷和里茲首先提出可對全定義域運用位移函數來表達其上的未知函數。
1915年，數學家伽遼金提出了選擇位移函數中形函數的伽遼金法方法被廣泛地用于有限元。
1943年，數學家庫朗德第一次提出了可在定義域內分片地使用位移函數來表達其上的未知函數。這實際上就是有限元的做法。
20世紀50年代，飛機設計師們發現無法用傳統的力學方法分析飛機的應力、應變等問題。波音公司的一個技術小組，首先將連續體的機翼離散為三角形板塊的集合來進行應力分析，經過一番波折后獲得成功。(Clough教授參與研究。)
20世紀50年代，大型電子計算機投入了解算大型代數方程組的工作，這為實現有限元技術準備好了物質條件。
1960年，美國加州大學伯克利分校的R.W.Clough教授在論文中提出了“有限單元”，這樣的名詞。值得驕傲的是我國南京大學馮康教授在此前后獨立地在論文中提出了“有限單元”。
三、有限元法計算方法及軟件
有限元計算方法作為一種技術更多的與FEM軟件的發展緊密的結合起來。方法不斷更新，優勝劣汰，傳承和發展。在傳統有限元分析的數值計算方法之中，有直接計算法(DirectSolver)與迭代法(Iterative 所謂快速解法)兩種。
常見的有限元軟件有：美國的ABQUS、ADINA、ANSYS、MARC 、COSMOS、ELAS、 MSC 和STARDYNE，德國的ASKA、英國的PAFEC、法國的 SYSTUS等。
顯式/隱式有限元法：只需對可以簡化為對角陣的質量矩陣求逆，沒有增量步內迭代收斂問題，可以一直計算下去。
展開 現代數學手冊(精裝)
作者：《現代數學手冊》編纂委員會編
出版社：華中科技大學出版社
頁數：932版次：1包裝：精裝開本：大32開印張：29.5字數：1130000印次：1印刷時間：2000/12/01用紙：膠版紙
經典數學卷
第1篇 微積分
第2篇 無窮級數與廣義積分
第3篇 高等代數
第4篇 矩陣論
第5篇 微分幾何
第6篇 復變函數淪
第7篇 實變函數
第8篇 特殊函數
第9篇 積分變換與級數交換
第10篇 常微分方程
第11篇 差分方程
第12篇 積分方程
第13篇 偏微分方程
第14篇 變分學
第15篇 計算數論
第16篇 群論
附錄1 初等代數
附錄2 平面三角
附錄3 歐氏幾何
附錄4 解析幾何
近代數學卷
第1篇 數理邏輯
第2篇 組合數學
第3篇 圖論
第4篇 拓撲學
第5篇 流形上的微積分
第6篇 李群與李代數
第7篇 泛函分析
第8篇 傅里葉分析
第9篇 廣義函數
第10篇 常微分方程的穩定性理論
第11篇 常微分方程的幾何理淪
第12篇 泛函微分方程
第13篇 偏微分方程的近代理論
第14篇 分支理論
第15篇 變分不等式
第16篇 動力系統
第17篇 漸近分析方法
第18篇 函數逼近方法
第19篇 樣條函數
第20篇 分形幾何
第21篇 生物數學
計算機數學卷
第1篇 數值分析
第2篇 數值代數
第3篇 有限元法與邊界元法
第4篇 計算流體力學中的差分法
第5篇 多重網格法
第6篇 區域分解方法
第7篇 小波分析
第8篇 Petri網
第9篇 網絡最優化
第10篇 電路網絡
第11篇 隨機算法
第12篇 算法設計與復雜性分析
第13篇 組合最優化的近似算法
第14篇 遺傳算法
第15篇 模擬退火算法
第16篇 數學機械化與機械化數學
第17篇 符號計算
第18篇 自動定理證明
第19篇 并行與分布計算中的模型與算法
第20
展開 《現代數學手冊(精裝)》
經典數學卷
第1篇 微積分
第2篇 無窮級數與廣義積分
第3篇 高等代數
第4篇 矩陣論
第5篇 微分幾何
第6篇 復變函數淪
第7篇 實變函數
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附錄3 歐氏幾何
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第7篇 泛函分析
第8篇 傅里葉分析
第9篇 廣義函數
第10篇 常微分方程的穩定性理論
第11篇 常微分方程的幾何理淪
第12篇 泛函微分方程
第13篇 偏微分方程的近代理論
第14篇 分支理論
第15篇 變分不等式
第16篇 動力系統
第17篇 漸近分析方法
第18篇 函數逼近方法
第19篇 樣條函數
第20篇 分形幾何
第21篇 生物數學
計算機數學卷
第1篇 數值分析
第2篇 數值代數
第3篇 有限元法與邊界元法
第4篇 計算流體力學中的差分法
第5篇 多重網格法
第6篇 區域分解方法
第7篇 小波分析
第8篇 Petri網
第9篇 網絡最優化
第10篇 電路網絡
第11篇 隨機算法
第12篇 算法設計與復雜性分析
第13篇 組合最優化的近似算法
第14篇 遺傳算法
第15篇 模擬退火算法
第16篇 數學機械化與機械化數學
第17篇 符號計算
第18篇 自動定理證明
第19篇 并行與分布計算中的模型與算法
第20篇 計算幾何
第21篇 S計算幾何
第22篇 代數編碼
第23篇 近代密碼學
第24篇 多值邏輯
隨機數學卷
第1篇 概率論
第2篇 數理統計
第3篇 試驗設計
第4篇 抽樣調查
第5篇 質量管理
第6篇 線性模型
第7篇 多元統計分析
第8篇
展開 上海交大黃興溢教授《Science Bulletin》：高導熱電極化儲能納米復合電介質
通過密度泛函理論分析，團隊發現氨基與BNNS中的硼原子之間具有強烈的化學吸附作用，且硼原子上的電子云向氨基方向富集，因而在BNNS表面吸附氨基可形成電子屏障層。
圖1 材料合成及密度泛函理論分析。無基質納米復合電介質的制備過程(a)；共混物P(VDF-TrFE-CFE)/BNNS (b)、無基質納米復合電介質P(VDF-TrFE-CFE)-g-PME-NH2-BNNS (c)和P(VDF-TrFE-CFE)-g-PME-NH2-BNNS-epoxy (d)的自旋極化計算，BE為結合能，d為聚合物鏈與BNNS間距，Δq為電荷轉移量；BNNS表面電子斥電子層（黃色）對電子的阻擋效應的示意圖(e)。
通過拉伸電介質薄膜，實現復合介質內部的BNNS向拉伸方向取向， BNNS平均夾角從36.9o減小到9.9o，機械模量從2.6增加到6.2 GPa，導熱率從1.7增加到2.4 W m-1K-1。化學吸附鍵具有很強的結合能，拉伸后材料沒有出現明顯的缺陷，這是拉伸能提高機械模量和導熱率的主要原因之一。
圖2 薄膜制備及形貌分析。無基質納米復合電介質的組成結構(a)和薄膜取向拉伸過程(b)的示意圖；無基質納米復合電介質薄膜拉伸和熱壓前(c)后(d)橫切面的TEM圖；BNNS的拉曼峰強度與平面方向夾角的偏振光函數(e)。
采用相場模擬研究了BNNS對復合介質擊穿強度的影響。
展開 
GSH-PCA方案結合機器學習實現晶體塑性力學響應的快速預測
研究巧妙地采用廣義球諧函數（GSH）結合主成分分析（PCA），將復雜的織構空間精準壓縮至僅需5到10個核心參數 。這種參數化方法不僅大幅降低了訓練負擔，更具備極其強大的“雙向映射”能力：工程師可以隨時利用這些降維后的少數參數，反向完美重構出原始的織構極圖 ！相比之下，如果僅使用單一的Taylor因子進行簡化，雖然便捷，但會引入更大的預測誤差和不確定性 。
2. 全曲線生成的泛函主成分分析（fPCA）為了直接預測完整的應力-應變行為，該框架在輸出端引入了泛函主成分分析（fPCA） 。代理模型不再逐點預測離散數據，而是直接學習提取整條拉伸曲線的“形狀基函數”及其權重 。只需輸入微觀特征參數，模型瞬間就能完美拼裝出平滑、連續且符合物理規律的宏觀應力-應變曲線 。
3. 具備“自知之明”的置信區間預測與傳統深度神經網絡的“盲目自信”不同，該工作選用高斯過程（GP）回歸作為核心代理模型 。高斯過程不僅能給出精確的預測曲線，更能進行嚴格的不確定性量化（UQ），輸出帶有95%置信區間的預測包絡帶 。這意味著，當輸入一種模型從未見過的極端奇異織構時，它會通過變寬的陰影帶誠實地發出“誤差警告”，極大地提升了工程預測的可靠性與安全性 。
作者的整體設計思路如下圖：
總結：工程實用性與計算效率的絕對飛躍這套“GSH-PCA降維 + fPCA重構 + GP預測”的全新組合拳，使得原本需要耗費數天的龐大多晶體模擬任務，如今不到一秒即可完成 。這種革命性的效率躍升，為依賴成千上萬次模擬迭代的蒙特卡洛分析、材料不確定性傳播以及微觀結構優化設計真正掃清了算力障礙 。
展開 工業軟件(CAD、CAE和EDA)為什么這么難研發？(轉載）
而仿真分析軟件CAE無論對于數據的前處理和后處理，還是各種求解器，對數學也有很高的要求。
前處理不僅僅是數據導入、模型修復和顯示，很大一塊是網格剖分的能力，這部分的技術門檻不低。算是CAE領域后起之秀Altair作為有幾十產品的上市公司，至今前處理軟件HyperMesh還是最重要的旗艦產品，貢獻了公司最多的收入，也是在CAE領域站穩腳的基石。后處理在大規模的數據處理和直觀、動態、炫酷可視化展示方面也有很多需要研發的內容，尤其是在B/S架構下，如何通過Web頁面快速高質量加載巨大的CAE計算結果，會是一個巨大的挑戰。
工業強度的網格生成算法不僅有很深的理論問題，也有很大的程序開發工作量。德國的斯杭博士在德國開發Tetgen，從2000年左右開始一直只做這樣的一件事情，堅持了20年，才有了和商業四面體引擎ghs3d競爭的能力。同樣法國Distene公司開發的MeshGems系列網格剖分系統被廣泛用于商業CAE軟件，最早來源于INRIA（法國國家信息與自動化研究所），十幾個研發人員也專注開發了近20年。
工業軟件這條路上，盡是寂寞的黑夜中的探索。
在NASA公布的CFD VISION2030戰略咨詢報告中，網格生成是單列的五項關鍵領域之一，并被認為是達成2030愿景的主要瓶頸。就在這樣一個高難度的領域，國內很多軟件都是裸奔，依靠Gmsh之類開源算法無法滿足客戶定制改進的要求，很難做到工業應用主流中去。
優化也是普遍性的數值方法，包括優化理論、代理模型等，是求解復雜工程問題的基礎，更不用說對各種路徑規劃所涉及的矩陣理論、泛函分析、動態規劃、圖論等等，無不是多約束條件下的多目標自動解空間尋優，背后都是數學王國建構的基礎之基。
展開 工業軟件(CAD、CAE和EDA)為什么這么難研發？(轉載）
而仿真分析軟件CAE無論對于數據的前處理和后處理，還是各種求解器，對數學也有很高的要求。
前處理不僅僅是數據導入、模型修復和顯示，很大一塊是網格剖分的能力，這部分的技術門檻不低。算是CAE領域后起之秀Altair作為有幾十產品的上市公司，至今前處理軟件HyperMesh還是最重要的旗艦產品，貢獻了公司最多的收入，也是在CAE領域站穩腳的基石。后處理在大規模的數據處理和直觀、動態、炫酷可視化展示方面也有很多需要研發的內容，尤其是在B/S架構下，如何通過Web頁面快速高質量加載巨大的CAE計算結果，會是一個巨大的挑戰。
工業強度的網格生成算法不僅有很深的理論問題，也有很大的程序開發工作量。德國的斯杭博士在德國開發Tetgen，從2000年左右開始一直只做這樣的一件事情，堅持了20年，才有了和商業四面體引擎ghs3d競爭的能力。同樣法國Distene公司開發的MeshGems系列網格剖分系統被廣泛用于商業CAE軟件，最早來源于INRIA（法國國家信息與自動化研究所），十幾個研發人員也專注開發了近20年。
工業軟件這條路上，盡是寂寞的黑夜中的探索。
在NASA公布的CFD VISION2030戰略咨詢報告中，網格生成是單列的五項關鍵領域之一，并被認為是達成2030愿景的主要瓶頸。就在這樣一個高難度的領域，國內很多軟件都是裸奔，依靠Gmsh之類開源算法無法滿足客戶定制改進的要求，很難做到工業應用主流中去。
優化也是普遍性的數值方法，包括優化理論、代理模型等，是求解復雜工程問題的基礎，更不用說對各種路徑規劃所涉及的矩陣理論、泛函分析、動態規劃、圖論等等，無不是多約束條件下的多目標自動解空間尋優，背后都是數學王國建構的基礎之基。
展開 數學系出身，如何從零到一地開始機器學習
雖然不在游戲部門，但是通過這件事情，筆者對游戲 AI 也產生了濃厚的興趣，撰寫過兩篇文章“強化學習與泛函分析”，“深度學習與強化學習”。
2017 年：再整旗鼓
在做日常項目的同時，在 2017 年也接觸量子計算。在后續幾個月的工作中，持續調研了量子計算的基礎知識，一些量子機器學習的技術方案，寫了兩篇文章“量子計算（一）”，“量子計算（二）”介紹了量子計算的基礎概念和技巧。
三十功名塵與土，八千里路云和月
提到再整旗鼓，其實指的是在 2017 年再次從零到一的做全新的項目。到了 2017 年 7 月份，隨著業務安全的機器學習框架已經逐漸完善，XX 項目也快走到了尾聲，于是就又有了新的項目到了自己的手里，那就是織云智能運維項目。運營中心這邊還在探索和起步階段，業界的 智能運維（AIOPS） 的提出也是在2017年才逐步開始，那就是從手工運維，自動化運維，逐步走向人工智能運維的階段，也就是所謂的 AIOPS。只有這樣，運營中心才有可能實現真正的咖啡運維階段。
正式接觸到運維項目是 2017 年 8 月份，從跟業務運維同學的溝通情況來看，當時有幾個業務的痛點和難點。例如：織云Monitor 時間序列的異常檢測，哈勃的根因分析，織云ROOT 系統的根源分析，故障排查，成本優化等項目。在 AIOPS 人員短缺，并且學術界并不怎么研究這類技術方案的前提下，如何在運維中開展機器學習那就是一個巨大的難題。就像當年有神盾系統，無論怎么做都可以輕松的接入其余推薦業務，并且也有相對成熟的內部經驗，學術界和工業界都有無數成功的案例。但是智能運維這一塊，在 2017 年才被推廣出來，之前都是手工運維和 DevOps 的一些內容。
展開 清華薛其坤、李渭＆華科徐剛Nano letters：FeSe薄膜中向列疇界的邊緣態
密度泛函理論計算理論分析很好地解釋了該邊緣態的拓撲起源。該發現表明FeSe疇界極有可能是實現量子自旋霍爾態（QSH）的一種候選材料，同時也為在單組分材料中實現拓撲超導性提供了新的思路。相關成果以題為“Edge states at nematic domain walls in FeSe films”發表在Nano letters上。
【圖文導讀】
圖一 FeSe疇界內向列性的抑制
（a）STO襯底上生長的~20UC FeSe薄膜的原子分辨STM形貌圖，由于FeSe薄膜內具有很強的向列性使得Se原子沿著Se-Se晶格對角線方向被明顯拉長
（b）孿晶疇中的被拉長的Se原子以及疇邊界上未被拉長的Se原子
圖二 ~20 UC FeSe/STO的向列性疇界
（a，b）向列疇界的電子態密度空間分布圖。在-50 meV和70 meV處疇界具有相反的對比度，橙色箭頭表示幾個疇界的交叉點
（c）FeSe薄膜的STM形貌圖像。
展開 東北林大《AFM》：用木材，制備出低成本高效水分解電極！
密度泛函(DFT)分析表明，Co/Ni二元納米粒子與CW非均相界面上H2O分子的有效吸附和裂解是其良好電催化性能的主要原因。重要的是，天然豐富和低成本的木材是電催化行業生產可伸縮能源燃料的替代基材。這種基于天然木材的簡單而有效的煅燒策略為制備三維結構和多孔電極材料提供了一個非常有前途的方向，適用于各種儲能、電化學催化和電子應用。（文：SSC）
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