赫茲接觸的案例
球體的赫茲接觸計算與ANSYS實現(xiàn)
首先，更正個錯誤：在上一篇公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現(xiàn)》赫茲公式的插圖中，球體赫茲接觸的計算公式出現(xiàn)了錯誤，在此為自己的疏忽向讀者們表示歉意！正確的計算公式如下：
在上一篇公眾號中，我們一起討論了平行圓柱體的赫茲接觸計算方法及其有限元計算方法。我們發(fā)現(xiàn)：在控制好所有條件以后，使用ANSYS計算出的赫茲接觸應(yīng)力（壓力）與使用赫茲公式計算出的應(yīng)力結(jié)果幾乎完全一致；接觸面半寬的計算結(jié)果誤差也在可接受的范圍之內(nèi)。今天，我們一起討論下球體的赫茲接觸計算方法及ANSYS實現(xiàn)。
我們以兩個直徑為100mm，
泊松比為0.3、彈性模量為200Gpa的
球體為例，假設(shè)外載F=1000N，分別基于
赫茲公式和
ANSYS軟件計算一下接觸面面半徑和最大接觸應(yīng)力：
一、基于赫茲公式的計算：
同樣，對于赫茲公式的計算，筆者編了一個簡單的Python小程序，程序代碼如下：
根據(jù)計算結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，該問題中兩物體的接觸面半寬為0.5546mm，遠(yuǎn)小于接觸物體的結(jié)構(gòu)尺寸，因此
符合赫茲公式的假設(shè)。
二、基于ANSYS軟件的計算：
使用ANSYS計算時，只需要在公眾號文章《平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現(xiàn)》基礎(chǔ)上，做如下修改即可：
Step1
平面分析設(shè)置修改
將Step5中的2D Behavior修改成Axisymmetric（軸對稱）。
Step2
刪除軸對稱設(shè)置
將Step6中的軸對稱設(shè)置刪除。
展開 ANSYS Workbench赫茲接觸分析實例
1 引言
Hertz接觸理論是研究兩物體因受壓相觸后產(chǎn)生的局部應(yīng)力和應(yīng)變分布規(guī)律的學(xué)科。1881 年 H.R.赫茲最早研究了玻璃透鏡在使它們相互接觸的力作用下發(fā)生的彈性變形。他假設(shè)：
① 接觸區(qū)發(fā)生小變形。
② 接觸面呈橢圓形。
③ 相接觸的物體可被看作是彈性半空間，接觸面上只作用有分布的垂直壓力。
凡滿足以上假設(shè)的接觸稱為赫茲接觸。當(dāng)接觸面附近的物體表面輪廓近似為二次拋物面，且接觸面尺寸遠(yuǎn)比物體尺寸和表面的相對曲率半徑小時，由赫茲理論可得到與實際相符的結(jié)果。在赫茲接觸問題中，由于接觸區(qū)附近的變形受周圍介質(zhì)的強烈約束，因而各點處于三向應(yīng)力狀態(tài)，且接觸應(yīng)力的分布呈高度局部性，隨離接觸面距離的增加而迅速衰減。此外，接觸應(yīng)力與外加壓力呈非線性關(guān)系，并與材料的彈性模量和泊松比有關(guān)。
1
問題描述
圖1 兩圓柱體接觸及軸線平行的兩圓柱體相接觸的壓力分布
軸線平行的兩圓柱體接觸時，變形前二者沿一條直線接觸，受壓力P后，接觸處發(fā)生了彈性變形，接觸線變成寬度為2b的矩形面，接觸面上的單位壓力按橢圓柱規(guī)律分布。變形最大的X軸上壓力最大，以P0表示，接觸面上其余各點的壓力按半橢圓規(guī)律分布。
展開 ANSYS workbench 赫茲非線性接觸分析 ￥10
本案例適合哪些人學(xué)習(xí)：
1、學(xué)習(xí)型仿真工程師
2、理工科院校學(xué)生
3、對有限元分析感興趣的工程師
你會得到什么：
1、學(xué)習(xí)赫茲接觸的二維模型處理
2、學(xué)習(xí)赫茲非線性接觸相關(guān)的接觸設(shè)置
3、學(xué)習(xí)非線性靜力學(xué)分析步的建立
4、學(xué)習(xí)赫茲接觸靜力學(xué)分析的載荷施加
案例介紹：
所使用軟件為ANSYS workbench2020r2.
案例介紹了ANSYS workbench 赫茲非線性接觸分析。
本案例完整得提供了分析相關(guān)所有分析文件。
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基于ANSYS Workbench軟件Convergence工具判定求解收斂的簡例——【鋼絲繩赫茲接觸分析】
基于ANSYS Workbench軟件Convergence工具判定求解收斂的簡例-【鋼絲繩赫茲接觸分析】
本文以“鋼絲繩赫茲接觸分析”為例，講解如何采用Convergence工具判定求解收斂的方法。
本文為原創(chuàng)案例，若要轉(zhuǎn)載請注明文章出處，并附帶作者筆名-CAE夢想很偉大，切勿他用。
另外限于本人水平有限，切勿輕易用于工程應(yīng)用，論文撰寫等。若有錯誤，請同行指出。
歡迎大家轉(zhuǎn)載、點贊、評論。
網(wǎng)格劃分的細(xì)密程度與單元的選擇對于求解的精確程度具有相當(dāng)大的影響，不少帖子都曾經(jīng)撰寫過相關(guān)文章的比較，例如包括網(wǎng)格劃分的細(xì)密，單元的選擇，子模型的使用，應(yīng)力奇異的判定等，這里通Convergence工具來自動判定網(wǎng)格的細(xì)密程度，得到一個收斂解。
技術(shù)鄰咨詢鏈接：http://www.yqgqt.org.cn/b/280
模型幾何
接觸關(guān)系
初始網(wǎng)格劃分
邊界條件
設(shè)置求解后處理，等效應(yīng)力引入Convergence，判定收斂，判定量為2%以內(nèi)收斂。
通過上圖1-6的求解過程比對可知，初始網(wǎng)格的等效應(yīng)力隨著節(jié)點數(shù)量和單元的增加，應(yīng)力逐步穩(wěn)定，得到收斂的穩(wěn)定解。且穩(wěn)定解的應(yīng)力明顯比粗糙網(wǎng)格應(yīng)力高，符合赫茲接觸。
收斂解與初始網(wǎng)格定義的網(wǎng)格密度比對
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赫茲接觸計算公式
當(dāng)兩個非協(xié)調(diào)固體接觸的時候，它們最初是在一個點或一條線上接觸。在微小的載荷作用下，它們在最初的接觸點附近發(fā)生變形，致使它們在一個有限的區(qū)域上接觸，盡管這區(qū)域比起兩物體尺寸來說是很小的。
對兩個彈性體接觸處應(yīng)力狀態(tài)的令人滿意的分析，是由赫茲首先提出的。
1.赫茲彈性接觸理論
1.1.假設(shè)條件
1）材料是均勻的、各向同性的、完全彈性的；
2）接觸表面的摩擦力可以忽略不計（即作用力與接觸面垂直）；
3）接觸表面是理想的光滑表面，接觸區(qū)的尺寸遠(yuǎn)小于物體的尺寸；
4）小應(yīng)變。
1.2.應(yīng)用的三個基本原理
1.2.1.變形方程
1）點接觸物體受力后其接觸表面為橢圓；
2）線接觸物體受力后其接觸表面為矩形；
3）兩個接觸物體的變形符合變形連續(xù)條件。
1.2.2.物理方程
由于材料處于彈性階段且服從胡克定律，因此接觸表面上的應(yīng)力的變化規(guī)律與接觸體的應(yīng)變成線性關(guān)系，在應(yīng)變最大的接觸表面中心壓應(yīng)力最大。Hertz假設(shè)接觸表面的壓應(yīng)力分布為半橢圓體。
1.2.3.靜力平衡方程
根據(jù)接觸表面壓應(yīng)力分布規(guī)律求得表面接觸壓力所組成的合力應(yīng)等于外加載荷。
1.3.赫茲接觸應(yīng)力公式
1.3.1.線接觸（單位長度上載荷P）
半接觸寬度，
平均接觸應(yīng)力，
最大接觸應(yīng)力，
1.3.2.圓形點接觸（載荷P）
接觸圓半徑，
壓縮量，
平均接觸應(yīng)力，
最大接觸應(yīng)力，
1.3.3.橢圓形點接觸（載荷P）
平均接觸應(yīng)力，
最大接觸應(yīng)力，
2.典型接觸物體計算公式
2.1.圓形點接觸
2.1.1.接觸面半寬
2.1.2.最大接觸應(yīng)力
平均接觸應(yīng)力為F/πc2；最大接觸應(yīng)力為平均接觸應(yīng)力的1.5倍。
展開 使用 ANSYS 分析內(nèi)燃機凸輪和從動組件的摩擦學(xué)參數(shù)
為了減少計算時間，我們對225°進(jìn)行了分析，即凸輪將旋轉(zhuǎn)225°，并且其間必須達(dá)到最大赫茲接觸應(yīng)力和接觸壓力的值。計算時間或模擬結(jié)束時間的計算如下，
凸輪旋轉(zhuǎn)速度：2,000 RPM。
輸入角度 = 225°
這意味著我們的模擬將運行 0.01875 秒。
Result and discussion
4 Result and discussiom
結(jié)果和討論
接觸力學(xué)的兩個重要參數(shù)是赫茲接觸應(yīng)力和接觸壓力。[9]當(dāng)兩個曲面接觸并由于施加的載荷而逐漸變形時產(chǎn)生的局部應(yīng)力稱為赫茲接觸應(yīng)力。而典型載荷（接觸力）與實際接觸面積的比值就是接觸壓力。接觸應(yīng)力是由于壓力而產(chǎn)生的。由于仿真時間很短，因此在ANSYS中進(jìn)行靜態(tài)結(jié)構(gòu)分析。我們的研究重點是摩擦學(xué)參數(shù)，因此顯示了接觸區(qū)域的模擬結(jié)果。與該研究相關(guān)的所有結(jié)果和討論如下。
4.1 . 赫茲接觸應(yīng)力
圖3.1b. 凸輪與從動件接觸處嚙合
4.2 . 接觸壓力
表3給出了從ANSYS軟件獲得的參數(shù)的比較值。圖4.1a顯示結(jié)構(gòu)鋼材料的赫茲接觸應(yīng)力最大值為9.89 MPa。該最大應(yīng)力值是在凸輪角度 100.116° 時在 0.0083438 秒內(nèi)獲得的。圖 4.1b顯示灰口鑄鐵材料的赫茲接觸應(yīng)力最大值為 5.52 MPa。
展開 平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現(xiàn)
1882年，年僅25歲的德國天才物理學(xué)家赫茲發(fā)表了關(guān)于接觸力學(xué)的著名文章《關(guān)于彈性固體的接觸（On the contact of elastic solids）》，系統(tǒng)地闡述了兩物體之間接觸面上所傳遞的壓力分布，以及它所引起的垂直于接觸面的彈性位移在接觸區(qū)內(nèi)、外的關(guān)系。另外，赫茲在這篇論文中提出了有關(guān)彈性體接觸的理論公式——赫茲公式。
赫茲
海因里希·魯?shù)婪颉?em>赫茲是德國天才物理學(xué)家，畢業(yè)于柏林大學(xué)，師承古斯塔夫·基爾霍夫（德國物理學(xué)家，在電路、光譜學(xué)的基本原理有重要貢獻(xiàn)）和赫爾曼·范·亥姆霍茲（能量守恒定律的創(chuàng)立者）。
赫茲在波動方程、光電效應(yīng)和接觸力學(xué)等領(lǐng)域都做出了杰出的貢獻(xiàn)，尤其是他于1888年首次通過實驗證明了電磁波的存在，成為了近代科學(xué)史上的一座里程碑，開創(chuàng)了無線電電子科學(xué)技術(shù)的新紀(jì)元。
正當(dāng)人們對他寄以更大期望時，他卻于1894年元旦因血中毒逝世，年僅36歲。為了紀(jì)念他的功績，人們用他的名字來命名各種波動頻率的單位—赫茲（Hz）。頻率也是國際單位制中頻率的單位，它是每秒中周期性變動重復(fù)次數(shù)的計量。
圖為赫茲及夫人伊麗莎白
赫茲公式是研究疲勞、摩擦以及任何有接觸體之間相互作用的基本公式。接觸理論指出：接觸表面上所承受的壓應(yīng)力是處處不同的，其分部呈半橢圓柱形。初始接觸線處壓應(yīng)力最大，以此最大壓應(yīng)力代表兩零件間接觸受力后的應(yīng)力。
展開 認(rèn)識網(wǎng)格2 | “質(zhì)量好”的網(wǎng)格不一定是好網(wǎng)格
加密網(wǎng)格
通過上面分析結(jié)果的反饋意識到：需要加密局部接觸網(wǎng)格才能獲得更多的數(shù)據(jù)點
于是將上面的網(wǎng)格加密一倍（0.25mm），如圖所示：
現(xiàn)在自信滿滿，想著已經(jīng)找到問題所在，而且網(wǎng)格已經(jīng)這么密了（2萬節(jié)點），總該得到理想中的結(jié)果吧，于是分析提取接觸壓力曲線：
雖然結(jié)果相較于之前要好一些，但是問題依然存在：接觸壓力局部仍然跳躍太快，這意味著結(jié)構(gòu)的應(yīng)力云圖也存在大幅度的跳躍，這樣結(jié)果的參考價值值得懷疑。
思考
有些小伙伴會想：繼續(xù)加密網(wǎng)格，一直到結(jié)果合理不就可以了么？
加密網(wǎng)格現(xiàn)在面臨兩個問題：
①不知道加密多少輪合適，可能再加密一輪結(jié)果就可以，可能需要加密十輪才能得到滿意的結(jié)果。
②目前網(wǎng)格節(jié)點數(shù)量2萬，加密一次節(jié)點數(shù)量至少會增加2倍，意味著矩陣層面至少增加4倍，也就是計算量和計算時間長度會變?yōu)樵瓉淼?倍。考慮到這只是一個滾珠，如果對整個軸承進(jìn)行分析，那整體加密會帶來非常巨大的計算量。
所以，需要停下來好好思考：這類接觸問題的特點是什么？如果網(wǎng)格加密，局部需要多密的網(wǎng)格才能滿足計算要求？如果網(wǎng)格需要很密，怎么才能在保證精度的情況下降低計算量？
由于本文主要重點在說明網(wǎng)格而不是這類接觸現(xiàn)象，因此這里直接給出一些個人建議：
①軸承，齒輪這類曲面接觸問題使用赫茲接觸理論可以較好的解釋，該理論下，滾珠與外圈的接觸區(qū)域和接觸壓力都具有橢圓分布的性質(zhì)。
②對于赫茲接觸問題，局部網(wǎng)格密度至少要捕捉到可用的接觸區(qū)域，一般取為接觸半寬的1/2。
展開 秒懂 “Hertz接觸”附秒懂 “Hertz接觸”下載
1881 年 H.R.赫茲最早研究了玻璃透鏡在使它們相互接觸的力作用下發(fā)生的彈性變形。他假設(shè)：①接觸區(qū)發(fā)生小變形。②接觸面呈橢圓形。③相接觸的物體可被看作是彈性半空間，接觸面上只作用有分布的垂直壓力。凡滿足以上假設(shè)的接觸稱為赫茲接觸。當(dāng)接觸面附近的物體表面輪廓近似為二次拋物面，且接觸面尺寸遠(yuǎn)比物體尺寸和表面的相對曲率半徑小時，由赫茲理論可得到與實際相符的結(jié)果。在赫茲接觸問題中，由于接觸區(qū)附近的變形受周圍介質(zhì)的強烈約束，因而各點處于三向應(yīng)力狀態(tài)，且接觸應(yīng)力的分布呈高度局部性，隨離接觸面距離的增加而迅速衰減。此外，接觸應(yīng)力與外加壓力呈非線性關(guān)系，并與材料的彈性模量和泊松比有關(guān)。
實際工程中的很多接觸問題并不滿足赫茲理論的條件。例如，接觸面間存在摩擦?xí)r的滑動接觸，兩物體間存在局部打滑的滾動接觸，因表面輪廓接近而導(dǎo)致較大接觸面尺寸的協(xié)調(diào)接觸，各向異性或非均質(zhì)材料間的接觸，彈塑性或粘彈性材料間的接觸，物體間的彈性或非彈性撞擊，受摩擦加熱或在非均勻溫度場中的兩物體的接觸等。對以上問題的研究已取得不少成果。
假設(shè)：
在討論彈性接觸問題時，一般假定:
(1) 接觸系統(tǒng)由兩個相互接觸的物體組成，它們間不發(fā)生剛體運動;
(2) 接觸物體的變形是小變形，接觸點可以預(yù)先確定，接觸或分離只在兩物體可能接觸的相應(yīng)點進(jìn)行;
(3) 應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系取線性;
(4) 接觸表面充分光滑;
(5) 不考慮接觸面的介質(zhì)(如潤滑油)、不計動摩擦影響。
基本類型：
接觸問題一般分為兩種基本類型：剛體一柔體的接觸，柔體一柔體的接觸。
在剛體一柔體的接觸問題中，接觸面的一個或多個被當(dāng)作剛體。與它接觸的變形體相比，有大得多的剛度。
展開 abaqus中，車軌隧耦合動力學(xué)
abaqus中，車軌隧耦合動力學(xué)分析中，未施加軌道不平順，輪軌垂向力為0，輪軌采用非線性赫茲接觸，車體，輪對，轉(zhuǎn)向架均采用解析剛體用mpc梁笛卡爾彈簧單元賦予剛度和阻尼。檢查均無錯誤
干貨！公眾號精華文章匯總~
02 沖壓成型仿真
03 牛頓擺多體動力學(xué)仿真
04 平行圓柱體的赫茲接觸計算與ANSYS實現(xiàn)
05 球體的赫茲接觸計算與ANSYS實現(xiàn)
04
左中括號
HM與ANSYS聯(lián)合仿真系列課程
左中括號
01 HyperMesh與ANSYS聯(lián)合仿真（一）
02 如何在HyperMesh中使用ANSYS命令
05
左中括號
ANSYS實用功能詳解系列課程
左中括號
01 Weak Spring-弱彈簧
02 End Releases-端部釋放
03 Remote Force-遠(yuǎn)端力
06
左中括號
ANSYS不同單元連接系列課程
左中括號
01 Beam-Solid單元連接（一）
02 Beam-Solid單元連接（
展開 
RADIOSS接觸分析方法研究
本文為了研究RADIOSS的接觸隱式算法，使用RADIOSS對經(jīng)典的赫茲接觸實例進(jìn)行了數(shù)值仿真分析。并通過數(shù)值仿真結(jié)果和赫茲理論解析解的對比，得知使用RADIOSS能夠很好地模擬接觸問題。并掌握了RADIOSS的接觸分析方法，為日后進(jìn)行接觸問題計算積累了寶貴的經(jīng)驗。
寇艷榮_RADIOSS接觸分析方法研究.pdf
CAE前處理 | 網(wǎng)格局部加密
3 手動加密
手動加密方法主要適用于四邊形/六面體，一般加密思路主要有兩種：①偏置 ②切分，分別對應(yīng)下面兩種網(wǎng)格模式：
①對于偏置大家相對比較容易操作，對應(yīng)軟件操作中的biasing功能，能夠按照不同的偏置密度和偏置方式對結(jié)構(gòu)進(jìn)行，如下為典型的使用偏置功能對赫茲接觸部分進(jìn)行局部加密：
②但是大家會發(fā)現(xiàn)使用偏置進(jìn)行網(wǎng)格加密有一個很嚴(yán)重的問題：為了達(dá)到局部加密效果，總會使得部分網(wǎng)格質(zhì)量較差，主要體現(xiàn)在長寬比過大或者單元扭曲嚴(yán)重。因此，很多時候?qū)τ诿婢W(wǎng)格手動加密，會采用如圖所示兩種切分過渡模式：
對于上述通過切分方式實現(xiàn)網(wǎng)格過渡個人主要總結(jié)為以下幾步（有些工具可以直接生成這種過渡形式）：
同樣的方法，對于3D實體的切分方式加密也是一樣：
如果大家對上述過程理解的比較透徹的話，就能夠?qū)σ恍┍容^復(fù)雜的邊界按照相同的步驟進(jìn)行加密：
4 自動加密
手動加密方法一般需要人為偏置或者切分，工作量較大，并且只適合于相對較簡單的幾何模型，一般情況下我們會選擇自動加密方法進(jìn)行網(wǎng)格劃分。
展開 CAE前處理 | 網(wǎng)格局部加密
但是一般弦差不容易估計，因此可以將弦差設(shè)置較大，使用特征角對局部特征進(jìn)行加密：
如圖是分別使用surface deviation方法的混合四邊形以及三角形方式進(jìn)行局部加密的示意圖，當(dāng)然結(jié)合refine參數(shù)就可以任意的加密需要部位的網(wǎng)格，比如下面創(chuàng)建的赫茲接觸局部網(wǎng)格：
基本上對于三角形/四面體自動加密方法熟練掌握surface deviation足夠！
05 基于網(wǎng)格加密
前面介紹的各種方法都是基于幾何模型進(jìn)行，但是很多時候在HM中處理完模型后刪除了幾何模型，那么對于沒有幾何模型的情況下怎么對網(wǎng)格進(jìn)行加密呢？
CAE前處理 | 網(wǎng)格局部加密
03 手動加密
手動加密方法主要適用于四邊形/六面體，一般加密思路主要有兩種：①偏置 ②切分，分別對應(yīng)下面兩種網(wǎng)格模式：
①對于偏置大家相對比較容易操作，對應(yīng)軟件操作中的biasing功能，能夠按照不同的偏置密度和偏置方式對結(jié)構(gòu)進(jìn)行，如下為典型的使用偏置功能對赫茲接觸部分進(jìn)行局部加密：
②但是大家會發(fā)現(xiàn)使用偏置進(jìn)行網(wǎng)格加密有一個很嚴(yán)重的問題：為了達(dá)到局部加密效果，總會使得部分網(wǎng)格質(zhì)量較差，主要體現(xiàn)在長寬比過大或者單元扭曲嚴(yán)重。因此，很多時候?qū)τ诿婢W(wǎng)格手動加密，會采用如圖所示兩種切分過渡模式：
對于上述通過切分方式實現(xiàn)網(wǎng)格過渡個人主要總結(jié)為以下幾步（有些工具可以直接生成這種過渡形式）：
同樣的方法，對于3D實體的切分方式加密也是一樣：
如果大家對上述過程理解的比較透徹的話，就能夠?qū)σ恍┍容^復(fù)雜的邊界按照相同的步驟進(jìn)行加密：
04 自動加密
手動加密方法一般需要人為偏置或者切分，工作量較大，并且只適合于相對較簡單的幾何模型，一般情況下我們會選擇自動加密方法進(jìn)行網(wǎng)格劃分。
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