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本次分享的是基于Modified Newton–Raphson的非線性有限元編程小案例，將會介紹牛頓法的優缺點，以及如何一步步修正，最后結合彈簧單元的例子進行Modified Newton–Raphson數值實現，望大家喜歡。

圖 1：在一個增量步中的首次迭代(源自《ABAQUS非線性有限元分析實例》莊茁 P192)Newton-Raphson（N-R）迭代法的原理Newton-Raphson（N-R）迭代法主要以分步逼近的方法計算，在每一增量步中，采用已得到的位移值帶入并求得與位移有關的切線剛度矩陣的值，再進行線性計算，反復調整計算的載荷值與設定載荷值的差進行迭代，使其達到設定的精度。

有關Newton–Raphson的算法細節，可參考數值分析教材或者木木前幾期的推文，本質就是一個切線逼近的過程，本次推文的目的就是帶著大家將該算法應用到具體有限元非線性求解案例中。

此 Newton - Raphson 分析的收斂性由 “Line Search convergence tolerance”（線搜索收斂容差）和 “Displacement Convergence tolerance”（位移收斂容差）控制。LS - DYNA 支持所有這些方法，這些方法都在分析的瞬態部分于時間零開始之前的偽時間內進行。

對于這些方程組，數學上已有相應的解法，如線性方程組可采用Guass消去法或Guass-Seidel迭代法求解，而對非線性方程組，可采用Newton-Raphson方法。

由于我們使用 Newton-Raphson 方法來求解這個問題，因此不應該從函數斜率為零的點開始。經過求解，我們發現 u_b = 2.621。 現在，我們讓事情變得復雜一點，這次需要求解的是 和 這兩個極限： 由于我們有兩個未知數，顯然需要在這里再加一個方程，所以讓我們再假設 。

正如我們在之前一篇有關 求解線性靜態有限元問題文章 中讀到的，您總可以通過一次 Newton-Raphson 迭代得到解。在所有線性有限元問題中，不論您使用了哪種網格，這一點都適用。讓我們看一下可以在這些結構中使用的最簡單網格。下圖顯示了用于離散這些幾何的單個六面體單元： 立方體的網格顯然是真實幾何的完美表征，柱形殼的網格則看起來相當差。

2)ABAQUS/Standard使用Newton-Raphson方法來求解大型方程組，在每個增量步中都進行迭代運算，因此需要占用大量的硬盤和內存空間。其計算結果具有無條件穩定性，適合解決一般的線性和非線性問題。3)ABAQUS/Explicit則采用中心差分法求解大型方程組，無需迭代計算，但需要進行大量的增量步計算，其計算時間取決于穩定極限值。

在圓漸開線的理論方面，MORISHITA E最早推導出基于圓漸開線的渦旋壓縮機數學模型，并對渦旋壓縮機的幾何模型與動力學模型進行深入研究；隨后GRAVESEN J通過運用微分幾何理論，利用平面曲線必須嚙合的本質特點，進一步拓展了圓漸開線的相關理論，推進了圓漸開線的發展；E.A.GROLL在之前的型線理論基礎之上，系統全面的建立了渦旋壓縮機運動時的數學、熱力學性能和泄漏模型，并在工作腔之間的壓力非線性耦合問題上使用了Newton-Raphson

另外，每一次求解都需要對求倒數，如果求解方程組，就是對剛度矩陣求逆，這種方法在求解中控制兩次求解之差，當其值很小時，就認為接近真實值了，迭代結束 圖4-3 2：Newton-Raphson方法 Newton-Raphson方法的算法與常剛度法不同[12]，如果得近似表達式是不成立的，存在著殘余值，即，此式也可以作為近似值與真實值的差值量度，實際上在具體計算時