本文我們將介紹線性靜態有限元問題的網格剖分注意事項，希望可以幫助您建立起對有限元模型剖分網格的信心。

關于有限元網格剖分

有限元網格通常服務于兩大目的。首先，它將模擬的 CAD 幾何細分為更小的組成部分，或稱單元，在此基礎上，我們將能夠寫出一組方程來描述控制方程的解。網格也用于代表所求解物理場的解域。不論是幾何離散化還是解的離散化，都會出現誤差，所以我們將分別查看。

幾何離散化

考慮兩個非常簡單的幾何，一個立方體和一個柱形殼：

我們可以使用四類單元來剖分這些幾何 – 四面體、六面體、三角棱柱，以及金字塔形單元：

灰圈代表單元的角，或稱節點。您可以使用這四種單元的任意組合（在二維模型中，可以使用三角形和四邊形單元）。檢查一下您將發現，這兩個幾何都可以通過一個六面體單元、兩個棱柱、三個金字塔形，或五個四面體進行網格剖分。正如我們在之前一篇有關 求解線性靜態有限元問題文章 中讀到的，您總可以通過一次 Newton-Raphson 迭代得到解。在所有線性有限元問題中，不論您使用了哪種網格，這一點都適用。讓我們看一下可以在這些結構中使用的最簡單網格。下圖顯示了用于離散這些幾何的單個六面體單元：

立方體的網格顯然是真實幾何的完美表征，柱形殼的網格則看起來相當差。事實上，這只是因為繪制的關系才看起來如此。出于圖形表現的目的，繪制在屏幕上的單元通常會有直的邊，但 COMSOL 則會使用二階拉格朗日單元來離散幾何（以及解）。因此，雖然單元的邊看上去是直的，它的內部表征其實是：

白圈代表這些二階單元邊的中點節點。也就是說，定義了單元邊的線由三個點表征，這些邊通過多項式擬合近似。每個四邊形面的中心，以及二階拉格朗日六面體單元（為清晰起見，圖中已省略）的中心也有一些額外的節點。顯然，這些單元在代表單元中彎曲邊界方面的表現更好。缺省情況下，COMSOL 會在大部分物理場中使用二階單元，化學物質傳遞問題和流體流動場中的求解是兩個例外。（由于這類問題中以對流為主，使用一階單元求解控制方程會更好。）還可以使用更高階單元，但缺省的二階單元通常能在精度和計算要求之間達到一個較好的折中。

下圖顯示了當使用一階和二階單元剖分一個 90° 弧時的幾何離散化誤差：

據此我們可以得出以下結論：至少需要 2 個二階單元或 8 個一階單元才能將幾何離散化誤差降低到 1% 以下。事實上，使用 2 個二階單元會引入小于 0.1% 的幾何離散化誤差。更細化的網格可以更精確地表示幾何，但將使用更多的計算資源。這也給了我們兩條相當實用的指導：

1. 使用一階單元時，調整網格以保證每個 90° 弧中至少包含 8 個單元
2. 使用二階單元時，每個 90° 弧中至少使用 2 個單元

根據這些經驗法則，我們現在可以估算在對幾何進行網格剖分時引入的誤差，這樣即使還沒開始求解模型，也能對剖分操作有一定信心。現在，讓我們將注意力轉向網格如何離散解這一點上。

解的離散化

有限元網格也用于表示解的域。在解節點處計算，并基于多項式在整個單元上內插該解，以得到整個解的域。當求解線性有限元問題時，不論網格有多粗化，我們總能夠計算得到解，雖然可能并不精確。要理解網格密度對解精度的影響，讓我們看一下之前幾何中的一個簡單傳熱問題：

在立方體和柱形殼相對的面上施加了一個溫差。導熱系數恒定，所有其他表面均為熱絕緣。

立方體的解是溫度場在整個立方體中呈線性變化。對本模型而言，一個一階六面體單元已足以得到真實的解。當然，很少會這么幸運！

因此，讓我們看一個略具挑戰性的案例。我們已經看到，柱形殼模型因彎曲邊的存在而包含幾何離散化誤差，因此我們將沿彎曲邊使用 2 個二階（或 8 個一階）單元開始模型研究。如果仔細看一下上圖，您將發現邊界上單元的邊是彎曲的，而內部單元的邊則是直的。

沿柱體的軸向，我們可以只使用一個單元，因為溫度場在此方向無變化。但從內表面到外表面的徑向上，我們還需要足夠的單元來離散化解。本案例中的解析解為  ，可與我們的有限元解進行對比。由于多項式基函數無法完美描述該函數，讓我們繪制一下線性和二階單元有限元解的誤差：

從這一繪圖中可以看到，誤差將隨著您增加模型中的單元數目而減小。這也是有限元方法的一個基本特點：單元越多，您的解越精確。當然，這樣做也要付出一定的代價：我們需要更多的計算資源、時間和硬件來求解更大型的模型。現在，您已經注意到繪圖的 x 軸沒有單位，這是我們的特意設定。每個模型中誤差相對于網格細化的減小速率不同，這與許多因素相關。唯一重要的一點是，它在適定的問題中會不斷呈單調式下降。

您還將發現，在某個點后，誤差會重新升高。這將在單個網格單元變得非常小的時候發生，我們碰到了 數值精度的限制 。也就是說，我們模型中的數小于電腦可以精確表示的數。這是所有計算方法中固有的一個問題，而非僅存在于有限元方法中；計算機無法精確表示所有實數。誤差開始重新增大的那個點接近  ，出于安全和實用的考慮，我們經常說最小可實現的誤差是 10-6。因此，如果我們積分整個模型中真實和計算解的縮放差：

我們就可以說在網格細化的限制下，誤差   通常可以小至 10-6。實際上，模型輸入的不確定性通常比它更大。同時也請記住，我們通常并不知道真實的解，相反，我們需要對比由不同尺寸網格計算得到的解，并觀察解正朝哪個值收斂。

自適應網格細化

通過介紹一個更好的網格細化方法來結束本篇博客。上圖顯示出，隨著模型中所有單元變小，誤差會減少。但理想情況下，您僅需細化誤差較高區域的單元。COMSOL 通過自適應網格細化解決了該問題，它首先會在初始網格上求解，然后在誤差估算較高的區域迭代插入單元，然后重新求解模型。您可以按照需要進行足夠多的迭代。本功能可用于二維下的三角形單元和三維下的四面體單元。讓我們在一個簡單的結構力學問題中檢查一下該問題，單軸拉伸下的有孔平板，如下圖所示。利用對稱性，我們僅需求解模型的 1/4。

在離孔洞較遠的地方，計算得到的位移場和合應力都比較均勻，但靠近孔洞處的變化很大。下圖顯示了初始網格，及幾次自適應網格細化迭代后的結果，以及計算得到的應力場。

請注意 COMSOL 如何優先在孔洞周圍插入更小的單元。這應該不奇怪，因為我們已經知道孔洞周圍的應力更高。實際上，我們建議綜合自適應網格細化、工程判斷，以及個人經驗來找到一個可接受的網格。

要點總結

• 執行網格細化研究，并對比不同尺寸網格的結果
• 利用有關幾何離散化誤差的知識，起始網格盡量粗化，然后再細化
• 可以使用自適應網格細化，或自己的判斷來細化網格

本文來自： COMSOL 博客