功率譜密度的案例
Matlab實例：頻譜、功率譜和功率譜密度計算
本實例以高斯信號為例，計算幅度譜、相位譜、雙邊功率譜、雙邊功率譜密度、單邊功率譜、單邊功率譜密度。高斯信號的半波全寬FWHM=50ps，中心點位于2.5ns處。
MATLAB程序代碼：
%================
%作者：yoyoba
%Email：stuyou@126.com
%================
clc;
clear;
FWHM=50e-12;
%高斯信號FWHM寬度，為50ps
time_window=100*FWHM;
%高斯信號的采樣窗口寬度，該值決定了傅里葉變換后的頻率分辨率
Ns=2048;
%采樣點
dt=time_window/(Ns-1);
%采樣時間間隔
t=0:dt:time_window;
%采樣時間
gauss_time=exp(-0.5*(2*sqrt(2*log(2))*(t-2.5e-9)/FWHM).^2);
%高斯脈沖，中心位于2.5ns處。
plot(t*1e+9,gauss_time,'linewidth',2.5);
xlabel('Time/ns');
ylabel('Amplitude/V');
title('Gauss pulse');
%================
%以下計算雙邊譜、雙邊功率譜、雙邊功率譜密度
%================
gauss_spec=fftshift(fft(ifftshift(gauss_time)));
%傅里葉變換，并且進行fftshift移位操作。
展開 ansys workbench 隨機振動功率譜密度轉換公式
隨機振動功率譜密度轉換公式.pdf
Abaqus隨機響應分析中PSD的定義
隨機振動指未來任一給定時刻的瞬時值不能預先確定的機械振動，無法用確定的函數而須用概率統計方法定量描述其運動規律的振動，因此在進行隨機響應分析時隨機激勵以PSD（功率譜密度）的形式進行輸入。
1.PSD的的定義
功率譜密度譜是一種概率統計方法，是對隨機變量均方值的量度。一般用于隨機振動分析，連續瞬態響應只能通過概率分布函數進行描述，即出現某水平響應所對應的概率。功率譜密度的定義是單位頻帶內的“功率”（均方值）。
功率譜密度是結構在隨機動態載荷激勵下響應的統計結果，是一條功率譜密度值—頻率值的關系曲線，其中功率譜密度可以是位移功率譜密度、速度功率譜密度、加速度功率譜密度、力功率譜密度等形式。數學上，功率譜密度值—頻率值的關系曲線下的面積就是均方值，當均值為零時均方值等于方差，即響應標準偏差的平方值。
2. Abaqus中PSD的定義
Abauqs中通過Random response分析步進行基于模態的隨機響應分析。
?PSD的類型
Abaqus中支持以下類型的PSD施加：
① 集中載荷
② 分布載荷
③ 基礎運動（BASE MOTION）
BASE MOTION的類型分別為加速度、速度和位移。
關鍵字：*BASE MOTION
?PSD的定義
PSD為模型數據必須在分析步之前定義
① 定義隨機激勵PSD曲線的關鍵字為：
*PSD-DEFINITION, NAME=psd-name
② CAE環境定義PSD,如圖1所示。
其中：
TYPE = BASE 為基礎激勵
G為參考加速度，默認為1，用戶可以根據實際自行定義。
展開 聯合ABAQUS與Fe-safe的隨機振動疲勞分析（隨機疲勞理論及有限元軟件操作講解） ￥25
2.1 隨機過程基礎理論與功率譜密度PSD
隨機過程按統計特性隨時間變化情況，可以分為兩類: 平穩隨機振動和非平穩隨機振動。 為了描述平穩過程隨時間變化的特性，一般采用相關函數。而功率譜密度可以在頻域范圍內描述平穩過程，能夠表達隨機過程的能量分布情況，是隨機過程在頻域內的重要參數。
自相關函數Rx(τ)和功率譜密度Sx(ω)符合維納一辛欽定理:
為了方便工程中的運算，根據 ω = 2πf，把圓頻率換算為頻率f。
2.2 應力功率譜密度
結構激勵信號的功率譜密度為W( f )，則應力功率譜密度為：
其中，H ( f )為應力頻響函數。
2.3 應力功率譜密度慣性矩與不規則因子
在時域中，常用一些統計參數來描述一個隨機應力應變時間歷程中1s的樣本，如圖2所示，圖中E[0]為樣本中自下而上穿越均值的次數，E[P]為樣本中出現峰值的次數。
E[0]和E[P]可以通過功率譜密度函數的i階慣性矩mi換算得到。慣性矩即為功率譜密度函數曲線下包括的面積。如圖3所示。
應力功率譜密度的第 i 階慣性矩 mi 為
不規則因子計算公式為
不規則因子γ，來分辨平穩過程X(t) 是符合窄帶過程還是寬帶過程。當不規則因子γ接近0時，平穩過程X(t) 符合寬帶隨機過程。當不規則因子γ趨向于1時，平穩過程X(t)符合窄帶隨機過程。
展開 
隨機振動中Grms值的計算
功率譜密度 (PSD)：功率譜密度指，隨機信號的各個頻率分量所包含的功率（或稱能量）在頻域上是怎樣分布的，通常用PSD表示，單位為g2/Hz。它在頻域上分布的曲線圖稱譜圖（簡稱譜）。橫坐標為頻率，縱坐標為功率譜密度g2/Hz（稱功率譜）。
加速度譜密度 (ASD)：表示隨機信號的各個頻率分量所包含的加速度方均值在頻域上是怎樣分布的。通常用ASD表示，單位：m2/s3或是(m/s2)2/Hz。
加速度譜密度與功率譜密度換算關系：
三
計算Grms
多邊形譜
上圖中含有平直譜 (A1)，梯形譜 (A1+A3)，上升譜 (A2)，下降譜 (A3)。
1. 平值譜的計算，PSD值乘以頻率之差得到A1 的面積。
2. 上升譜面積A2計算公式
式中，功率譜密度：PSDj =0.1；初始頻率：fi =10；末端頻率：fj =100；斜率：m =3。
3. 下降譜面積A3計算公式
式中，功率譜密度：PSDi =0.1；初始頻率：fi =1000；末端頻率：fj =2000；斜率：m=6。
總面積：
上述值經過開方可以得到：
這幾個公式可以在EXCEL表中輸入，在需要用的時候只要將相關數據輸入即可直接得到。
參考資料：
鄭志國、王宇峰 2009《隨機振動中的參數介紹及計算方法》
展開 HyperWorks仿真——隨機振動理論簡介
對隨機信號來說，當時，自相關函數即為時域上的平均功率；當非常小時，和是相差很小的，當慢慢增大時，和逐漸不再相關，自相關函數快速衰減為零。
當隨機信號中具有某種周期性信號時，其自相關函數會將其識別出來，并且忽略其相位信息。
根據維納-辛欽定理，信號的自相關函數與功率譜密度是一對傅里葉變換對：
所以隨機信號的功率譜密度可以通過對其自相關函數的傅里葉變換求得。
注：這里有一個問題，前面說隨機信號不一定滿足傅里葉變換的條件，后面說對信號進行自相關處理后就可以進行傅里葉變換進而求得功率譜密度，但是對功率譜密度的定義是對隨機信號進行傅里葉變換得到的。也就是功率譜密度是對一個不一定滿足變換條件的函數進行傅里葉變換得到的。這個地方我還不是很理解。
總結一下，隨機振動的信號輸入是隨機的，不能作為振動分析的輸入，但是其分布是滿足正態分布的，可以作為隨機振動分析的輸入。為了確定隨機振動信號的分布，需要知道信號的功率譜密度，這時可以通過求隨機信號的自相關函數，對其進行傅里葉變換來得到，進而得到了隨機振動的輸入。
定義好隨機振動的輸入后，我們需要看下隨機振動的分析結果。如前面所說，隨機振動分析的輸出是按照概率分布來的。得到的應力符合正態分布。如下圖所示，求出的結果為1σ應力，表明應力值小于這個值的概率為68.27%，通常情況下會選取3σ應力作為結果，其值大于可能出現的99.73%的應力。
二、參考文獻
如何理解隨機振動的功率譜密度. J Pan. 知乎
《OptiStruct結構分析與工程應用》，劉勇，陳斌，羅峰. 機械工業出版社
文章來源：結構仿真學習
展開 基于nCodeDesignlife的電池箱疲勞壽命研究
摘要：針對電池箱對振動疲勞耐久性能的要求，結合國標中隨機振動的加速度功率譜密度函數和材料的S-N曲線，采用Miner線性累積損傷理論和Dirlik疲勞壽命計算方法，對電池箱進行隨機振動條件下的疲勞壽命分析。
關鍵詞：電池箱；疲勞壽命;隨機振動；nCodeDesignlife
路面不平度產生的隨機振動是造成電動汽車零部件發生疲勞破壞的主要因素[1]。電池箱對電池組起防護和保障安全的作用，其疲勞耐久性能對于保障車輛及乘員安全至關重要。
電池箱的疲勞壽命分析主要有時域和頻域方法。時域法采用經典的雨流循環計數統計載荷信息，容易丟失載荷數據，計算量大，工程應用不是很廣泛;頻域法從概率統計的角度統計載荷信息，采用功率譜密度（PSD）描述隨機振動載荷在各個頻率成分上的統計特性[2]，廣泛應用于航天、海工、汽車等領域。目前電池箱的疲勞壽命研究[3-5]大多致力于時域振動和定頻振動，隨機振動的疲勞壽命研究較少。本文基于頻率響應分析研究電池箱隨機振動的疲勞壽命，為電池箱的疲勞壽命分析提供一種高效的方法。
1 隨機振動疲勞壽命分析方法
本文參照電池箱振動測試的國標選取加速度功率譜密度，避免建立整車模型和提取加速度載荷譜的復雜過程。
1.1 加速度功率譜密度
隨機振動無法用確定的函數關系式表示，只能通過概率統計的方法表示。在頻域內，采用功率譜密度函數表示隨機振動在各個頻率的統計特性[6]。功率譜密度函數Sx(ω)為自相關函數R(τ)的傅里葉變換公式為：
GB/T 31467.3-2015[7]中規定電池箱隨機振動的加速度功率譜密度如圖1所示。
圖1 加速度功率譜密度
1.2 疲勞壽命計算方法
Dirlik計算方法是疲勞仿真軟件nCodeDesignlife所采用的方法。
展開 基于頻率響應的電池包隨機振動仿真
頻率響應的設置
隨機振動的設置
（1）RANDPS卡片：用于定義功率譜度的放大因子。
本例的動力電池包通過剛性工裝連接在振動試驗臺上，默認四個支撐托腳受到振動臺的激勵都相同，所以此電池包的隨機振動是一個自功率譜密度加載過程。RANDPS卡片如下圖所示。
其中：1處J（1）設置激勵的工況；2處的K（1）設置激勵的工況；由于該動力電池包為自功率譜密度加載，所以J（1）= K（1）。3和4處X（1）、Y（1）設置功率放大系數，功率放大因子由X和Y控制，如下式所示：
Sjk（F）=（X+iY）G（F）
本例采用MM-MPa-N單位制，設置時已經進行了手動轉化，故而功率譜密度放大因子X+iY=1,所以X=1，Y=0。
圖中5處的TID（1）設置功率譜密度對應的卡片。
（2）TABRAND1卡片：用于定義加速度功率譜密度。
輸入動力電池包在垂直路面方向上隨機振動加速度功率譜密度。加速度功率譜密度的輸入有三種方式：
1）定義曲線的轉折點。
2)利用EXCEL將載荷譜編制成兩列，保存為CSV格式，然后通過Utility選項卡下的TABLE Create載入。此方法適合載荷譜數據量較大的情況。
3)直接在通過上圖中的3處創建載荷譜。
（3）TABDAMP1卡片：定義模態阻尼。
阻尼對頻率響應的峰值影響很大，鑒于條件有限，本例將各階模態阻尼取為0.1；讀者也可以通過PARAM下的G_V1定義固定的結構阻尼。
展開 隨機振動分析-abaqus（附一個電池包計算案例） ￥20
目錄
一、隨機振動的定義、特點及常見場景
二、隨機振動的數學特征--正態分布
三、 隨機振動信號為什么要用功率譜密度（PSD）表達？
四、如何將時域隨機振動曲線轉換得到功率譜密度曲線
五、 隨機振動分析理論
附.常見功率譜密度曲線給出形式
附.以dB/oct形式給出的功率譜密度曲線如何計算
附.國標中定義的PSD譜總均方根加速度值是如何計算的？
六. 隨機振動分析案例-abaqus
第一步：計算結構模態，輸出位移和應力。
第二步：隨機振動分析
2.1 定義輸出頻率上下限和模態阻尼
2.2 定義PSD載荷及加載
2.3 定義輸出
2.4 隨機振動計算頭文件設置
2.5 隨機振動分析結果
2.6 隨機振動σ應力結果評價
展開 abaqus隨機響應分析
加速度的單位是：米/秒平方
加速度均方值的單位為：米平方/秒四次方，若用G，則為G平方
均方根加速度的單位：米/秒平方，若用G
加速度功率譜密度的單位：米平方/秒三次方，若用G，則為（G平方/Hz）
若對加速度功率譜密度曲線在頻域內進行積分，積分的結果就是PSD曲線下方的面積，單位為米平方/秒四次方，就是加速度均方值。其表征了振動的強度。其開方的單位為（米/秒平方）：為均方根加速度值。(對于均值，均方值，均方根值的概念，以及傅里葉變換可以參考機械工程測試基礎。)
隨機響應分析的輸入是PSD，輸出為帶前綴的“R”，RMS為均方根應力，RA為均方根加速度。還可以在歷史輸出中輸出某些SET集內節點的加速度PSD曲線和位移psd曲線。
三、 隨機響應分析實例：
1、 模型描述
2、 網格劃分及模態：
（1）、厚度方向放一層單元，使用一階單元C3D8R，1階模態的頻率為8。8691HZ。
（2）、厚度方向放一層單元，使用二階單元C3D20R，1階模態的頻率為85。512 HZ。
（3）、厚度方向放二層單元，使用一階單元C3D8R，1階模態的頻率為74。149HZ。
在第三種情況下，通過增加厚度方向的網格層數，第一階模態的頻率會接近于第二種情況的結果。在通過上面的對比可以看出，在對薄板型的結構進行模態分析時，厚度方向要多放幾層單元或者使用二階單元才能獲得比較可信的結果。
3、 分析結果：
從圖8和圖1的對比可以看出，激勵的加速度功率譜密度曲線與某節點的響應的加速度功率譜密度曲線具有相似的變化趨勢。
ABAQUS隨機響應分析.pdf
展開 模態應力、頻響應力和PSD應力
隨機激勵載荷是頻域信號表征的，通常采用功率譜密度函數（PSD）表示。隨機激勵下的響應是統計意義下描述的響應，在任何瞬時響應具體大小未知，但其大小的概率可以給出。
隨機響應分析通常是作為頻率響應分析的后處理。首先施加單位正弦激勵，得到頻響函數，然后根據用戶給定的載荷條件（形式為各載荷的自功率譜密度和互功率譜密度）。輸出為響應的功率譜密度、響應的自相關函數或響應的均方值，其中應力響應的功率譜密度我們簡稱為PSD應力。
與頻響函數一樣，響應的PSD也是以頻率為橫坐標的函數，但PSD是正的實函數，并沒有相位的概念。
一個線性系統，承受平穩隨機激勵載荷x(t)，其PSD為Sx(ω)，響應信號為y(t)，其PSD為Sy(ω)，則可按下式計算y(t)的功率譜密度，
其中H(ω)為載荷x(t)所對應的頻響函數。
如果有多個隨機載荷信號x1(t),x2(t),…,xN(t)共同作用，則
其中Sxr,xs(ω)當r≠s時，為載荷xr(t)和xs(t)的互功率譜密度函數（CPSD）；當r=s時，為載荷xr(t)的功率譜密度函數。
對于互不相關的多個載荷信號，其互功率譜密度全部為零，則
所以，只要有各載荷的頻響函數Hr(ω)，我們就可以根據激勵載荷的PSD矩陣來求得結構上各點的PSD應力。
展開 
干貨｜漫話噪聲系數
當外部電阻與被測器件的輸入阻抗匹配時，器件或系統得到的輸入噪聲功率為
通常取室溫 T=T0=290K，此時這個電阻的噪聲功率譜密度為
在此條件下，噪聲系數為
通常將上述式子中的 PNO(total)/B 作為輸出端的噪聲功率譜密度，記為 DNO，則有
改用分貝的形式，就是
2、利用噪聲指數計算系統的輸出噪聲
根據噪聲指數的定義，系統輸出端的噪聲功率譜密度為
然而值得注意的是：上述公式僅在信號源的噪聲僅為匹配的信號源內阻的熱噪聲條件下成立，或者說信 號源的噪聲功率譜密度被規定為
這個規定對于生產廠標定噪聲系數 是必須的，但在計算一個實際的射頻系統的輸出噪聲時，由于輸入系統的噪聲功率譜密度未必就是 kT0，所 以很多時候不能直接套用 14 式計算射頻系統的輸出噪聲功率，也不能直接套用 4 式計算射頻系統的輸出信 噪比。
一個噪聲指數為 NF(dB)的系統，其增益為 GP(dB)，信號源輸入的噪聲功率譜密度為 DNS(mW/Hz)，則 此系統內部噪聲在輸出端的功率譜密度為
信號源輸入的噪聲在輸出端的功率譜密度為
或者寫成分貝的形式：
3、等效噪聲溫度
在低噪聲系統中，通常用等效噪聲溫度 Te 替代噪聲系數。
展開 Ansys Workbench中進行隨機響應分析
在ANSYS中進行隨機響應分析時，可以使用PSD（功率譜密度：Power Spectral Density）激勵來模擬結構所處的隨機振動環境。PSD激勵是根據隨機振動信號的功率譜密度進行定義的。
Ansys中的PSD激勵有四種：加速度功率譜密度（PSD Acceleration）、PSD Velocity（速度功率譜密度）、PSD G Acceleration（以重力加速度表示的功率譜密度）、PSD Displacement（位移功率譜密度）。
以下以PSD G Acceleration施加為例，施加沿Y方向的基礎激勵，功率譜密度施加如下，頻率范圍需包含關注的頻率。
需注意的是，Ansys會自動判斷所輸入的PSD數據是否合理，在Graph中顯示的PSD曲線，最好是所有段均為綠色。
如果曲線中有黃色段，可在相應的地方插入分段，即可變為綠色
設置了使用頻率階數，施加PSD激勵后，即可提交分析，查看結果了。
隨機響應分析結果中，有1 Sigma、2 Sigma、3 Sigma的結果，可根據需要選擇查看。
在隨機響應分析中，1 sigma、2 sigma和3 sigma是用于描述結果的統計偏差范圍的術語。它們是標準差（Standard Deviation）的倍數，用于表示結果分布的離散程度。
1 sigma：當我們說某個結果處于1 sigma范圍內時，意味著它處于平均值附近的一個標準差范圍內。大約68%的結果位于1 sigma范圍內。
2 sigma：當我們說某個結果處于2 sigma范圍內時，意味著它處于平均值附近的兩個標準差范圍內。大約95%的結果位于2 sigma范圍內。
展開 虛擬路譜激勵的整車路躁仿真核心技術問題
CDtire 模型和構建層數原理圖
2.虛擬路譜的獲取
虛擬路譜是激勵源，需要把路面的不平度轉化為虛擬路譜進行加載。這里面一般有兩個步驟：一是獲取路面的不平度原始數據，而是通過數據處理的方法把不平度數據轉化為虛擬路譜。路面不平度的還比較好獲取了，找到一個有相關技術能力的路譜掃面供應商掃描即可。再進行轉換成路譜。拿到的原始數據一般為路面的高程數據，需要轉化為虛擬路譜，即位移的功率譜密度函數（PSD）。
NVH虛擬路譜的獲取
3.虛擬路譜分析工況的建立
整車模型有了，虛擬路譜也準備好了，但如何設定工況進行加載呢？首先，激勵數據為位移的功率譜密度函數，所以整個仿真的結果也應該是聲壓或者加速度的功率譜密度函數。其次，該分析本質上也應該是頻響分析SOL111。同時，考慮到一個輪胎上不止一個激勵點，也應該考慮不同點之間的激勵的先后順序。最后，左右輪之間的激勵的相關關系也要考慮進去。
4.仿真結果的處理和與實驗的對比
仿真的結果其實是聲壓或者加速度的功率譜密度函數，首先需要把該結果轉化為dB（A）（聲壓結果的話）或者real（加速度結果）值。這個轉化得到的結果就可以與實驗處理的結果進行曲線對比了。其次，實驗一般會有一個頻率段內的RMS有效值，仿真也應該根據結果曲線，處理得到該值，并與實驗的RMS值進行比較。
本文轉載自微信公眾號：誤入CAE的程序員
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繪制縱向加速度自功率譜密度函數曲線。
單擊Plot—FFT。
按照下圖輸入參數，并單擊Apply。
生成加速度自功率譜密度函數曲線。
為了方便觀察，創建一個新page，并將自功率譜密度曲線復制（Ctrl+C ）+粘貼（Ctrl+V）到新page。
