數(shù)值算法
關(guān)注創(chuàng)建者：易煒 創(chuàng)建時(shí)間：2017-01-14
數(shù)值算法的視頻教程
LS-DYNA巖土/采礦工程爆破數(shù)值模擬36講：FEM/SPH/DEM/PBM/LEB/流固耦合算法
課程幾乎涵蓋工程爆破行業(yè)中的所有工程問題，無論是研究生/教師做面上項(xiàng)目撰寫論文還是承接橫向課題，本課程都將涵蓋可能遇到的工程問題，如邊坡臺(tái)階爆破、隧道爆破、預(yù)裂爆破、光面爆破、掏槽爆破、立井井筒爆破、循環(huán)進(jìn)尺爆破、混凝土梁爆破、水下爆破、冰凌爆破、水耦合爆破、水壓爆破、偏心不耦合裝藥爆破、切縫定向爆破、拆除爆破、漏斗爆破、地應(yīng)力下爆破、循環(huán)爆破、卸荷開挖爆破、煤巖二氧化碳相變爆破等，并且多數(shù)視頻教程是復(fù)現(xiàn)
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預(yù)制破片對(duì)屏蔽炸藥的沖擊起爆數(shù)值模擬（lagrange算法）
一、計(jì)算模型 采用EOS_IGNITION_AND_GROWTH_OF_REACTION_IN_HE描述炸藥的沖擊起爆，炸藥采用lagrange算法 二、計(jì)算結(jié)果 結(jié)果表明屏蔽炸藥在預(yù)制破片初速為1000m/s初速撞擊下發(fā)生起爆
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預(yù)制破片對(duì)屏蔽炸藥的沖擊起爆數(shù)值模擬（ALE算法）
一、計(jì)算模型 二、計(jì)算結(jié)果 屏蔽板在炸藥的沖擊起爆作用下發(fā)生向上凸起毀傷，炸藥網(wǎng)格不動(dòng)，物質(zhì)在網(wǎng)格內(nèi)流動(dòng)，與炸藥采用lagrange算法相比較，不會(huì)出現(xiàn)網(wǎng)格畸變中斷計(jì)算的現(xiàn)象
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數(shù)值算法的實(shí)例教程
求得系數(shù)矩陣A的不完備的下三角矩陣L后，
令
再采用預(yù)處理共軛梯度法的具體算法獲得最終解。當(dāng)然，由于L是下三角矩陣，因此預(yù)處理方程一般通過兩次“回代”（參考本公眾號(hào)文章[數(shù)值算法與編程]高斯消去法的回代部分）即可求解。
以之前的文章共軛梯度法中的原始方程求解為例，采用不完備Cholesky分解預(yù)處理求解如下：
僅需3次迭代，即獲得收斂解，而原來的常規(guī)共軛梯度法需要9次迭代。并且，matlab計(jì)算結(jié)果如下：
通過對(duì)比不難看出，雖然僅僅是3次迭代，但是已經(jīng)具備較高的求解精度。
在實(shí)際開發(fā)中，共軛梯度法還有較多的發(fā)揮空間，比如，比如，知名有限元大師Thomas J.R. Hughes在1983年創(chuàng)立了一種基于共軛梯度法的element by element算法，這種方法不需要組裝整體剛度矩陣，而是通過逐個(gè)單元進(jìn)行求解，求解效率很高，且由于不需要組裝整體剛度矩陣，計(jì)算過程中的內(nèi)存需求顯著減少，并且免去了常規(guī)的采用稀疏矩陣存儲(chǔ)有限元?jiǎng)偠染仃嚨慕M裝過程，實(shí)際上，相較于常規(guī)的矩陣，對(duì)于CSR，CSC等格式的有限元整體剛度稀疏矩陣組裝，并不是一件十分容易的事情。以上，就是共軛梯度法（二）之預(yù)處理共軛梯度法的全部內(nèi)容，感謝您的閱讀！
【完】
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參考文獻(xiàn)：
【1】《矩陣計(jì)算》，Gene H Golub，Charles F.
展開 在之前的文章[數(shù)值算法與編程]高斯消去法中，我們討論的高斯消去法就是直接法的一種。而本文即將討論的共軛梯度法，是迭代法的一種，并且，其屬于目前求解對(duì)稱線性方程組的主要迭代方法。各大商業(yè)有限元軟件，在面臨對(duì)稱線性方程組的求解時(shí)幾乎都會(huì)選用各種變化形式的共軛梯度法進(jìn)行求解。
共軛梯度法的具體原理和算法如下：
假定要求解的對(duì)稱線性方程組是：
其中，A是對(duì)稱正定的系數(shù)矩陣。
則實(shí)際上待求的解也是方程
取得最小值的時(shí)候的解。
求該方程的最小值的常見方法是最速下降法，該方法算法偽代碼如下：
該方法實(shí)際上是沿著負(fù)梯度方向進(jìn)行搜索，直至殘量接近0，較為簡(jiǎn)便，但是在條件數(shù)很大時(shí)，該方法收斂很慢。
展開 【中心差分法】由于中心差分法所需要的時(shí)間步長比較短，實(shí)質(zhì)上會(huì)讓該算法的譜半徑的模長等于1，也就是該算法并不能調(diào)整數(shù)值阻尼。
在之前的文章[數(shù)值算法與編程]高斯消去法 中，本公眾號(hào)編寫了高斯消去法求解線性方程組的具體代碼。其具體算法如下：
（1）消元部分
（2）回代部分
很明顯，對(duì)于某些矩陣，使用上述算法可能會(huì)出現(xiàn)a(i,i)為0的情況，而一旦出現(xiàn)這種情況，該算法實(shí)際上就無法繼續(xù)進(jìn)行求解。
以以下方程組為例：
上述方程組的系數(shù)矩陣為：
第一次消元后，系數(shù)矩陣變?yōu)? 顯然，由于A1(2,2)=0，下一次消元已經(jīng)無法進(jìn)行，因此直接采用高斯消去法對(duì)該方程組是無法進(jìn)行求解的。
針對(duì)該問題，改進(jìn)的算法叫選主元高斯消去法。
具體步驟如下：
1.設(shè)置增廣矩陣AB=[A,B]
2.對(duì)增廣矩陣的第i（i=1~N-1）列進(jìn)行以下處理：
2.1 設(shè)amax=ABS(AB(i,i))，IDmax=i
2.2對(duì)第i列的對(duì)角線以下的元素進(jìn)行遍歷，如果有元素的絕對(duì)值大于對(duì)角線元素的絕對(duì)值（amax），則獲得該元素所在行并將其行數(shù)賦值給IDMAX，并將AB矩陣中該行（即IDMAX行）與第K行進(jìn)行元素交換。
對(duì)變換后的矩陣按照普通的高斯消去法進(jìn)行求解。
展開 二、數(shù)值算法簡(jiǎn)介
PD理論很難求得解析解，所以求解PD基本都是用數(shù)值算法。目前求解PD的數(shù)值算法可以分為兩類，即顯示算法和隱式算法。此外，結(jié)合離散方式的不同，求解PD的數(shù)值算法可以進(jìn)行如下的劃分。
（1）無網(wǎng)格方法或離散粒子法
該種方法是Silling博士于2005年發(fā)表的一篇文章中提出的方法。該種方法將連續(xù)的物體離散為許多規(guī)則的有體積的質(zhì)量塊，每一個(gè)質(zhì)量塊都將質(zhì)量集中到小塊體積的幾何中心處，那么待求解的結(jié)構(gòu)就被離散為粒子系統(tǒng)，近場(chǎng)域的積分項(xiàng)自然而然地離散為求和的形式。當(dāng)完成離散后，就可選擇是用顯示方法進(jìn)行求解還是隱式方法進(jìn)行求解。
對(duì)于動(dòng)力學(xué)問題，常用的顯示方法是中心差分法，而對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)問題，則一般使用自適應(yīng)動(dòng)力松弛法。自適應(yīng)動(dòng)力松弛法是Madenci教授于2010年發(fā)表的一篇文章中正式推廣的一種依然采用中心差分格式的方法。
對(duì)于動(dòng)力學(xué)問題，常用的隱式方法是Newmark法，而對(duì)于準(zhǔn)靜態(tài)問題，隱式方法的核心思想則是牛頓迭代法，該方法最核心的地方在于如何求解切線剛度矩陣。總的來說剛度矩陣的獲得有解析法和計(jì)算法兩種。解析法可以參考Silling博士2010年發(fā)表的論文，里面提出了模量態(tài)的概念，但由于解析法普適性沒有計(jì)算法好，所以大多數(shù)支持無網(wǎng)格隱式求解的開源軟件都采用計(jì)算法。計(jì)算法的思想是給一個(gè)非常小的擾動(dòng)位移，然后用中心差分或向前差分或向后差分代替求導(dǎo)數(shù)，從而得到切線剛度矩陣。
支持離散粒子法的開源軟件有Peridgm、LAMMPS等，非開源的有Silling本人開發(fā)的EMU。
（2）有限單元法
有限單元這個(gè)詞可以形容一種理論模型，但其本身也是一種求解偏微分方程的數(shù)值方法。PD理論的平衡方程不是偏微分方程而是積分方程，所以在PD理論最開始時(shí)幾乎沒人用這種數(shù)值方法求解。
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數(shù)值算法的相關(guān)專題、標(biāo)簽、搜索
數(shù)值算法的最新內(nèi)容
代碼層面
OpenRadioss在開發(fā)之時(shí)，內(nèi)部的一些數(shù)組和進(jìn)程數(shù)有著固定的限制，文件讀寫接口、數(shù)值方法、接觸算法、循環(huán)與判斷語句、優(yōu)化算法等均與進(jìn)程數(shù)強(qiáng)綁定。由于這些限制，需要完整找出限制并行擴(kuò)展的代碼并進(jìn)行修改，這一工作難度很大。
2.
</strong>值得強(qiáng)調(diào)的是，由于仍沿用原有數(shù)值算法進(jìn)行迭代，<strong style="color: rgb(5, 76, 143);">求解穩(wěn)定性和結(jié)果精度與未引入AI時(shí)保持一致</strong>，用戶無需擔(dān)心理論可靠性受到影響。
Ansys Zemax｜探索OS中的物理光學(xué)傳播4個(gè)月前
OpticStudio在計(jì)算時(shí)會(huì)自動(dòng)選擇數(shù)值精度最高的算法。衍射算法在任意光束性質(zhì)、任意傳播距離或任意的表面孔徑包括用戶自定義孔徑，都能得到正確的分析結(jié)果。
POP分析通常應(yīng)用于計(jì)算光纖耦合（單模和多模）效率、計(jì)算任意類型光學(xué)空間中的衍射傳播、計(jì)算引入像差后的最佳束腰位置偏移、計(jì)算在光學(xué)表面上的光通量和照度等。
</span></p><p><span style="color: rgb(0, 0, 0);">重點(diǎn)是AI快速發(fā)展的當(dāng)下，不少軟件都打出了AI賦能的噱頭，具體問AI賦能了什么，又都說不清楚，最基礎(chǔ)的求解器目前仍然需要依賴穩(wěn)定精準(zhǔn)的數(shù)值算法。可以說無論AI如何發(fā)展，數(shù)值求解器仍然是不可替代的，甚至求解器自身就是AI工具的基礎(chǔ)。
SimSolid 運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)值算法，快速評(píng)估螺栓強(qiáng)度是否滿足設(shè)計(jì)要求，幫助工程師發(fā)現(xiàn)鋼節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)中的潛在失效位置。下面以典型的鋼牛腿螺接節(jié)點(diǎn)，說明 SimSolid 在螺栓強(qiáng)度分析中的應(yīng)用，計(jì)算參數(shù)及三維結(jié)構(gòu)如下圖2所示。
圖2 設(shè)計(jì)參數(shù)及三維圖
? 3.2.1 模型設(shè)置
①螺栓連接：將幾何模型導(dǎo)入軟件后，自動(dòng)識(shí)別出螺栓，包括螺母、墊片，如圖3.1所示。
[VirtualLab] 幾何傅里葉變換7個(gè)月前
總之，當(dāng)幾何傅立葉變換足夠精確時(shí)，由此產(chǎn)生的數(shù)值算法能夠?qū)崿F(xiàn)非常快速的傅里葉變換，對(duì)于強(qiáng)波前相位來說就是這種情況。
對(duì)于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數(shù)值上對(duì)于非常弱的波前相位有效的常規(guī)FFT，我們獲得了一個(gè)強(qiáng)大的三元組來處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。
代碼層面
OpenRadioss在開發(fā)之時(shí)，內(nèi)部的一些數(shù)組和進(jìn)程數(shù)有著固定的限制，文件讀寫接口、數(shù)值方法、接觸算法、循環(huán)與判斷語句、優(yōu)化算法等均與進(jìn)程數(shù)強(qiáng)綁定。由于這些限制，需要完整找出限制并行擴(kuò)展的代碼并進(jìn)行修改，這一工作難度很大。
2.
SimSolid 運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)值算法，快速評(píng)估螺栓強(qiáng)度是否滿足設(shè)計(jì)要求，幫助工程師發(fā)現(xiàn)鋼節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)中的潛在失效位置。下面以典型的鋼牛腿螺接節(jié)點(diǎn)，說明 SimSolid 在螺栓強(qiáng)度分析中的應(yīng)用，計(jì)算參數(shù)及三維結(jié)構(gòu)如下圖2所示。
幾何傅里葉變換8個(gè)月前
總之，當(dāng)幾何傅立葉變換足夠精確時(shí)，由此產(chǎn)生的數(shù)值算法能夠?qū)崿F(xiàn)非常快速的傅里葉變換，對(duì)于強(qiáng)波前相位來說就是這種情況。
對(duì)于較弱的波前相位，半解析傅里葉變換也適用而快速[1]。連同數(shù)值上對(duì)于非常弱的波前相位有效的常規(guī)FFT，我們獲得了一個(gè)強(qiáng)大的三元組來處理所有相關(guān)傅里葉變換的情況。
我們要認(rèn)識(shí)到，各種數(shù)值算法和數(shù)值模型目前在這一領(lǐng)域還無法提供物理上100%完全可靠的結(jié)果。我們還需要進(jìn)一步致力于客觀描述并盡量消除數(shù)值仿真在結(jié)果上的不足支出以盡可能獲得可靠的模擬結(jié)果。積鼎科技正在基于目前已相對(duì)確定的流動(dòng)機(jī)理對(duì)數(shù)值仿真開發(fā)策略做更宏大的展望，始終致力于建立完善更穩(wěn)健和更準(zhǔn)確的數(shù)值仿真方法并推廣，目標(biāo)超越目前微流體部件設(shè)計(jì)的經(jīng)驗(yàn)主義范式。
