近場動力學入門（1）

一、PD簡介

       近場動力學（PD）是2000年Silling博士提出的一種非局部力學理論模型。該理論模型區別于連續介質力學模型，假設物質點之間非連續并以長程力相互作用。Silling博士先后提出鍵型本構模型、常規態型本構模型及非常規態型本構模型等。之后又有研究者相繼提出適用于塑性、粘彈性以及粘塑性情況的PD本構模型。

二、數值算法簡介

       PD理論很難求得解析解，所以求解PD基本都是用數值算法。目前求解PD的數值算法可以分為兩類，即顯示算法和隱式算法。此外，結合離散方式的不同，求解PD的數值算法可以進行如下的劃分。

（1）無網格方法或離散粒子法

       該種方法是Silling博士于2005年發表的一篇文章中提出的方法。該種方法將連續的物體離散為許多規則的有體積的質量塊，每一個質量塊都將質量集中到小塊體積的幾何中心處，那么待求解的結構就被離散為粒子系統，近場域的積分項自然而然地離散為求和的形式。當完成離散后，就可選擇是用顯示方法進行求解還是隱式方法進行求解。

       對于動力學問題，常用的顯示方法是中心差分法，而對于準靜態問題，則一般使用自適應動力松弛法。自適應動力松弛法是Madenci教授于2010年發表的一篇文章中正式推廣的一種依然采用中心差分格式的方法。

       對于動力學問題，常用的隱式方法是Newmark法，而對于準靜態問題，隱式方法的核心思想則是牛頓迭代法，該方法最核心的地方在于如何求解切線剛度矩陣?？偟膩碚f剛度矩陣的獲得有解析法和計算法兩種。解析法可以參考Silling博士2010年發表的論文，里面提出了模量態的概念，但由于解析法普適性沒有計算法好，所以大多數支持無網格隱式求解的開源軟件都采用計算法。計算法的思想是給一個非常小的擾動位移，然后用中心差分或向前差分或向后差分代替求導數，從而得到切線剛度矩陣。

       支持離散粒子法的開源軟件有Peridgm、LAMMPS等，非開源的有Silling本人開發的EMU。

（2）有限單元法

       有限單元這個詞可以形容一種理論模型，但其本身也是一種求解偏微分方程的數值方法。PD理論的平衡方程不是偏微分方程而是積分方程，所以在PD理論最開始時幾乎沒人用這種數值方法求解。之后陸續有人使用，后逐步有研究者研究針對態型本構的有限元離散過程，這使得該類方法被使用的場景越來越多。以鍵基本構為例，有限元離散過程將“鍵”看作桿單元或梁單元，之后，若使用隱式求解方法則可借鑒有限元剛度矩陣的組裝過程來獲得所需的剛度矩陣。隨著，2011年MaxGunzburger教授將不連續伽遼金元應用于PD模型求解不連續問題，即為使用有限單元執行PD模擬斷裂指明了道路。

       基于不連續伽遼金元的有限元商用軟件有LS-DYNA。

三、本程序包簡介

       該文件將《近場動力學入門程序——桿，兩種求解器（顯示求解和隱式求解），幫助快速入門》和《近場動力學入門程序——板，兩種求解器（顯示求解和隱式求解），幫助快速入門》兩個文件進行了混合。兩個算例都采用PM本構模型以及無網格離散方式，且都分別使用了顯式求解器和隱式求解器求解。所有程序均采用matlab編寫，可直接運行。更為詳細的說明可參看文件夾中的word文件。

       所有的程序都經過作者用心的編寫特別是隱式求解器，對初學者可以說干貨滿滿，對有基礎的研究者也有借鑒之處。