自由度的案例
振動理論-單自由度、二自由度及多自由度
單自由度系統 4
1.4.1. 單自由度系統的測試/辨識 6
1.4.2. 單自由系統的頻響特性 7
1.4.3. 隔振原理 8
1.5. 多自由度模型建立 11
1.5.1. 狀態空間方程 11
1.5.2. 二自由度算例 12
1.5.3. 六自由度模型 16
無線自由：探索AGV無線充電技術的自由度優勢
隨之而來的AGV無線充電技術，更是展現了技術的自由度與創新，極大地提升了自動化系統的整體性能。
借助無線充電的優勢，AGV越來越能在無需人工干預的情況下維持其連續的工作狀態。傳統充電方法中，AGV必須精確對接到充電站，這不僅對定位系統的精準度要求極高，而且難以避免機械磨損與電氣接觸不良帶來的問題。轉向無線充電，AGV便能在不受約束的環境下自由移動，大大縮短了停機時間，提高了整體運作效率。
不同于傳統充電需要的直接接觸，無線充電技術通過發射端與接收端的相互作用，在不接觸的情況下進行能量傳遞。除了提高充電的靈活性和自由度外，這一變化更是增強了操作的安全性。在易燃易爆的環境中，接觸式充電有可能引發電火花，存在安全隱患。采用無線充電技術，則形成了一個更安全、無電火花產生的充電環境。物理觸點的消除還有效避免了電流泄漏等風險。
設計無線充電系統時，工作距離的設定是實現自由度的關鍵。選擇過遠的工作距離固然能提供更大的空間自由度，但同時也會令設備變得龐大且昂貴。在“夠用即好”的設計原則下，結合AGV的實際需求開發的無線充電方案將優化性價比，提供更為經濟高效的解決方案。
魯渝能源AGV無線充電系統，利用磁場耦合諧振原理，已實現了±10cm的偏移自由度，這一點相信可以滿足所有機器人。此外，該系統即便在超出極限工作距離時仍能保持充電功能，雖然效率稍有降低，但仍不間斷為設備供能，保障連貫性。
魯渝能源無線充電技術自由度的設定，不局限于Z軸的垂直距離，同樣考慮到了X軸（水平）和Y軸（垂直地面）的位移偏差。AGV在接近充電區域時，無需過于精確地調整位置，就可以輕松完成充電。
展開 SACS學習筆記—保留自由度
SACS使用用戶指定的主自由度（保留自由度）以擴展特征值（自振周期）及特征向量（振型）。所有與從自由度（縮減自由度）相關聯的剛度及質量屬性都會在特征值擴展過程中被包括。剛度矩陣使用標準矩陣縮減方法被縮減為主自由度。質量矩陣使用Guyan縮聚法縮減為主自由度，假定剛度與質量的分布方式相同。所有非慣性（無質量）自由度必須為從自由度。當使用主自由度進行模態擴展之后，結構中的所有節點將會被擴展為包含6個自由度。擴展后的模態被用于后續的動力響應分析中。
被保留用于擴展目的所有節點的自由度，X，Y，Z平移自由度及旋轉自由度，必須在模型中被指定。在JOINT輸入行的合適位置被指定為2則表明該節點的自由度被保留。指定為0或保持空白則表明該自由度為從自由度將會被縮減。例如保留X與Z方向的平移自由度則在JOINT的55-57列指定為202或2 2。
注意：55,56,57分別關于x,y,z方向的平移自由度，58，59，60則是分別關于x，y，z方向的旋轉自由度。
支持自由度不需要為動力分析而進行特別模型處理。
注意：為特殊的DOF指定自由度為2或0，不會對靜力分析產生影響。
在動力分析過程中，為精確的模擬沿單元長度一定距離的集中質量效應，最好在該位置包含一個節點。因此，如果由于集中質量產生的局部模態對于分析很重要的話，則在該位置應當包含一個保留自由度的節點。
展開 SACS學習筆記—保留自由度
SACS使用用戶指定的主自由度（保留自由度）以擴展特征值（自振周期）及特征向量（振型）。所有與從自由度（縮減自由度）相關聯的剛度及質量屬性都會在特征值擴展過程中被包括。剛度矩陣使用標準矩陣縮減方法被縮減為主自由度。質量矩陣使用Guyan縮聚法縮減為主自由度，假定剛度與質量的分布方式相同。所有非慣性（無質量）自由度必須為從自由度。當使用主自由度進行模態擴展之后，結構中的所有節點將會被擴展為包含6個自由度。擴展后的模態被用于后續的動力響應分析中。
被保留用于擴展目的所有節點的自由度，X，Y，Z平移自由度及旋轉自由度，必須在模型中被指定。在JOINT輸入行的合適位置被指定為2則表明該節點的自由度被保留。指定為0或保持空白則表明該自由度為從自由度將會被縮減。例如保留X與Z方向的平移自由度則在JOINT的55-57列指定為202或2 2。
注意：55,56,57分別關于x,y,z方向的平移自由度，58，59，60則是分別關于x，y，z方向的旋轉自由度。
支持自由度不需要為動力分析而進行特別模型處理。
注意：為特殊的DOF指定自由度為2或0，不會對靜力分析產生影響。
在動力分析過程中，為精確的模擬沿單元長度一定距離的集中質量效應，最好在該位置包含一個節點。因此，如果由于集中質量產生的局部模態對于分析很重要的話，則在該位置應當包含一個保留自由度的節點。
展開 
淺析有限元分析中自由度的概念
有限元分析中，自由度（Degree of Freedom，簡稱DOF）是指系統中可以獨立變化的參數或變量的數量。在有限元分析中，一個自由度通常對應一個未知數，例如位移、轉角、應力等。系統的總自由度數量等于所有節點的自由度數量之和。
自由度的數量取決于問題的性質以及所采用的有限元模型。一般來說，結構分析中每個節點通常有多個自由度，包括各個方向上的位移自由度（如x、y、z方向上的位移）、轉角自由度等。在二維問題中，每個節點通常有兩個位移自由度（x和y方向），而在三維問題中則有三個位移自由度（x、y、z方向）。
一個連續體實際上有無窮多個自由度，有限元分析時將連續的無窮多個自由度問題離散成為離散的有限多個自由度的問題，此時，結構的自由度也就有限了。
在建立有限元模型時，需要正確地確定和分配每個節點的自由度，以確保模型能夠準確地描述問題的行為。通過在模型中引入適當數量的自由度，可以更準確地捕捉結構的變形和響應情況，從而進行有效的分析和計算。
2-D薄殼和1-D梁單元都支持6個自由度，但所有實體單元都只有3個平動自由度（無轉動自由度）。例如一個10節點四面體單元總共有10 x 3 = 30個自由度。
為什么實體單元只有3個平動自由度而無轉動自由度（物理解釋）？
考慮一張紙片（2-D幾何）或者一把長的鐵尺（1-D幾何）。他們容易被彎曲和扭轉（轉動自由度）。但是如果是除塵刷或者壓紙之類的實體。他們通常不會承受很大的彎曲或扭轉。因此，實體單元只有3個平動自由度而無轉動自由度。
補充：
空間中的質點有三個自由度。這是因為在三維空間中，質點可以沿著三個彼此垂直的坐標軸（通常是x、y和z軸）移動。
空間中的剛體有六個自由度。
展開 ADAMS自由度以及冗余約束的分析
一個系統通常是由多個構建組成的，各個構件之間的這種約束通常存在某些約束關系，即一個構件限制另一個構件的運動，兩個構件之間的這種約束關系，通常稱為運動副或者鉸鏈，ADAMS中運動副分為低副、高副和基本副[1] [2]，這些運動副對構件的自由度進行約束，ADAMS為每個約束列出一個或多個代數約束方程，在實際中,存在著大量的機構由于人為的帶入虛約束而導致過約束的情況[3]，有時需要通過引入虛約束來增加系統的剛度[4]，在定義運動副過程中，往往會出現過約束及冗余約束的情況，文獻[5]分析了過約束問題，文獻[6]對凸輪機構的冗余情況進行了分析，用一個點線副和一個平行副的組合來代替滑移副來解決冗余約束，但是沒有分析具體方法。
并聯機構具有高精度、高剛度、承載能力大和運動反解簡單等特點, 成為機器人學者的研究熱點[7] ,自由度小于6 的少自由度并聯機構, 因其驅動部件少、結構簡單、控制成本低等特點, 一直是國際學術界關注的熱點和研究的前沿[8-14]，交叉型平面二自由度并聯機構屬于少自由并聯機構家族中的一種。本文對運用基本運動副代替低副約束剛體的自由度，同時不出現冗余約束，進行了詳細的分析，總結了避免出現冗余約束的技巧，最后以交叉型平面二自由度并聯機械手為對象，運用上述方法和技巧，詳細介紹了在ADAMS中建立其運動學和動力學仿真模型的具體方法和步驟，為樣機開發和實時控制系統的研究提供重要的參考。
2 運用基本運動副約束物體自由度
2.1 運動副的約束關系
一個構件在空間中具有6個自由度，即3個轉動自由度和3個移動自由度。
展開 為什么最好的機械臂是7個自由度而不是6個？
同樣地，一個6自由度的機械手，即使某兩組構型對應的末端機構的三維位置相同，機械手在從一個構型移動到另一個構型的時候無法保持末端機構始終不動。
如果有人在電視里看過工業機器人焊東西的話，就會發現它在同一個位置焊接的時候，一會兒整個扭到這邊，一會兒整個扭到那邊，看起來非常酷炫的樣子。
事實上這么做只是因為，雖然焊接只是想改變末端機構的朝向，而不改變末端機構的位置，但是由于定理的限制，它必須要往后退一些，然后各種扭，才能保證在移動末端機構的朝向的過程中不會撞到東西，因為移動的時候末端機構的三維位置一定會亂動。如果它能夠隨便轉一點點就可以達到目的，還費那個力氣酷炫地整體都轉起來干啥……
而多了一個自由度以后就不一樣了。
想想開門時擰鑰匙的動作，這個情況下是人胳膊的末端機構（手）的三維位置沒有變（始終在鑰匙孔前），但是末端機構（手）的三維旋轉變了（轉動了鑰匙）。人能夠實現這個簡單的動作，就是因為我們的胳膊有7個自由度。
說到這里，看官可能會看出來了，哎我懂了，我的末端機構有6個自由度（三維位置，三維旋轉），而胳膊作為一個機械手，有7個自由度，這兩個自由度好像說的不是一回事，但是數量上7-6=1，所以這1個自由度我能拿來擰鑰匙。
如果上帝把我們的胳膊設計成6個自由度的話，人擰鑰匙的動作一定會非常浮夸。大家可以在擰鑰匙的時候不要轉手腕，感受一下。
那么為什么不再多給我們一些自由度呢？
因為自由度越多，機械手剛性越差。如果我們的胳膊有8個自由度，那么受傷的概率會更加很多。雖然沒有什么生物學研究證明這一點（世界上沒有8個自由度的生物軀體），但是機器人的研究是可以證明這個問題的。
展開 【JY】基于Matlab的(單)多自由度動力學代碼分享
寫在前文
多自由度分析是現代工程和科學研究中不可或缺的一部分。它涉及到對復雜系統的動力學行為進行精確描述和預測。分享下多自由度的源代碼，僅供學習。該程序適用于單自由度或多自由度計算分析~
相關閱讀：
【JY】代碼|極簡反應譜分析
【JY】基于Matlab的雙線性滯回代碼編寫教程
【JY】動力學利器 —— JYdyn函數包分享與體驗
代碼詳解
步驟一：
構建質量矩陣以及剛度矩陣
步驟二：
構建 阻尼矩陣
如果為單自由度計算，則采用常規計算得到阻尼，若為多自由度計算則采用瑞利阻尼進行計算。
步驟三：
構建 荷載矩陣
步驟四：
采用Newmark-β法進行計算
步驟五：
進行數據整理
步驟六：
結果展示
運行代碼可得到相關結果：包括選取樓層的 絕對加速度、速度、位移，以及振型。
代碼驗證
采用SAP2000進行建模對比，對比結果如下（將代碼結果做1~10個單位的偏移，否則數據重疊看不出）：
小結
1、該代碼可根據科研需求進行改造相關的 M、C、K、F矩陣，進行求解。已適用于結構風工程、地震工程、沖擊動力學等。
2、改代碼可從迭代方式進行實時對相關矩陣重新組裝，實現非線性分析，如對K做實時更新，可得到位移型滯回的非線性分析結果，對M做實時更新可得到結構的動態質量隨時間或者上一步響應的變化。
3、由于該代碼架構比較簡單，適合于小體量的結構矩陣，若需要更大體量的結構計算，仍需要引入Jydyn函數庫。
【JY】動力學利器 —— JYdyn函數包分享與體驗
完
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展開 石化控制室抗爆設計——多自由度動力彈塑性分析(簡支梁)
在上一篇文章《石化控制室抗爆設計——動力分析方法概況》中，我們介紹了三種動力分析的方法，分別是：等效靜力法、單自由度體系動力分析、有限元方法。
目前較常用的是方法二：基于單自由度體系的圖解法。該方法的局限性也比較強，只能用于那些能簡化為單自由度的構件或結構、不能考慮構件之間的耦合效應、不能得到構件反力時程、質量/剛度傳遞系數為近似值、不能考慮二階效應、抗力函數必須是理想彈塑性等。
在《Design of Blast Resistant Buildings in Petrochemical Facilities 》這本書中，作者將有限元方法看作是一種高級方法，可以避免以上單自由度方法的缺點。
接下來，我們看下在RFEM5中如何實現多自由度體系的動力彈塑性分析。為了與單自由度體系圖解法的結果形成對比，本篇文章先進行一個簡支梁的動力彈塑性分析，下一篇文章再對一個框架進行分析。
展開 【iSolver案例】單自由度振動隱式動力學
單自由度(SDOF)振動是我們接觸結構動力學的第一部分內容，是結構類專業從靜力學分析到動力學分析不可跨越的部分。由于存在解析解，受簡諧荷載作用的單自由度體系，可以用來檢驗動力分析算法和軟件的精度。
以下分別使用解析解和abaqus求解器檢驗iSolver軟件隱式動力分析的精度。
（1）有限元模型
建立如下所示的只包含1個桁架單元的有限元模型，桁架單元長度為25mm。材料參數設置：彈性模量為12337.0055，密度1.0，截面積1.0。左側約束x、y、z三個方向平動自由度，右側約束y、z兩個方向平動自由度。
在這樣的簡支約束下，該結構只有一個水平方向的動力自由度。根據力學原理，可以簡化成下面所示的計算模型。
在右側節點上施加水平方向的簡諧荷載p(t)=p0*sin(w*t),式中p0為簡諧荷載賦值，w為簡諧荷載的頻率。荷載幅值p0=1，5s內的時程曲線如下所示
（2）解析解求解
（3）結果對比
我們計算5s內的時程反應，將解析解、abaqus解、iSolver解相互對比，相互驗證。
位移時程
速度時程
加速度時程
由時程圖可知，位移的解析解、abaqus解、iSolver解幾乎完全重合；速度和加速abaqus和iSolver解幾乎完全重合，但是二者于解析解在峰值處存在極小的差距，這部分差距是數值計算引入的人工阻尼，但完于可以接受的范圍。
展開 『分享』二自由度碰撞振動系統的隨機響應
用擬不可積哈密頓系統隨機平均法研究了二自由度碰撞振動系統的隨機響應。先將二自由度隨機激勵的
碰撞振動系統表示成隨機激勵的耗散的哈密頓系統形式, 然后用擬不可積哈密頓系統的隨機平均法得到了以系統
哈密頓函數為基本變量的一維Ito
d
隨機微分方程, 最后用數值方法求解與該方程相應的穩態FPK 方程, 得到系統
響應的平穩概率密度。兩個算例的結果與數字模擬結果的比較表明了隨機平均法在二自由度碰撞振動系統的隨機
響應分析中的有效性。
二自由度碰撞振動系統的隨機響應.pdf
shell和solid自由度耦合的例子
上圖為不設置的情況，6自由度的shell結點位于shell的midsurface上，未能和top/bottom上的solid結點相耦合，此時軟件能生成.dat文件，但計算時出錯，模型在各種計算模式下均不收斂。這也是我們大家經常遇見的錯誤。下圖則為耦合完成后的結點樣式，shell結點分離為兩個3自由度結點，從而與solid結點耦合。當自由度設置正確時，一切計算均正常。
最后附上一個用shell和solid耦合模擬的鋼管范例，約束的加法見命令流，一點個人成果僅供大家討論，參考。
pipe=shell+solid.rar
基于遺傳算法的現行兩自由度隔振器的瞬態最優設計
基于遺傳算法的線性兩自由度隔振器的瞬態最優設計
韋凌云 趙玫
上海交通大學振動沖擊噪聲國家重點實驗室 廣西大學計算機信息與工程學院
摘要: 線性兩自由度隔振器的瞬態最優設計問題是一類很難求解的非線性規劃問題。本文提出一個簡單實用的小生境混合遺傳算法，避開繁瑣的動力靈敏度分析，有效地進行隔振器的瞬態優化設計，一個方針算例驗證了算法的有效性和可行性。
關鍵詞：遺傳算法，隔振器，瞬態優化
內容簡介：
0 引言
1 線性兩自由度隔振器的優化設計模型
2 小生境混合遺傳算法
3 數值仿真與分析
4 結語
基于遺傳算法的線性兩自由度隔振器的瞬態最優設計.pdf
展開 一種三自由度并聯機器人的運動學分析
摘要 提出了一種具有混合分支的三平移并聯機器人機構,采用螺旋理論分析了這種機構實現空
間三維移動的機構學原理及其自由度,給出了其位置、速度的正反解和加速度分析的方法;在大型機械
動態分析軟件ADAMS 上建立了仿真模型,驗證了自由度分析的正確性。這種機構部分解耦,控制簡單,
具有較好的應用前景。
一種三自由度并聯機器人的運動學分析.pdf
三自由度機械臂運動學分析+仿真 ￥40
具體程序編制如下：
Clear %情況matlab軟件的數據緩存，避免影響本次運行
Clc %清空運行窗口的數據
L(1) = Link( 'd', 0, 'a' , 0.292 , 'alpha', pi/2 ,'offset',0);
L(2) = Link( 'd', 0 , 'a' ,0 , 'alpha', pi/2, 'offset',pi/2);
L(3) = Link( 'd', 0.328, 'a' , 0 , 'alpha',0 ,'offset',0);%
robot = SerialLink(L, 'name' , '機械臂'); %建立三自由度模型
robot.teach; %畫出模型并進行調控
robot.display(); %顯示建立的機器人的DH參數
運行上述程序，即可得到機器人模型如圖 3-3
圖 33機器臂模型
運動空間分析
依據機器人三個自由度的運動范圍，采用三自由度機器人模型進行計算。
展開 