拉普拉斯方程的案例
泊松方程和拉普拉斯方程
靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程 在SI制中，靜磁場滿足的方程為
式中為傳導電流密度第一式表明靜磁場可引入磁矢勢A描述：
在各向同性、線性、均勻的磁媒質中，傳導電流密度[134-1]0的區域里，磁矢勢滿足的方程為
選用庫侖規范，·A=0，則得磁矢勢A滿足泊松方程
式中純數 為媒質的相對磁導率， 真空磁導率 =1.257×10(亨／米。在傳導電流密度=0的區域里,上式簡化為拉普拉斯方程
靜磁場的泊松方程和拉普拉斯方程是矢量方程，它的三個直角分量滿足的方程與靜電勢滿足的方程有相同的形式。對比靜電勢的解，可得矢勢方程的解。
展開 《數學物理方程的MATLAB解法與可視化》
目錄
第1章函數圖形
1.1復變函數圖形
1.2特殊函數圖形
1.2.1r數
1.2.2勒讓德函數
1.2.3貝塞爾函數
1.3用MAPLE指令計算特殊函數
第2章傅里葉級數與傅里葉變換
2.1傅里葉級數、傅里葉積分與離散傅里葉變換
2.2傅里葉變換的例題
2.3廣義傅里葉級數
2.3.1勒讓德函數的母函數
2.3.2貝塞爾函數的母函數
2.3.3平面波展開為球面波的疊加
2.3.4平面波展開為柱面波的疊加
第3章本征值函數系與本征振動
3，1一維本征值問題
3.1.1種常見的本征函數系
3.1.2本征函數系的圖像及其運動圖像
3.2維本征值問題
3.2.1矩形區域的本征模與本征振動
3.2.2圓形區域的本征模與本征振動
3.2.3球函數的圖形
第4章拉普拉斯方程與泊松方程
4.1維拉普拉斯方程
4.1.1矩形區域的拉普拉斯方程
4.1.2陽光照射的圓柱
4.1.3與大地之間的電纜
4.2三維拉普拉斯方程
4.2.1靜電場中的介質球
4.2.2帶有電荷的細圓環的電場
4.2.3均勻圓盤的引力勢
4.2.4環形電流的磁感應強度
4.2.5柱體內溫度場分布之一(Jv的應用)
4.2.6柱體內溫度場分布之二(Jv的應用)
4.2.7柱體內溫度場分布之三(工。
展開 推薦 數學物理方程的MATLAB解法與可視化
目錄
第1章 函數的圖形
1.1 復變函數圖形
1.2 特殊函數圖形
第2章 傅里葉級數與傅里葉變換
2.1 傅里葉級數、傅里葉積分與離散傅里葉變換
2.2 傅里葉變換的例題
2.3 廣義傅里葉級數
第3章 本征值函數系與本征振動
3.1 一維本征值問題
3.2 二維本征值問題
第4章 拉普拉斯方程與泊松方程
4.1 二維拉普斯方程
4.2 三維拉普斯方程
4.3 泊松方程與格林函數
第5章 熱傳導方程
5.1 一維熱傳導問題
5.2 二維熱傳導問題
5.3 三維熱傳導問題
第6章 波動方程
6.1 一維波動問題
6.2 二維波動問題
6.3 三維振動問題
第7章 MATLAB的偏微分方程工具箱
7.1 偏微分方程工具箱的功能演示
7.2 偏微分方程工具箱的功能
7.3 工具箱的用戶界面窗口
7.4 用工具箱解偏微分方程的步驟
7.5 用圖形用戶界面窗口的工具欄解方程
7.6 圖形用戶界面窗口的菜單
7.7 工具箱的指令
7.8 例題
第8章 解微分方程的其他方程
8.1 指令bvp4c解本征值問題
8.2 用pdepe解一維初值邊值問題
8.3 差分法
8.4 有限元法
參考文獻
展開 數學物理方程的MATLAB解法與可視化
數學物理方程的MATLAB解法與可視化
作者：彭芳麟
圖書詳細信息：
ISBN：7302098840
定價：33元
印次：1-2
裝幀：平裝
印刷日期：2005-6-17
圖書簡介：
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程并將結果可視化。書中展示了在教材中難得一見的復變函數圖形、特殊函數圖形和各類本征函數圖形，還有拉普拉斯方程、熱傳導方程、熱傳導方程和波動方程的各種題型的數值求解與可視化的結果，內容新穎，方法獨特，讓枯燥的公式伴之以生動的圖像，讓深奧的內容有了鮮明的物理圖像，是學習數學物理方法極有價值的參考書。本書也詳細地介紹了MATLAB的偏微分方程工具箱與解偏微分方程和本征值方程的其他指令，還介紹了差分方法和有限元方法。對學習數值計算或計算物理課程而言，這也量本很實用的參考教材。本書的程序來之于教學實踐，有許多經驗心得體現在編程的技巧中，例如特殊函數的計算、矢量場線的畫法，這些技巧不僅實用，也很有特色。書中提供了全部例題的程序，可以將這些程序直接當作多媒體課件來使用。本書可供大學生、研究生和科技工作者使用。
前言
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程及將結果可視化,這是我們在進行數學物理方法課程的數字化
教學中做的一些工作。書中提供了全部程序,因而讀者不僅可以從中學到解題的方法,還可以將這些程序直接當作多媒體
課件來使用。
數學物理方程主要是偏微分方程，考慮到有的讀者可能不熟悉MATLAB在這方面的應用，本書用附錄的形式詳細地介紹了MATLAB偏微分
方程工具箱的使用方法，以及其他一些可用于解偏微分方程的指令和解常微分方程本征值問題的指令,
此外還介紹了差分方法、有限元方法解偏微分方程。從這一點來看，本書也是一本介紹用MATLAB解偏微分方程的很實用的參考書。
展開 
偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
偏微分方程的解法還可以用分離系數法，也叫做傅里葉級數；還可以用分離變數法，也叫做傅里葉變換或傅里葉積分。分離系數法可以求解有界空間中的定解問題；分離變數法可以求解無界空間的定解問題。還可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的定解，對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進行反演就可以了。
應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。
常用的方法有變分法和有限差分法：變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然后用計算機進行計算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體里的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。
隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。
下載地址：偏微分方程陳祖墀
展開 【仿真技巧】燃料電池中離子交換膜和唐南電位的模擬
我們可以使用膜的二次電流分布 接口，通過拉普拉斯方程和三次電流分布 接口中的離子交換膜邊界 節點來求解電位，從而設置唐南電位條件。
來源：COMSOL
基礎課 | 說說偏微分方程
雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體里的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。
隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。
來源：ANSYS學習與應用
展開 2-1基于matlab的拉普拉斯金字塔圖像融合算法
圖像融合
拉普拉斯金字塔圖像融合 ￥12.2
基于matlab的拉普拉斯金字塔圖像融合算法，可以使部分圖像模糊的圖片清楚，也可以使圖像增強。程序已調通，可直接運行。
COMSOL 中定義材料各向異性的方法
擴散方法
擴散方法求解拉普拉斯方程：
。解
是一個標量勢，它的梯度構成了第一基矢。因為只求解一個標量勢，所以這個方法的計算成本很低。矢量場的方向由入口和出口的邊界條件指定。如果幾何結構是一個閉環，我們可以在內部邊界上設置突變邊界條件來指定方向。
擴散法相當于在入口和出口邊界溫度不變的情況下求解穩態熱傳導方程。然后，溫度梯度形成第一基矢，如下圖所示。
曲線坐標系（箭頭）、溫度梯度（流線）和溫度（表面）。
自適應方法
自適應方法與擴散方法類似，也是基于拉普拉斯方程求解的。此外，該方法所得到的矢量場與幾何結構相適應，能使流線密度在幾何橫截面上保持恒定。在使用
AC/DC 模塊
（COMSOL Multiphysics 的一個附加產品）模擬 3D 磁應用時，這個公式被用于建立多匝線圈（線束）模型。對于多匝線圈，因為假設每根導線攜帶的電流相同，且導線的間距均勻，所以電流密度在橫截面上應該是大致恒定的。
流動方法
流動方法求解不可壓縮斯托克斯方程的一個矢量場和一個標量，因此這種方法在計算上是最耗費資源的。其邊界條件與擴散方法相同，一個物理上的類比是不可壓縮的蠕動流，在入口處有恒定的法線速度，出口處有固定的壓力。產生的速度場得到第一基矢。
曲線坐標系（箭頭），速度場（流線），和壓力（表面）。
彈性方法
彈性方法求解以下特征值方程：
其中， 是矢量場， 是單位矩陣， 是特征值。
與流動方法相比，這種方法的計算成本略低，因為只求解一個矢量場。這種性能上的差異在 2D 模型中更為明顯。其入口和出口的邊界條件相同，即， 。
展開 圣杯問題 IV 三位一體
在波音航空公司中，網格生成這一步驟占據整個流程70%以上的時間和成本，真正求解偏微分方程只占30%不到的成本。其次，數學上的處理也比較間接而迂回。物理規律一般表示成高階偏微分方程，而有限元方法一般用一階光滑的分片線性函數。為了處理光滑階數不夠的矛盾，有限元方法一般采用偏微分方程的變分形式求得弱解。比如，熱力平衡態的溫度分布滿足拉普拉斯方程，這是一個二階橢圓型偏微分方程，未知函數需要具有二階光滑性；用有限元的伽遼金法求解時，我們將拉普拉斯方程轉換成優化調和能量的問題，而調和能量只需要一階光滑性。
Tom Hughes博士深刻地洞察到了CAD和CAE基本數據結構不一致性這一基本問題，提出了等幾何分析（Isogeometric Analysis）這一顛覆的理論框架，引發了CAD/CAE領域的一場革命。等幾何分析的根本思想就是統一幾何設計和幾何分析的數據結構，工業設計和工業仿真都用樣條表示。這樣做的好處是顯而易見的。
首先，等幾何分析方法具有理論處理的便捷性。在等幾何分析的框架下，未知函數被表示成NURBS基函數的線性組合。線性組合系數是待定的未知變量。因為NURBS基函數具有高階可微，被高階微分算子作用后所得函數依然是可以被表示為NURBS函數。這樣，我們可以用待定系數法來求解偏微分方程。例如，為了求解拉普拉斯方程，我們在定義域中選取一些采樣點，然后利用未知函數在采樣點處的拉普拉斯等于零來求解待定系數。這種方法被稱為是colocation方法，它不需要將偏微分方程轉換成變分能量，因此數學手法上更為簡潔直接。今年（2016年），在等幾何分析領域的學者們在理論上首次證明了通過精心挑選采樣點的位置，colocation方法求得解的精度達到伽遼金法求得解的精度。這在理論上將等幾何分析方法提到了和有限元法平起平坐的地位。
展開 有限元法講解及運用常應變三角形單元解彈性力學平面問題（FORTRAN語言編寫有限元法程序算例）
還有學者進一步研究了加權 殘值法與有限元方法之間的關系，對于一些尚未確定出 能量泛函得復雜問題，也可以建立起有限元分析的基本方程，這可以將有限元方法德應用領域大大的擴展，我 國的胡海昌于1954年提出了廣義變分原理，錢偉長最先 研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間的關系。馮 康研究了有限元分析得精度于收斂性問題。
我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的應用起了很大的推動作用。
3.有限元法的基本思想
有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。
基本思想：由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。
方法運用的基本步驟：
步驟1：剖分
將待解區域進行分割，離散成有限個元素的集合。元素（單元）的形狀原則上是任意的。二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等，每個單元的頂點稱為節點（或結點）。
步驟2：單元分析
進行分片插值，即將分割單元中任意點的未知函數用該分割單元中形狀函數及離散網格點上的函數值展開，即建立一個線性插值函數。
步驟3：求解近似變分方程
用有限個單元將連續體離散化，通過對有限個單元作分片插值求解各種力學、物理問題的一種數值方法。有限元法把連續體離散成有限個單元：桿系結構的單元是每一個桿件；連續體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。
展開 
《電磁場數值計算法與MATLAB實現》
【目錄】
第1章 緒論
1.1 電磁場理論產生的背景及其意義
1.2 電磁場問題計算方法的重要性
1.3 電磁場問題計算方法分類
1.3.1 解析法
1.3.2 數值法
1.4 電磁場問題數值計算的幾種重要方法
1.4.1 有限差分法
1.4.2 有限單元法
1.5 MATLAB在電磁場數值計算中的應用
第2章 MATLAB簡介
2.1 MATLAB概述
2.1.1 MATLAB的特點
2.1.2 MATLAB操作界面
2.1.3 命令窗口的基本操作命令
2.2 數值計算基本方法
2.2.1 變量名、數據、算符與表達式
2.2.2 矩陣
2.2.3 符號變量和符號表達式
2.3 圖形處理的基本方法
2.3.1 二維圖形
2.3.2 三維圖形
2.4 M文件及程序設計
2.4.1 命令文件
2.4.2 函數文件
2.4.3 流程控制
2.4.4 差分、微分和梯度
2.4.5 積分
2.4.6 級數
2.5 偏微分方程的圖形用戶界面(GUI)
2.5.1 PDE Toolbox菜單
2.5.2 PDE工具欄
第3章 電磁場分布型問題的數值積分法
3.1 沿直線的積分問題
3.2 平面上的二重積分問題
3.3 沿空間曲線的積分問題
3.4 曲面上的二重積分問題
第4章 電磁場二維場域的有限差分法
4.1 差分運算的基本概念
4.2 拉普拉斯方程的有限差分形式
4.3 二維場域的邊界條件
4.4 簡單迭代法
4.5 超松弛法
4.6 應用舉例與計算程序
第5章 電磁場二維場域的有限單元法
5.1 電磁場微分方程的泛函變分原理
5.2 二維電磁場有限單元法的數學離散形式
5.3 應用舉例與計算步驟
參考文獻
展開 拉普拉斯變換總結
個人學習總結，懇請指出錯誤。
參考資料見文后，文中引用格式為“作者+頁碼”、“作者名年份+頁碼”等
一、拉氏變換的定義
通俗理解，拉氏變換是對函數在t>0域進行指數衰減后的傅里葉變換，就是將原函數f(t)乘以一個單位階躍函數（使其限定在t>0域）和一個指數衰減函數exp(-βt)（β為衰減因子），再進行傅氏變換。邢宇明P222有簡單明了的解釋：
可以看出，原函數與指數衰減函數exp(-βt)相乘后，在進行傅里葉變換的過程中，還需要乘以exp(-iwt)再在t>0域進行積分。這里的衰減因子β和頻率w都是我們假設的一個變量，可以通俗理解為：在并不知道原函數f(t)是否絕對可積的情況下，我們假設讓其乘以exp(-βt)進行衰減后就絕對可積了，這時候就滿足古典傅氏變換條件了，對于傅氏變換，我們也是假設將要在f(t).exp(-βt)中提取其復振幅的那個諧波的頻率為w，進而通過三角函數的正交性代入積分公式將其復振幅提取出來。所以，衰減因子β和頻率w是我們假設的兩個變量，考慮到w前面復數i的存在，它們在指數乘法中也變成了β+iw的形式，這就剛好是一個復變量s，所以在拉氏變換中就用復變量s來代替β+iw了，這也是通常說的拉氏變換是將函數變換到復域來進行分析。
二、拉氏變換的收斂域
關于拉氏變換的收斂及收斂域，一般書上介紹比較數學化，這里擬以通俗的方式來進行理解。對拉氏變換收斂域的理解，有利于理解信號與系統、自動控制等領域的系統穩定性、傳遞函數極點等內容。
根據前述拉氏變換的定義，可以將拉氏變換的收斂理解為：對于給定的一個復數域的值s，原函數經過其實部Re(s)代表的指數衰減后，才滿足或者仍滿足古典傅里葉變換的條件，即滿足狄利克雷條件和絕對積分。可以看出，拉氏變換的收斂與否只和復數域的實部Re(s)有關。顯然對于一個給定原函數f(t)，
展開 談談常見的幾種CFD算法－FVM FDM FEM MPS SPH LBM究竟有什么區別
FDM的基本思路：按時間步長和空間步長將時間和空間區域剖分成若干網格，用未知函數在網格結(節)點上的值所構成的差分近似代替所用偏微分方程中出現的各階導數，從而把表示變量連續變化關系的偏微分方程離散為有限個代數方程，然后解此線性代數方程組，以求出溶質在各網格結(節)點上不同時刻的濃度。
3. FEM-有限元法
有限元方法的基礎是變分原理和加權余量法，廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。
FEM的基本思路：把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。
有限元法常應用于流體力學、電磁力學、結構力學計算，使用有限元軟件ANSYS、COMSOL等進行有限元模擬，在預研設計階段代替實驗測試，節省成本。
4.粒子法
粒子法是近20多年來逐步發展起來的一種無網格方法。它利用核函數對物理問題進行近似處理，用離散的粒子來描述宏觀連續分布微觀仍為粒子的流體，而每個粒子則攜帶了其所在位置的流體的各種性質，如質量、密度、速度、能量等。
展開 [問題討論]使用Python學習CFD初級理論系列一數組操作（7/10）
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測試案例
測試案例采用二維穩態導熱問題，其控制方程為拉普拉斯方程：
采用二階中心差分，離散方程可寫成：
很容易得到：
不說二話，直接上代碼。
