數值微分的案例
加速度積分得到速度和位移的問題小結
測試位移+測試加速度，可以通過數值微分+低通濾波得到速度；當然也可以直接通過Kalman濾波得到速度，方便、快捷、高效又穩健；或者帶有微分算法的低通濾波得到速度，等等。方法總是有很多種。但并不建議測試位移，兩次數值微分得到加速度，因為數值微分算法是高通濾波器，會引入高頻噪聲，采樣頻率越高，高頻噪聲問題越嚴重，兩次數值微分得到的加速度誤差較大，但也并不是完全不能使用，加上低通濾波可以降低這個誤差，總比從加速度積分得到位移要靠譜得多。使用低通濾波算法要注意不要引入相移，平滑處理（Smooth）也是一種低通濾波，效果還行。下面是把不同點數差分算法看成是高通濾波器，然后計算其頻率響應得到的曲線，注意是對采樣頻率fs做了歸一化以后的結果。結論是：用5點差分算法是可行的，向前差分或者Matlab的diff函數，最糟糕。
圖4 不同差分格式的頻響特性
5.1 部分數值實驗結果
下面貼出一個位移傳感器在低頻范圍內振動，并做了相對位移和相對加速度采集的結果，從而依據這些測試結果進行數據后處理。
展開 ZEMAX | 如何優化非序列光學系統
DLS 運用數值微分計算，在一個較小的評價函數設計的解空間里確定優化方向。這種梯度方法是為光學系統設計專門開發的，被推薦用于所有成像和經典光學優化問題。然而，在純非序列系統優化中，由于采用像素探測器進行探測，DLS 的優化效果較差。并且評價函數本身是不連續的，這也可能導致梯度搜尋方法失敗。
下面是當評價函數只有一個變量時，對非序列系統的評價函數進行查看。
可以看出，很長一段區間內評價函數根本沒有變化，發生的變化是突然且不連續的。這使得通過梯度搜尋方法進行優化變得困難。
正交下降優化利用變量的正交化和解空間的離散采樣來降低評價函數值。OD 算法不計算評價函數的數值微分。對于評價函數存在原本噪聲的系統而言，例如非序列系統，OD 通常比 DLS 算法要好。它在照度最大化、亮度增強和均勻性優化等優化問題中非常有用。
像素插值和非相干強度數據（NSDD）
除了使用的特定算法外，OpticStudio 中還有幾個能夠顯著提升非序列系統優化效率的功能。
如上所述，由于探測器的像素特性，非序列的解空間往往是不連續的。如果一條給定光線中的能量只分配給一個像素，那么當系統更改導致光線在該像素內的任何位置移動時，就沒有數量上的差異。因此，當一條光線跨越邊界進入一個新的像素時就需要對不連續的評價函數求微分，優化非常困難。
這可以通過觀察入射到探測器上的一條光線來說明。下面的通用繪圖顯示了探測器上的輻照度質心如何隨著光線位置的變化而變化。
避免由像素探測器引起的量化效應的一種方法是使用像素插值。不是將100%的光線能量分配給單個被擊中的像素，而是根據光線在像素內的截距位置將一部分能量分配給相鄰像素。因此，當系統變化導致光線在像素上移動時，評價函數會發生明顯的變化。
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DLS 運用數值微分計算，在一個較小的評價函數設計的解空間里確定優化方向。這種梯度方法是為光學系統設計專門開發的，被推薦用于所有成像和經典光學優化問題。然而，在純非序列系統優化中，由于采用像素探測器進行探測，DLS 的優化效果較差。并且評價函數本身是不連續的，這也可能導致梯度搜尋方法失敗。
下面是當評價函數只有一個變量時，對非序列系統的評價函數進行查看 。
可以看出，很長一段區間內評價函數根本沒有變化，發生的變化是突然且不連續的。這使得通過梯度搜尋方法進行優化變得困難。
正交下降優化利用變量的正交化和解空間的離散采樣來降低評價函數值。OD 算法不計算評價函數的數值微分。對于評價函數存在原本噪聲的系統而言，例如非序列系統，OD 通常比 DLS 算法要好。它在照度最大化、亮度增強和均勻性優化等優化問題中非常有用。
像素插值和非相干強度數據（NSDD）
除了使用的特定算法外，OpticStudio 中還有幾個能夠顯著提升非序列系統優化效率的功能。
如上所述，由于探測器的像素特性，非序列的解空間往往是不連續的。如果一條給定光線中的能量只分配給一個像素，那么當系統更改導致光線在該像素內的任何位置移動時，就沒有數量上的差異。因此，當一條光線跨越邊界進入一個新的像素時就需要對不連續的評價函數求微分，優化非常困難。
這可以通過觀察入射到探測器上的一條光線來說明。下面的通用繪圖顯示了探測器上的輻照度質心如何隨著光線位置的變化而變化。
避免由像素探測器引起的量化效應的一種方法是使用像素插值。不是將100%的光線能量分配給單個被擊中的像素，而是根據光線在像素內的截距位置將一部分能量分配給相鄰像素。
展開 simulink仿真設置
3)odell3是變階Adams-Bashforth—Moulton PECE求解器．在誤差容限比較嚴時，它比ode45更有效．odell3是一個多步求解器，即為了計算當前的結果y(tn），不僅要知道前一步結果y(tn-1)，還要知道前幾步的結果y(tn-2)，y(tn-3)，…；
4)odel5s是基于數值微分公式(NDFs)的變階求解器．它與后向微分公式BDFs(也叫Gear方法)有聯系．但比它更有效．ode15s是一個多步求解器，如果認為一個問題是剛性的，或者在用ode45s時仿真失敗或不夠有效時，可以試試odel5s。 odel5s是基于一到五階的NDF公式的求解器．盡管公式的階數越高結果越精確，但穩定性會差一些．如果模型是剛性的，并且要求有比較好的穩定性，應將最大的階數減小到2．選擇odel5s求解器時，對話框中會顯示這一參數． 可以用ode23求解器代替。del5s，ode23是定步長、低階求解器。
5)ode23s是基于一個2階改進的Rosenbrock公式．因為它是一個單步求解器，所以對于寬誤差容限，它比odel5s更有效．對于一些用odel5s不是很有效的剛性問題，可以用它解決。
6)ode23t是使用“自由”內插式梯形規則來實現的．如果問題是適度剛性，而且需要沒有數字阻尼的結果，可采用該求解器。
7)ode23tb是使用TR—BDF2來實現的，即基于隱式Runge—Kutta公式，其第一級是梯形規則步長和第二級是二階反向微分公式．兩級計算使用相同的迭代矩陣．與ode23s相似，對于寬誤差容限，它比odtl5s更有效。
8)discrete(變步長)是simulink在檢測到模型中沒有連續狀態時所選擇的一種求解器。
展開 
《數值方法（MATLAB版）——國外計算機科學教材系列》
(選讀)
4.5.1 切比雪夫多項式性質
4.5.2 最小上界
4.5.3 等距節點
4.5.4 切比雪夫節點
4.5.5 龍格現象
4.5.6 區間變換
4.5.7 正交性
4.5.8 MATLAB實現
4.5.9 習題
4.5.10 算法與程序
4.6 帕德逼近
4.6.1 連分式
4.6.2 習題
4.6.3 算法與程序
第5章 曲線擬合
5.1 最小二乘擬合曲線
5.1.1 求最小二乘曲線
5.1.2 冪函數擬合y=AxM
5.1.3 習題
5.1.4 算法與程序
5.2 曲線擬合
5.2.1 y=CeAx的線性化方法
5.2.2 求解y=CeAx的非線性最小二乘法
5.2.3 數據線性化變換
5.2.4 線性最小二乘法
5.2.5 矩陣公式
5.2.6 多項式擬合
5.2.7 多項式擺動
5.2.8 習題
5.2.9 算法與程序
5.3 樣條函數插值
5.3.1 分段線性插值
5.3.2 分段三次樣條曲線
5.3.3 三次樣條的存在性
5.3.4 構造三次樣條
5.3.5 端點約束
5.3.6 三次樣條曲線的適宜性
5.3.7 習題
5.3.8 算法與程序
5.4 傅里葉級數和三角多項式
5.4.1 三角多項式逼近
5.4.2 習題
5.4.3 算法與程序
5.5 貝塞爾曲線
5.5.1 伯恩斯坦多項式的性質
5.5.2 貝塞爾曲線的性質
5.5.3 習題
5.5.4 算法與程序
第6章 數值微分
6.1 導數的近似值
6.1.1 差商的極限
6.1.2 中心差分公式
6.1.3 誤差分析和步長優化
6.1.4 理查森外推法
6.1.5 習題
6.1.6 算法與程序
6.2 數值差分公式
6.2.1 更多的中心差分公式
6.2.2 誤差分析
6.2.3 拉格朗日多項式微分
6.2.4 牛頓多項式微分
6.2.5 習題
6.2.6 算法與程序
第7章 數值積分
7.1
展開 『分享』演變隨機響應問題的工程實用數值解法
把微分方程數值積分的Runge2Ku t ta 方法引入非均勻調制隨機激勵下的演變隨機響應計算
問題中來, 使復雜的演變隨機響應問題得到簡便的解決. 通過計算實例, 并同復模態分析方法比較,
說明了該方法的有效性和精確性. 該方法不需要進行復雜、費時的復特征值運算, 只需要直接數值
積分, 具有公式簡單, 編程容易, 計算速度快等優點, 特別適合于工程實際問題的計算.
演變隨機響應問題的工程實用數值解法.pdf
CFD 中的女性 Kristen Karman-Shoemake
所以，我讀了五年本科，完成了我的數學學位，并參加了所有我能參加的數值算法和微分方程課程。第二年，我開始在 UTC 攻讀碩士學位，研究項目是優化動脈支架的橫截面形狀以改善血流。
您什么時候開始使用 Cadence 工作的？您典型的一天工作是什么樣的？
完成學位后不久，我開始在亞利桑那州斯科茨代爾的一家生物醫學初創公司工作。他們的主要重點是模擬用于治療的分流支架的部署，但我從事的項目是自動檢測和測量動脈瘤。這項工作獲得了五項專利（歐洲三項，美國兩項）。
大約一年后，我看到 Pointwise（現為 Cadence）有一個技術支持工程師的空缺職位。我在讀研究生期間曾在他們那里做過暑期實習，他們很高興讓我回來。
Kristen 在 Fidelity Pointwise 2022.2 版本中致力于導出高階網格這一新功能。她也是Mixed Order Mesh Curving章節的作者之一，該章節詳細介紹了此功能。
在我目前作為產品工程師的角色（我們團隊的新職位）中，我負責所有與發布發布相關的非開發職責——質量保證測試、運行回歸測試和文檔更新。我還積極參與新功能設計。
到目前為止，您使用過哪些 CFD 工具？
我們研究生課程中的大多數教授都喜歡 Pointwise（現為Fidelity Pointwise），因此我們使用 Pointwise 作為主要的網格劃分工具。此外，我使用其他商業 CFD 工具的經驗有限，因為我們被鼓勵使用內部求解器或編寫自己的求解器。
我經常被問到這個問題，大多數人都對我沒有使用商業求解器的經驗感到驚訝（或失望）。我不這么看。我們學位課程的偉大之處在于專注于實施我們的課程作業。每個班級都有一個編程組件。
展開 地震波數值模擬技術
地震數值模擬是地震勘探和地震學的重要基礎。地震數值模擬就是在假定地下介質結構模型和相應物理參數已知的情況下，模擬研究地震波在地下各種介質中的傳播 規律，并計算在地面或地下各觀測點所觀測到的數值地震記錄的一種地震模擬方法。這種地震數值模擬方法已在地震勘探和天然地震領域中得到廣泛的應用，它不但 在石油、天然氣、重金屬和非金屬等礦產資源及工程和環境地球物理中得到普遍的應用，而且在地震災害預測、地震區帶劃分以及地殼構造和地球內部結構研究中， 也得到相當廣泛的應用。
地震數值模擬在地震勘探和地震學各工作階段中都有重要的作用。在地震數據采集設計中，地震數值模擬可用于野外觀測系統的設計和評估，并進行地震觀測系統的 優化。在地震數據處理中，地震數值模擬可以檢驗各種反演方法的正確性。在地震數據處理結果的解釋中，地震數值模擬又可以對地震解釋結果的正確性進行檢驗。
由于實際工作中所模擬的介質不同，所用的模擬方程也不一樣。根據模擬方程的不同，波動方程數值模擬主要有：聲波模擬、彈性波模擬、粘彈性波模擬以及裂隙和孔隙彈性模擬等。由于可以用射線理論、積分方程、微分方程來描述地震波的傳播，模擬方法也相應地有射線追蹤法、積分方程數值求解方法以及微分方程數值求解方法。
射線追蹤方法通過求解程函方程計算地震波旅行時，通過求解傳播方程計算地震波振幅。該方法以高頻近似為前提，適合于物性緩變模型中地震波傳播模擬。模型簡 單時該方法具有計算速度快的突出優點，正因為如此，它在地震成像、旅行時層析等方面得到廣泛應用。也正是高頻近似，該方法不適合物性參數變化較大模型中地 震波的傳播模擬。
積分方程數值求解地震波數值模擬方法是基于惠更斯原理而得到的一種波場計算方法，它又可以分為體積分方法和邊界積分方法。
展開 《計算機仿真技術基礎》--電子工業出版社（劉瑞葉等編著）
【圖書目錄】
第1章 概論
1.1 計算機仿真的基本概念
1.2 計算機仿真的歷史及現狀
1.3 計算機仿真的發展與展望
第2章 系統建模的基本方法與模型處理技術
2.1 相似原理
2.2 建模方法學
2.3 確定型系統的數學模型
2.4 系統建模舉例
2.5 非線性模型的線性化處理
2.6 高階模型的降階處理
2.7 連續系統模型的離散化處理
第3章 連續系統的數字仿真通用算法
3.1 基于離散相似原理的數字仿真算法
3.2 基于Taylor級數匹配原理的仿真算法
3.3 微分方程數值積分的矩陣分析方法
3.4 數值積分法穩定性分析
3.5 數值積分法的選擇與計算機步長的確定
3.6 實時半實物仿真
3.7 采樣控制系統的仿真方法
第4章 離散事件仿真基礎
4.1 離散事件系統與模型
4.2 離散事件仿真
4.3 排隊系統的仿真
4.4 Petri網絡仿真
4.5 隨機數和隨機變量的生成
第5章 計算機仿真軟件
5.1 仿真軟件的現狀與發展
5.2 MATLAB語言基礎
5.3 MATLAB在控制系統仿真中的應用
5.4 Simulink仿真
5.5 MATLAB仿真舉例
5.6 Protel 99 SE應用要點
展開 電子設計巨頭Mentor Graphics公司如何利用CFD解決實際問題
CFD利用數值非線性微分方程來描述具有固定幾何形狀和邊界條件的流體流動（Navier-Stokes方程）。
CFD的主要優勢是可利用其虛擬建模方法和強大的可視化功能來估計各種應用的性能。CFD能夠預測系統性能，不要求修改實際系統或原型。因此，甚至不必觸碰實際原型，便可利用CFD來預測哪些設計變更對增強性能最為重要。CFD能提供比任何其他理論或實驗方法都更準確、甚至更好且詳細的系統信息。與做實驗相比，CFD的成本要低得多，所花時間也更少，因為它不涉及對系統的物理改變。
利用MentorGraphics的CFD仿真包FloTHERMXT來測量印刷電路板(PCB)上兩種不同散熱器的性能。PCB是均一的，具有各向同性熱屬性。這些屬性常用于具有多層絕緣材料和銅走線的PCB中，使得PCB的熱阻率是沿著電路板水平方向，而不是垂直方向。PCB上主芯片的總功率為1W，主芯片周圍的細長芯片功率為2mW，右邊迷你芯片的功率為1mW。
圖2：含不同層和銅走線的PCB
第一次仿真僅有PCB，用以估計總功耗。主芯片的溫度測得為55.7℃。結果顯示，通過自然對流的散熱方式不足以冷卻PCB上的主芯片。
圖3：PCB溫度分布
在第二次仿真中，我在主芯片正上方增加了一個矩形順排散熱器，其間有一個熱界面層。我使用的是氮化鋁熱界面層。空氣在主芯片和散熱器之間形成熱阻，因此強烈建議使用這種熱界面層。
圖4：通過填充空氣的熱界面材料導熱
當電子器件的熱路徑中有兩個或更多固體表面時，需要使用熱界面材料(TIM)。典型機加工材料的表面粗糙且有起伏，表面之間的實際接觸點相當少。兩個表面之間的間隙填滿空氣，對于兩個表面之間的熱傳遞，空氣是絕熱體和屏障。因此，利用TIM填充空隙以消除兩個表面之間的空氣，可以改進熱傳導過程，增強兩種材料之間的熱傳遞。
展開 火箭動力學科研利器—最佳計算設備硬件配置方案探討
在火箭動力學研究中，常常使用數值模擬和數學分析方法來進行各種分析和計算。一些常用的算法和方法包括：
§ 數值積分和微分方程求解：用于模擬火箭在不同階段的運動和推進劑的燃燒過程。
§ 控制系統設計方法：用于設計火箭的姿態控制系統，以保持預定的姿態和軌跡。
§ 軌道計算方法：用于計算火箭的軌道參數，包括軌道高度、速度、傾角等。
在軟件方面，火箭動力學的研究可以使用多種模擬軟件、仿真工具和編程環境。一些常用的軟件包括：
§ STK (Systems Tool Kit)：用于火箭和衛星軌跡分析、飛行性能評估等。
§ MATLAB/Simulink：用于數值計算、模擬和控制系統設計。
§ FORTRAN或C++等編程語言：用于編寫自定義的數值模擬和分析程序。
§ OpenRocket：一個開源的火箭設計和模擬軟件，用于進行火箭性能分析和設計。
§ Rocket Propulsion Analysis (RPA)：用于火箭推進系統性能分析的軟件工具。
火箭動力學研究涵蓋了火箭運動、推進系統、姿態控制、航跡計算等多個方面，使用多種數值和分析方法，以及相關的軟件工具來進行分析、仿真和計算。
STK (Systems Tool Kit) 計算與硬件配置特點
STK（Systems Tool Kit）是一款用于航天和國防等領域的工程和分析軟件，用于進行航天器、衛星、導彈等系統的模擬、分析、可視化和設計。它涵蓋了廣泛的領域，包括軌道分析、通信鏈路分析、任務規劃、控制系統設計等。以下是STK中的一些重要計算以及與硬件要求相關的信息：
重要計算：
§ 軌道計算和分析： STK可以進行軌道的計算和分析，包括衛星、火箭等運行在不同軌道上的模擬。
§ 通信鏈路分析： 可以進行通信鏈路的分析，包括衛星到地面站的信號傳播、帶寬、信噪比等。
展開 
Mathcad5.0教程
附錄A Mathcad5.0的出錯信息
附錄B 單位系統
附錄C 數值方法
附錄D 動態數據交換
附錄E 電子書
『原創』書訊：Mathcad5.0教程
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附錄C 數值方法
附錄D 動態數據交換
附錄E 電子書
數學物理方程的MATLAB解法與可視化
數學物理方程的MATLAB解法與可視化
作者：彭芳麟
圖書詳細信息：
ISBN：7302098840
定價：33元
印次：1-2
裝幀：平裝
印刷日期：2005-6-17
圖書簡介：
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程并將結果可視化。書中展示了在教材中難得一見的復變函數圖形、特殊函數圖形和各類本征函數圖形，還有拉普拉斯方程、熱傳導方程、熱傳導方程和波動方程的各種題型的數值求解與可視化的結果，內容新穎，方法獨特，讓枯燥的公式伴之以生動的圖像，讓深奧的內容有了鮮明的物理圖像，是學習數學物理方法極有價值的參考書。本書也詳細地介紹了MATLAB的偏微分方程工具箱與解偏微分方程和本征值方程的其他指令，還介紹了差分方法和有限元方法。對學習數值計算或計算物理課程而言，這也量本很實用的參考教材。本書的程序來之于教學實踐，有許多經驗心得體現在編程的技巧中，例如特殊函數的計算、矢量場線的畫法，這些技巧不僅實用，也很有特色。書中提供了全部例題的程序，可以將這些程序直接當作多媒體課件來使用。本書可供大學生、研究生和科技工作者使用。
前言
本書介紹如何用科學計算軟件MATLAB數值求解數學物理方程及將結果可視化,這是我們在進行數學物理方法課程的數字化
教學中做的一些工作。書中提供了全部程序,因而讀者不僅可以從中學到解題的方法,還可以將這些程序直接當作多媒體
課件來使用。
數學物理方程主要是偏微分方程，考慮到有的讀者可能不熟悉MATLAB在這方面的應用，本書用附錄的形式詳細地介紹了MATLAB偏微分
方程工具箱的使用方法，以及其他一些可用于解偏微分方程的指令和解常微分方程本征值問題的指令,
此外還介紹了差分方法、有限元方法解偏微分方程。從這一點來看，本書也是一本介紹用MATLAB解偏微分方程的很實用的參考書。
展開 教你如何學軟件編程序
所以，自己編程序要看一下：常微分方程數值解法、數理方程、編譯原理、離散數學、數據結構、應用數值分析等方面的書籍，之所以這么多，是因為編程序的過程中，你根本就不知道會發生什么問題，可以夸張地說，幾乎在用有限元軟件使用過程中遇到的所有問題，自己編程都會遇到，而且時不時地還會有自己的特有問題發生（我把它叫成程序特色）。
今天說了這么多，抽取了中午的一個多小時休息的時間，暫且先說道這，以后有機會將后續的內容補上，希望對大家有用。
