偏微分方程解析解的案例
偏微分方程的定解條件
01
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定解條件
偏微分方程描述的是某一類問題的共同規律，所以從數學角度會有無窮多個解。具體到某個物理問題就需要收斂到符合真實物理條件的特定解或唯一解。
具體確定解的物理條件就是定解條件：包括初始條件和邊界條件。
以弦振動為例。用手撥動弦和弓拉動弦，發出的聲音肯定是不一樣的。原因在于初始條件不一樣，所以產生的振動也不一樣。而振動方程只對弦起作用，而不能描述弦端點的狀態。弦端點狀態就是邊界條件。
02
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初始條件
偏微分方程描述的是無限時間的問題。而實際物理模型是存在開始和結束時間節點的。
初始條件描述了物理場的初始狀態，定義了偏微分方程中某些時刻的值。
一般而言，在穩態問題中，初始值定義不太重要。但非線性問題求解時，定義一個合適的初始值有利于收斂，降低計算難度。而在瞬態問題中，必須要定義準確的初始值。
以熱傳導問題為例。對穩定狀態溫度場分析，定義大致的初始溫度即可完成計算，且初始溫度對最終計算結果無影響。但如果是瞬態隨時間變化的溫度場，就必須定義準確的初始溫度，甚至初始溫度變化率。
03
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邊界條件
偏微分方程描述的是無限空間的問題，而實際物理模型是存在有限的求解區域的。
邊界條件是求解區域邊界上變量或變量導數的變化規律，也稱之為約束條件。
狄利克雷邊界條件
邊界的物理量是明確的。比如某個溫度場，邊界溫度等于273K。
紐曼邊界條件
邊界的物理量的導數是明確的。比如某個溫度場，邊界換熱系數已知，或邊界以固定大小從熱源吸收熱量。
混合邊界條件
相當于上面兩種邊界條件的疊加。
展開 用上傅里葉變換，很快啊，AI幾秒鐘就能解出偏微分方程(轉載)
不過，你知道這些準確的氣溫預測，是通過解方程算出來的嗎？
不僅如此，靠解方程還能模擬飛機空氣動力、疾病傳播模型！
是什么方程這么厲害？我學過嗎？
它就是偏微分方程（PDE），在我們的世界中無處不在。
但在實際應用中，用計算機求解偏微分方程的難度很大，往往為了求出一個解而需要大型機器運行一個月。
并且，隨著科研中遇到問題的復雜度、運算量逐漸增加，也就更需要高效快速的求解方法。
最近，來自加州理工大學的一個研究團隊就用AI來解決這一難題，他們開發了一種新的神經網絡，比傳統的PDE求解快幾個數量級，并且在理論上適用于任何偏微分方程。
甚至連流體力學里的“老大難”：N-S方程也不在話下！
對于簡單方程的求解，這種方法只需幾秒就能解出答案，而傳統方法需要18個小時！
訓練神經網絡=求解PDE
神經網絡的本質是逼近一個函數，函數是從一個變量到另一個變量的映射。
比如圖像識別網絡，就是把輸入的圖像數據，與最后的分類結果之間建立映射關系。
訓練神經網絡其實就是盡可能逼近這個函數，這和數值求解PDE本質是一樣的。
2016年，人們開始研究圖像識別神經網絡如何用于求解PDE，用成對的生成數據來訓練神經網絡，比如計算平面上不同基本形狀（如三角形、四邊形）物體周圍的空氣流速場。
訓練數據集的輸入是物體幾何形狀和的初始條件信息，輸出是相應的二維幾何物體。訓練過程等于建立輸入和輸出之間的相關性。
訓練后的神經網絡，可以用于預測其他情況（比如汽車形狀）的流速場，它只和與傳統數值求解器的結果略有不同，但求解速度更快。
然而，對于專門研究PDE的人來說，這種方法還遠遠不夠。
因為上面的方法精度一般達不到要求，如果想要實現更高的精度，所需的數據量和網絡大小將爆炸式增長，失去了原本快速求解的意義。
從函數到算子
所以，人們想到了一種新方法，求助于“算子”。
展開 偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
偏微分方程的解法還可以用分離系數法，也叫做傅里葉級數；還可以用分離變數法，也叫做傅里葉變換或傅里葉積分。分離系數法可以求解有界空間中的定解問題；分離變數法可以求解無界空間的定解問題。還可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數學物理方程的定解，對方程實行拉普拉斯變換可以轉化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解出常微分方程后進行反演就可以了。
應該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是不能嚴格解出的，只可以用近似方法求出滿足實際需要的近似程度的近似解。
常用的方法有變分法和有限差分法：變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然后用計算機進行計算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。雖然物理現象本質不同，但是抽象地表示在數學上是同一個定解問題，如研究某個不規則形狀的物體里的穩定溫度分布問題，在數學上是拉普拉斯方程的邊值問題，由于求解比較困難，可作相應的靜電場或穩恒電流場實驗研究，測定場中各處的電勢，從而也解決了所研究的穩定溫度場中的溫度分布問題。
隨著物理科學所研究的現象在廣度和深度兩方面的擴展，偏微分方程的應用范圍更廣泛。從數學自身的角度看，偏微分方程的求解促使數學在函數論、變分法、級數展開、常微分方程、代數、微分幾何等各方面進行發展。從這個角度說，偏微分方程變成了數學的中心。
下載地址：偏微分方程陳祖墀
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偏微分方程的數值求解 ￥66
用差分法求解了這個方程。
希望可以和“格子boltzmann方法”研究方向的學者們探討探討。
付費內容為差分法求解的詳細推導步驟和代碼。
【理論】偏微分方程簡介
在之前的文章中有提到，客觀物理世界中的各種現象，都可以使用偏微分方程來描述。
使用比較普遍的是二階偏微分方程。高階偏微分方程能通過引入中間變量的方式來退化為二階偏微分(組)形式。而大部分可以演化為以下最基本的形式：
其中
ea是質量系數(簡單理解可以認為是質量)，da是阻尼系數(簡單理解可以認為是阻尼)，β是對流系數(代表外場對因變量影響)，a是吸收系數，f是源項(可以簡單理解為激勵)。
上述表達式代表著局部微元中的守恒關系式。
有了最基本的二階偏微分方程形式，清楚各項的物理意義。通過設定不同的系數，可以得到不同的常用物理場方程。
比如，因變量u代表溫度T，c=k代表熱傳導系數，f=0表示無熱源，其他各項為0表示無對流等外場作用。這樣就得到了最基本的熱傳導方程——經典的拋物線偏微分方程。
(估計這種理論的文章仔細看的人又會很少。當成是個人筆記吧。）
展開 《偏微分方程的MATLAB解法》
ISBN：7307032562
系列：MATLAB工具系統叢書
尺寸：小16開
印張：13
印次：2
紙張：膠版紙
頁數：197
字數：239000
印刷時間：2004/07/01
版次：1
內容提要：
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
目錄：
前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若干程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 偏微分方程的MATLAB解法
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
【《偏微分方程的MATLAB解法 》圖書目錄】 前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若乾程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 基礎課 | 說說偏微分方程
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。
展開 C語言實現偏微分方程求解 ￥1.22
程序計算結果提取了最后一個時間步的溫度溫度。
官方資料（英文）偏微分方程工具箱
偏微分方程工具箱
偏微分方程工具箱.part1.rar
偏微分方程工具箱.part2.rar
伽遼金有限元法求解偏微分方程 --- c語言實現 ￥8.88
==> 分布積分法來進行微分方程的求解
==> 對應的解析解的求解方法如下所示：
==》 伽遼金法求解的一般步驟：
寫出微分方程的弱解形式。
進行分布積分法。
網格劃分。
生成系數矩陣和方程組的右端項。
進行方程組的求解。
求解出節點上的U值。
基于COMSOL 多物理場耦合&偏微分方程（PDE）的甲烷水合物注熱-降壓聯合開采數值模擬
1、共采用5個物理場：水合物分解場、甲烷氣體滲流場、水滲流場、溫度場、固體力學場；
2、使用PDE模塊進行建模，使各個參數完全耦合起來；
3、考慮了開采前儲層的初始理化參數，如孔隙度phi_0、飽和度S_h0、彈性模量E_0等；
4、所有耦合方程采用文獻中現有的已證方程；
5、收斂性和魯棒性較好，方便后續建模參數修改；
6、僅作結果展示（分解時間1h），時間（0 0.001 1）；
7、友好交流共同進步，請私信聯系我。（請注明來意）。
8、工程應用：水合注熱-降壓法開采、永久凍土區凍融、煤層氣開采流固耦合相關。
ANSYS中單元解、節點解以及節點單元解的概念解析
最近在準備初級教程后處理的教程，其中有講到對ANSYS結果解的理解，恰巧也有朋友咨詢水哥怎么去理解ANSYS中的這三個解，今日水哥就簡單談下本人的理解，當然僅限個人理解，有誤之處懇請大家指正。
我們知道，在常見的后處理中，結果查看主要分三個方面：一、節點位移解；二、單元解；三、節點單元解。
那么這三個解相互之間的關系是什么呢？誰的準確性更高呢？
要理清三者之間的關系，首先我們談談有限元分析的基本思路。有限元分析時，將一個我們所謂的“相當大的”結構劃分為有限個單元，單元之間通過節點相連，計算中，假定每個單元的變形和應力都是相對簡單的，并且可以通過計算機求解出來，最后在將單元結果按照一定的規律組合成整個結構的求解結果。
在這分離-結合的過程中，出現了兩個關鍵詞，節點和單元。從數學角度上來講，單元也即是一個個矩陣，通過具有一定自由度的節點相互連接，進而形成總的矩陣。有限元求解也即是求解大家最為熟悉的如下方程：
【K】【x】=【F】
其中【K】是剛度矩陣，【x】是節點自由度矩陣，【F】是外部邊界條件矩陣。
因而，整個結構最先出現的求解結果便是 節點位移解，也可以稱之為原始解，是最為精確的解。
有了節點位移解后，就可以派生出其他解了，因而單元解也可以稱之為派生解，它是通過單元的形函數推導過來，具體過程這里就不細說，但這就產生了一個問題，相信細心的朋友會有所發現，就是單元應力應變解在公共節點上并不連續，在單元邊界上產生了不連續的等值線。
展開 使用數值解和解析解擬合實驗室煤粒解吸擴散數據
通過解析解擬合實驗室煤粒解吸數據，可以獲得擴散系數。煤芯中孔徑不一，一般采用平均粒徑代替煤芯的粒徑，在計算過程中會出現一定誤差。采用數值模擬的方法，可以探究不同粒徑下煤粒的擴散系數，比較數值解和解析解的差異性。本文借助comsol數值求解，通過優化擴散系數，使其匹配煤粒解吸擴散數據，進而獲得煤粒擴散系數。
單孔擴散模型邊界條件的解析解為：
COMSOL中建立的煤粒解吸幾何模型：
數學方程采用菲克第二定律：
其中C為煤粒中甲烷濃度，
解吸速率可表示為：
利用comsol中非局部耦合體積分，可以獲得解吸速率。其中p0為煤粒中初始甲烷壓力、pa為大氣壓，0.1MPa。
1min甲烷濃度分布
5min甲烷濃度分布
上圖為數值解、解析解、實驗數據之間的擬合關系，解析解、數值解獲得的煤粒擴散系數分別為1.52×10-12m2/s、1.32×10-12m2/s。利用comsol的優化模塊，可以更準確的擴散系數，也可分析不同粒徑對擴散系數的影響。
參考文獻：
Qingquan Liu, Jing Wang, Jingjing Liu,et al.Determining diffusion coefficients of coal particles by solving the inverse problem based on the data of methane desorption measurements[J].Fuel,2022.
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