橢圓型方程
關注創建者：匿名 創建時間：2021-09-07
橢圓型方程的實例教程
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
【《偏微分方程的MATLAB解法 》圖書目錄】 前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若乾程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 螺旋管的橢圓型缺陷應力腐蝕仿真 ￥1000
本案例建立了一帶有橢圓形缺陷的螺旋管模型，如圖1所示，基于COMSOL軟件的固體力學模塊和二次電流分布模塊模擬仿真了螺旋管在10年腐蝕期間下的應力分布和腐蝕厚度，仿真結果如圖2所示。
圖1 幾何模型
應力分布
腐蝕厚度
圖2 仿真結果
感興趣的朋友，歡迎交流模型！
從數學角度，一般將偏微分方程分為橢圓型（影響域是橢圓的，與時間無關，且是空間內的閉區域，故又稱為邊值問題），雙曲型（步進問題，但依賴域僅在兩條特征區域之間），拋物型（影響域以特征線為分界線，與主流方向垂直；具體來說，解的分布與瞬時以前的情況和邊界條件相關，下游的變化僅與上游的變化相關；也稱為初邊值問題）；
從物理角度，一般將方程分為平衡問題（或穩態問題），時間步進問題。
兩種角度，有這樣的關系：橢圓型方程描述的一般是平衡問題（或穩態問題），雙曲型和拋物型方程描述的一般是步進問題。
至于具體的分類方法，大家可以參考一般的偏微分方程專著，里面都有介紹。關于各種不同近似水平的流體控制方程的分類，大家可以參考張涵信院士編寫《計算流體力學—差分方法的原理與應用》里面講的相當詳細。
三種類型偏微分方程的基本差別如下：
1）三種類型偏微分方程解的適定性（即解存在且唯一，并且解穩定）要求對定解條件有不同的提法；
2）三種類型偏微分方程解的光滑性不同，對定解條件的光滑性要求也不同；
橢圓型和拋物型方程的解是充分光滑的，因此對定解條件的光滑性要求不高。而雙曲型方程允許有所謂的弱解存在（如流場中的激波），即解的一階導數可以不連續，所以對定解條件的光滑性要求很高，這也正是采用有限元法求解雙曲型方程困難較多的原因之一。
3）三種類型偏微分方程的影響區域和依賴區域不一樣。
在雙曲型和拋物型方程所控制的流場中，某一點的影響區域是有界的，可采用步進求解。如對雙曲型方程求解時，為了與影響區域的特征一致，采用上風格式比較適宜。而橢圓型方程的影響范圍遍及全場，必須全場求解，所采用的差分格式也要采用相應的中心格式。
展開 ISBN：7307032562
系列：MATLAB工具系統叢書
尺寸：小16開
印張：13
印次：2
紙張：膠版紙
頁數：197
字數：239000
印刷時間：2004/07/01
版次：1
內容提要：
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
目錄：
前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若干程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 既然一個物理問題可以有多個等價的數學表達形式，為什么非從微分方程形式出發呢？他注意到了久被忽視的變分形式。為了克服傳統計算方法難以處理幾何形狀與材料的復雜性，難以保持物理問題的主要特征，馮康開辟了橢圓型方程計算方法的系統研究。在大量計算經驗的基礎上，通過系統的理論分析及總結提高，把變分原理與剖分逼近有機結合，既保持了物理問題的主要特性，又以“分整為零，裁彎取直，以簡馭繁，化難為易”的新思路，妥善解決了幾何形狀和材料的復雜性問題，創造了一整套從變分原理出發求解橢圓型微分方程問題的數值方法，形成了標準的算法形態，編制了通用的程序，及時解決了當時我國大型水壩的應力分析問題，并于1965年發表了“基于變分原理的差分格式”一文，在極其廣泛的條件下證明了方法的收斂性和穩定性，給出了誤差估計，從而奠定了后來在西方被稱為“有限元”的這一新的計算方法的嚴格數學理論，在遠比西方落后的計算機條件下，做出了領先于西方的工作，也為實際應用提供了可靠的理論保證。
有限元方法成功的關鍵是合理選取了適合原問題特性的數學形式，這使馮康堅信“理論上等價的，在實踐中未必等效”。從不同的數學形式出發，可能發展不同的數值計算方法，并產生不同的計算效果。按照這個思路，上世紀80年代初，馮康從穩態物理問題的計算方法研究，又轉向一個全新的研究領域--動力系統計算方法的研究。
二、創造辛算法
早在60年代，馮康在介紹自己的研究方法時就曾說過：“我的計算數學研究都不是從閱讀別人的論文開始的，而是從工程或物理原理出發的”。他總能以不斷實踐的科學精神，瞄準國家需求，站在學科前沿，提出有廣泛物理、工程背景的新課題，創建有堅實數學理論基礎的新方法。
馮康在成功地創始了有限元方法后，提出了哈密爾頓系統的辛幾何算法，又開辟了一個有廣闊應用前景的全新的研究領域。他為什么要進行這一方向的研究呢？
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應力腐蝕是指在特定應力條件下，金屬材料遭受腐蝕破壞的現象。它是由金屬表面與介質接觸時的化學反應和材料內部的應力相互作用導致的。應力腐蝕通常發生在金屬材料表面受到應力作用的情況下，同時接觸有特定的化學介質。應力可以來自外界應力（如拉伸、彎曲、擠壓等），也可以是由材料內部的殘余應力引起的。化學介質可以是溶液、氣體或其它特定的環境條件。應力腐蝕的破壞是一種在金屬材料表面出現局部腐蝕和裂紋的形式。這種破壞往往比較隱蔽
偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。
10 在數值計算中，偏微分方程的雙曲型方程、橢圓型方程、拋物型方程有什么區別？ （#143）
PS:這個問題想來應該是比較基礎的問題，既然沒人回答，我就插幾句吧；嘿嘿。
我們知道很多描述物理問題的控制方程最終就可以歸結為偏微分方程，描述流動的控制方程也不例外。
偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。
小波數值均勻化方法是由Dorbonuat、Enguqist提出的求解橢圓型方程的新型方法。該方法基于多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散算子，然后對離散算子進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。
多尺度有限元方法是由Babuska等提出的。
調和場滿足橢圓型偏微分方程，上同調群是拓撲結構，因此霍奇定理連接了分析和拓撲兩大領域，其自然推廣是指標定理。圖2顯示了一個虧格為二的曲面上，調和場所構成的群的基底。
圖3. 虧格為二的曲面上全純一形式的基底。
給定曲面上的一個調和場，我們將切矢量逐點圍繞法向量旋轉90度，得到的另外一個矢量場也是調和場，這里*被稱為霍奇星算子，代表旋轉90度的操作。稱之為是的共軛調和場。
比如，熱力平衡態的溫度分布滿足拉普拉斯方程，這是一個二階橢圓型偏微分方程，未知函數需要具有二階光滑性；用有限元的伽遼金法求解時，我們將拉普拉斯方程轉換成優化調和能量的問題，而調和能量只需要一階光滑性。
在瞬態問題中，給定初始條件時要注意的是：要針對所有計算變量，給定整個計算域內各單元的初始條件；初始條件一定是物理上合理的，要靠經驗或實測結
10 在數值計算中，偏微分方程的雙曲型方程、橢圓型方程、拋物型方程有什么區別？
我們知道很多描述物理問題的控制方程最終就可以歸結為偏微分方程，描述流動的控制方程也不例外。
算法與程序
第10章 偏微分方程數值解
10.1 雙曲型方程
10.1.1 波動方程
10.1.2 差分公式
10.1.3 初始值
10.1.4 達朗貝爾方法
10.1.5 給定的兩個確定行
10.1.6 習題
10.1.7 算法與程序
10.2 拋物型方程
10.2.1 熱傳導方程
10.2.2 差分公式
10.2.3 克蘭克-尼科爾森法
10.2.4 習題
10.2.5 算法與程序
10.3 橢圓型方程
目錄：
前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
