[分享]引自中科院的一篇文章，有助于有限元的理解

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2006年7月20日 13:11

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[分享]引自中科院的一篇文章，有助于有限元的理解有限元方法不是萬能的對同一個問題不同的計算方法得到不同的結果為什么呢，看看這篇文章實踐出題、直覺判斷、求異思維 ——馮康的創新要決作者：余德浩王占金馮康國際著名數學家，我國計算數學的奠基人和開拓者。中國科學院院士。1920年9月生于江蘇南京。他在大學期間，曾同時攻讀電機系、物理系和數學系的課程，1944年畢業于中央大學物理系。研究領域：拓撲群、廣義函數、應用數學、計算數學、科學與工程計算。代表性工作：“最小幾乎周期拓撲群”，解決了這一類李群的結構表征問題；建立了廣義函數的泛函對偶定理與“廣義梅林變換”；“基于變分原理的差分格式”，獨立于西方創始了有限元方法；提出了自然邊界歸化和超奇異積分方程理論，發展了有限元邊界元自然耦合方法；“論差分格式與辛幾何”，系統地首創辛幾何計算方法、動力系統及其工程應用的交叉性研究新領域。他主持的“有限元方法”，獲1982年國家自然科學獎二等獎；“地震勘探數值方法”，獲1987年國家科技進步獎二等獎；哈密爾頓系統的辛幾何算法，獲1997年國家自然科學獎一等獎。一、創立有限元方法眾所周知，自從牛頓創造微積分學并建立近代科學體系以來，數百年間，自然科學和工程技術中的許多問題被歸結為微分方程這一數學形式，而微分方程通常難以解析求解。上世紀四十年代以來，由于電子計算機的出現和發展，可以應用差分方法，以差商代替微商，近似求解某些微分方程問題。馮康敏銳地感悟到科學發展進入了新的轉折時期，計算數學必將大有可為。1957年他由數學所調到新組建的計算技術研究所任計算數學研究室負責人，其專業方向也由純粹數學轉到計算數學，短短幾年，他組織研究室的人員，用已有的差分方法解決了許多有應用背景的微分方程問題。幾乎與此同時，馮康的科研小組承擔了計算一系列水壩建設中大型彈性力學問題的國家任務。在實際計算過程中，馮康發現現有的計算方法對許多問題的求解并不適用，難以滿足工程應用的實際需求。他注意到同一個物理問題可以有多個數學表達形式，而這些數學形式在理論上是等價的。過去人們在求同思維的驅使下，往往只注意早已廣為人知的微分方程形式，而不注意其他形式。計算數學家也往往只研究已有的計算格式，或從微分方程形式去構造一些新的差分格式。但馮康并不滿足與此。求異思維使馮康決心創建和發展新的計算方法。既然一個物理問題可以有多個等價的數學表達形式，為什么非從微分方程形式出發呢？他注意到了久被忽視的變分形式。為了克服傳統計算方法難以處理幾何形狀與材料的復雜性，難以保持物理問題的主要特征，馮康開辟了橢圓型方程計算方法的系統研究。在大量計算經驗的基礎上，通過系統的理論分析及總結提高，把變分原理與剖分逼近有機結合，既保持了物理問題的主要特性，又以“分整為零，裁彎取直，以簡馭繁，化難為易”的新思路，妥善解決了幾何形狀和材料的復雜性問題，創造了一整套從變分原理出發求解橢圓型微分方程問題的數值方法，形成了標準的算法形態，編制了通用的程序，及時解決了當時我國大型水壩的應力分析問題，并于1965年發表了“基于變分原理的差分格式”一文，在極其廣泛的條件下證明了方法的收斂性和穩定性，給出了誤差估計，從而奠定了后來在西方被稱為“有限元”的這一新的計算方法的嚴格數學理論，在遠比西方落后的計算機條件下，做出了領先于西方的工作，也為實際應用提供了可靠的理論保證。有限元方法成功的關鍵是合理選取了適合原問題特性的數學形式，這使馮康堅信“理論上等價的，在實踐中未必等效”。從不同的數學形式出發，可能發展不同的數值計算方法，并產生不同的計算效果。按照這個思路，上世紀80年代初，馮康從穩態物理問題的計算方法研究，又轉向一個全新的研究領域--動力系統計算方法的研究。二、創造辛算法早在60年代，馮康在介紹自己的研究方法時就曾說過：“我的計算數學研究都不是從閱讀別人的論文開始的，而是從工程或物理原理出發的”。他總能以不斷實踐的科學精神，瞄準國家需求，站在學科前沿，提出有廣泛物理、工程背景的新課題，創建有堅實數學理論基礎的新方法。馮康在成功地創始了有限元方法后，提出了哈密爾頓系統的辛幾何算法，又開辟了一個有廣闊應用前景的全新的研究領域。他為什么要進行這一方向的研究呢？在1991年中國物理學會年會的邀請報告中，馮康提出了這樣一些關于動力系統的科學問題：在遙遠的未來，太陽系呈現什么景象？行星將在什么軌道上運行？地球會與其它星球相撞嗎？他說，也許有人認為，只要利用牛頓定律，按照現有的計算方法編個程序，再應用超級計算機進行計算，經過充分長的時間，總能得到結果。但這樣的計算結果可以相信嗎？實際上，對這樣復雜的計算，計算機或者根本得不出結果，或者得出一個完全錯誤的結果。即使每一步計算的誤差非常小，但誤差積累起來會使結果面目全非!這是計算方法問題，機器性能再好也無濟于事，編程技巧再高也是無能為力的。動力系統問題不同于橢圓邊值問題，有限元方法已不能很好解決此類問題。應該用什么樣的計算方法來計算動力系統問題呢？馮康在創始有限元方法的過程中已體會到，同一物理過程的各種等價的數學表述可能導致不等效的計算方法。有限元對橢圓邊值問題的成功是因為選擇了適當的力學體系和數學形式。有限元不能很好地解決動態問題則是由于拉格朗日力學體系不能很好地反映其本質特征。于是馮康又回到了物理原理。在數學物理方程中列于首位的經典力學方程，有三種等價的數學形式體系：牛頓力學體系，拉格朗日力學體系和哈密爾頓力學體系。其中哈密爾頓體系一直是物理學理論研究的出發點，它的應用涉及物理、力學和工程的眾多領域。但是針對哈密爾頓體系的計算方法直至80年代初仍是空白。為什么不能從哈密爾頓系統出發發展新的計算方法呢？于是馮康便開始這一方向的研究，他發現，唯有哈密爾頓力學體系才是可供選擇的研究動態問題的最適當的力學體系。由于辛幾何是哈密爾頓系統的數學基礎，馮康以他特有的數學直覺抓住了設計哈密爾頓系統數值方法的突破口---辛幾何方法。他組織研究隊伍對哈密爾頓系統的辛幾何算法進行系統的理論研究和廣泛的數值實驗，經過十余年堅持不懈的努力，終于取得了極其豐碩的成果。現在已知，傳統的算法除了少數例外，幾乎都不是辛算法，因此不可避免地帶有人為耗散性等歪曲體系特征的缺陷。而馮康等人提出的為數眾多的辛算法卻保持了體系結構，特別在穩定性與長期跟蹤能力上具有獨特的優點。已在我國的動力天文、大氣海洋、分子動力學等領域的計算中得到了成功的實際應用。深入的理論分析和大量的數值實驗令人信服地表明，辛算法解決了久懸未決的動力學長期預測計算問題。這一類新算法的出現甚至已改變了某些學科方向的研究途徑，也將在更多的領域得到更廣泛的應用。撰稿人：余德浩王占金點評：馮康先生研究工作的特點是瞄準國家需求，站在學科前沿，提出有廣泛物理、工程背景的新課題，創建有堅實數學理論基礎的新方法。他認為，反映物質世界的一個物理問題可以有多個數學表達形式，這些數學形式在理論上是等價的，但在實踐中未必等效。求異思維使他始終追求最符合實際、最有效的計算方法。他獨立于西方創建的有限元法和獨創的辛幾何算法就是反映其科學思維的典型，現已在大規模科學與工程計算中得到廣泛應用。實踐出題、直覺判斷、求異思維，加上孜孜不倦的努力和探索，這就是馮康成功的要訣。