橢圓型方程的案例
螺旋管的橢圓型缺陷應力腐蝕仿真 ￥1000
本案例建立了一帶有橢圓形缺陷的螺旋管模型，如圖1所示，基于COMSOL軟件的固體力學模塊和二次電流分布模塊模擬仿真了螺旋管在10年腐蝕期間下的應力分布和腐蝕厚度，仿真結果如圖2所示。
圖1 幾何模型
應力分布
腐蝕厚度
圖2 仿真結果
感興趣的朋友，歡迎交流模型！
偏微分方程的MATLAB解法
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
【《偏微分方程的MATLAB解法 》圖書目錄】 前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若乾程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 《偏微分方程的MATLAB解法》
ISBN：7307032562
系列：MATLAB工具系統叢書
尺寸：小16開
印張：13
印次：2
紙張：膠版紙
頁數：197
字數：239000
印刷時間：2004/07/01
版次：1
內容提要：
MATLAB是國際公認的最優秀的科技應用軟件之一,具有極高的編程效率和強大的作圖功能.本書詳細介紹了MATLAB6的偏微分方程工具箱,包括圖形用戶界面和函數命令的使用方法,通過典型議程和大量應用實例,讓讀者很快掌握解題方法。
本書既可作為大專院校師生的教材或教學參考書,也可作為科研及工程技術人員高效、實用的工具參考書。
目錄：
前言
第一章 概述
1 偏微分方程工具箱的功能
2 PDE Toolbox求解的問題及其背景
3 如何使用PDE Toolbox
4 解偏微分方程的一個例子
第二章 PDE圖形用戶界面
1 PDE Toolbox菜單
2 PDE工具欄
第三章 典型方程及應用實例
1 求解橢圓型方程的例子
2 求解拋物型方程的例子
3 求解雙曲型方程的例子
4 求解特征值問題的例子
5 應用模型
6 輸出計算結果的例子
7 PDE的M文件格式
8 用命令行解PDE的若干程序
第四章 PDE Toolbox中的命令簡介
1 PDE Toolbox中的函數及其分類
2 PDE數值計算函數簡介
3 用戶界面算法涵數簡介
4 幾何算法函數簡介
5 幾何繪圖函數簡介
6 通用算法
7 其他函數簡介
第五章 有限元法和有限差分法
第六章 常微分方程及方程組的解法
第七章 MATLAB的基礎知識
附錄一 MATLAB的函數命令
附錄二 根據有限元法用 MATLAB語言解PDE的程序
參考文獻
展開 fluent入門一般問題（二）
從數學角度，一般將偏微分方程分為橢圓型（影響域是橢圓的，與時間無關，且是空間內的閉區域，故又稱為邊值問題），雙曲型（步進問題，但依賴域僅在兩條特征區域之間），拋物型（影響域以特征線為分界線，與主流方向垂直；具體來說，解的分布與瞬時以前的情況和邊界條件相關，下游的變化僅與上游的變化相關；也稱為初邊值問題）；
從物理角度，一般將方程分為平衡問題（或穩態問題），時間步進問題。
兩種角度，有這樣的關系：橢圓型方程描述的一般是平衡問題（或穩態問題），雙曲型和拋物型方程描述的一般是步進問題。
至于具體的分類方法，大家可以參考一般的偏微分方程專著，里面都有介紹。關于各種不同近似水平的流體控制方程的分類，大家可以參考張涵信院士編寫《計算流體力學—差分方法的原理與應用》里面講的相當詳細。
三種類型偏微分方程的基本差別如下：
1）三種類型偏微分方程解的適定性（即解存在且唯一，并且解穩定）要求對定解條件有不同的提法；
2）三種類型偏微分方程解的光滑性不同，對定解條件的光滑性要求也不同；
橢圓型和拋物型方程的解是充分光滑的，因此對定解條件的光滑性要求不高。而雙曲型方程允許有所謂的弱解存在（如流場中的激波），即解的一階導數可以不連續，所以對定解條件的光滑性要求很高，這也正是采用有限元法求解雙曲型方程困難較多的原因之一。
3）三種類型偏微分方程的影響區域和依賴區域不一樣。
在雙曲型和拋物型方程所控制的流場中，某一點的影響區域是有界的，可采用步進求解。如對雙曲型方程求解時，為了與影響區域的特征一致，采用上風格式比較適宜。而橢圓型方程的影響范圍遍及全場，必須全場求解，所采用的差分格式也要采用相應的中心格式。
展開 
[分享]引自中科院的一篇文章，有助于有限元的理解
既然一個物理問題可以有多個等價的數學表達形式，為什么非從微分方程形式出發呢？他注意到了久被忽視的變分形式。為了克服傳統計算方法難以處理幾何形狀與材料的復雜性，難以保持物理問題的主要特征，馮康開辟了橢圓型方程計算方法的系統研究。在大量計算經驗的基礎上，通過系統的理論分析及總結提高，把變分原理與剖分逼近有機結合，既保持了物理問題的主要特性，又以“分整為零，裁彎取直，以簡馭繁，化難為易”的新思路，妥善解決了幾何形狀和材料的復雜性問題，創造了一整套從變分原理出發求解橢圓型微分方程問題的數值方法，形成了標準的算法形態，編制了通用的程序，及時解決了當時我國大型水壩的應力分析問題，并于1965年發表了“基于變分原理的差分格式”一文，在極其廣泛的條件下證明了方法的收斂性和穩定性，給出了誤差估計，從而奠定了后來在西方被稱為“有限元”的這一新的計算方法的嚴格數學理論，在遠比西方落后的計算機條件下，做出了領先于西方的工作，也為實際應用提供了可靠的理論保證。
有限元方法成功的關鍵是合理選取了適合原問題特性的數學形式，這使馮康堅信“理論上等價的，在實踐中未必等效”。從不同的數學形式出發，可能發展不同的數值計算方法，并產生不同的計算效果。按照這個思路，上世紀80年代初，馮康從穩態物理問題的計算方法研究，又轉向一個全新的研究領域--動力系統計算方法的研究。
二、創造辛算法
早在60年代，馮康在介紹自己的研究方法時就曾說過：“我的計算數學研究都不是從閱讀別人的論文開始的，而是從工程或物理原理出發的”。他總能以不斷實踐的科學精神，瞄準國家需求，站在學科前沿，提出有廣泛物理、工程背景的新課題，創建有堅實數學理論基礎的新方法。
馮康在成功地創始了有限元方法后，提出了哈密爾頓系統的辛幾何算法，又開辟了一個有廣闊應用前景的全新的研究領域。他為什么要進行這一方向的研究呢？
展開 對稱帶型方程組的解法
程序名稱
ldlt(a,n,iwb,p) ――對稱帶型方程組的解法
功 能
本程序用以求解帶型方程組
其中K（N，IWB）為等帶寬存儲的帶型矩陣，IWB為半帶寬。
使用說明
子程序語句 subroutine ldlt(a,n,iwb,p)
參數說明
◎ a 輸入參數，n×iwb個元素的二維實數組，存放系數矩陣K的上半帶區內的元 素。
◎ n 整變量，輸入參數，方程組的階數。
◎ iwb 整變量，輸入參數，半帶寬。
◎ p 輸入、輸出參數，載荷陣。開始時存放向量P；結束時存放解向量X。
方法簡介
二維等帶寬存儲的三角分解遞推公式為（半帶寬為D）：
行列的循環周界為：
回代的求解步驟為：
◎ 由LV＝P向前回代求解V；
◎ 求對角陣D的逆陣D－1；
◎ 由V'＝ D－1V求修正分解后的載荷陣V'；
◎ 由LTX＝V'向后回代求解基本未知量X。
展開 《數學物理方程的MATLAB解法與可視化》
的應用)
4.2.8圓柱內的溫度場(10的應用)
4.2.9電子透鏡(Jo，Io的應用)
4.2.10柱體外的電勢(Ko的應用)
4.3泊松方程與格林函數
4.3.1矩形區泊松方程
4.3.2球域的格林函數
4.3.3圓域的格林函數
第5章熱傳導方程
5.1一維熱傳導問題
5.1.1無限長細桿的熱傳導
5.1.2有限長細桿的熱傳導
5.1.3輸運問題(非齊次方程)
5.1.4第三類邊界條件下的細桿導熱問題
5.2二維熱傳導問題
5.3三維熱傳導問題
5.3.1球體內的熱傳導問題之一(jo的應用)
5.3.2柱體內的熱傳導
5.3.3球體內的熱傳導問題之二(j1的應用)
第6章波動方程
6.1一維波動問題
6.1.1限長的弦的自由振動
6.1.2兩端固定的弦振動問題之一(初位移不為零初速為零)
6.1.3兩端固定的弦振動問題之二(初位移為零初速不為零)
6.1.4兩端固定的弦振動問題之三(有阻尼)
6.1.5兩端固定的弦振動問題之四(有驅動力)
6.1.6兩端固定的弦振動問題之五(質量不均勻的弦)
6.1.7非齊次邊界條件下弦的振動
6.1.8桿的縱振動
6.2維波動問題
6.2.1矩形膜的振動
6.2.2圓膜的振動
6.3三維振動問題
6.3.1柱體內的振動
6.3.2柱體外的振動問題之一
6.3.3柱體外的振動問題之二
6.3.4偶極聲源
6.3.5四極聲源
第7章MATLAB的偏微分方程工具箱
7.1偏微分方程工具箱的功能演示
7.1.1泊松方程
7.1.2亥姆霍茲方程
7.1.3最小表面問題
7.1.4區域分解方法
7.1.5熱傳導方程
7.1.6波動方程
7.1.7橢圓型方程自適應解法
7.1.8泊松方程快速解法
7.2偏微分方程工具箱的功能
7.2.1可解方程的類型
7.2.2邊界條件
7.3_12具箱的用戶界面窗口
7.4用工具箱解偏微分方程的步驟
7.4.1設置定解問題
展開 Fluent經典問題
兩種角度，有這樣的關系：橢圓型方程描述的一般是平衡問題（或穩態問題），雙曲型和拋物型方程描述的一般是步進問題。
至于具體的分類方法，大家可以參考一般的偏微分方程專著，里面都有介紹。關于各種不同近似水平的流體控制方程的分類，大家可以參考張涵信院士編寫《計算流體力學—差分方法的原理與應用》里面講的相當詳細。
三種類型偏微分方程的基本差別如下：
1）三種類型偏微分方程解的適定性（即解存在且唯一，并且解穩定）要求對定解條件有不同的提法；
2）三種類型偏微分方程解的光滑性不同，對定解條件的光滑性要求也不同；
橢圓型和拋物型方程的解是充分光滑的，因此對定解條件的光滑性要求不高。而雙曲型方程允許有所謂的弱解存在（如流場中的激波），即解的一階導數可以不連續，所以對定解條件的光滑性要求很高，這也正是采用有限元法求解雙曲型方程困難較多的原因之一。
3）三種類型偏微分方程的影響區域和依賴區域不一樣。
在雙曲型和拋物型方程所控制的流場中，某一點的影響區域是有界的，可采用步進求解。如對雙曲型方程求解時，為了與影響區域的特征一致，采用上風格式比較適宜。而橢圓型方程的影響范圍遍及全場，必須全場求解，所采用的差分格式也要采用相應的中心格式。
以上只是一些較為膚淺的概念，如想深入，可參考相關的偏微分方程及數值計算等書籍
13 在GAMBIT中顯示的“check”主要通過哪幾種來判斷其網格的質量？及其在做網格時大致注意到哪些細節？
判斷網格質量的方面有：
Area單元面積，適用于2D單元，較為基本的單元質量特征。
Aspect Ratio長寬比，不同的網格單元有不同的計算方法，等于1是最好的單元，如正三角形，正四邊形，正四面體，正六面體等；一般情況下不要超過5：1.
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
小波數值均勻化方法是由Dorbonuat、Enguqist提出的求解橢圓型方程的新型方法。該方法基于多分辨分析，在細尺度上建立原方程的離散算子，然后對離散算子進行小波變換，得到了大尺度上的數值均勻化算子。此方法在大尺度上解方程，大大地減小了計算時間。
多尺度有限元方法是由Babuska等提出的。該法在宏觀尺度上進行網格剖分，然后通過在每個單元里求解細觀尺度的方程(構造線性或者振蕩的邊界條件)來獲得基函數。從而把細觀尺度的信息反應到有限元法的基函數里，使宏觀尺度的解包含了細觀尺度的信息。但多尺度有限元方法在構造基函數時需要較大的計算量。
轉自公眾號——ABAQUS大世界
旨在分享，若侵即刪.
展開 《數值方法（MATLAB版）——國外計算機科學教材系列》
9.1 微分方程導論
9.1.1 初值問題
9.1.2 幾何解釋
9.1.3 習題
9.2 歐拉方法
9.2.1 幾何描述
9.2.2 步長與誤差
9.2.3 習題
9.2.4 算法與程序
9.3 休恩方法
9.3.1 步長與誤差
9.3.2 習題
9.3.3 算法與程序
9.4 泰勒級數法
9.4.1 習題
9.4.2 算法與程序
9.5 龍格-庫塔方法
9.5.1 關于該方法的討論
9.5.2 步長與誤差
9.5.3 N=2的龍格-庫塔方法
9.5.4 龍格-庫塔-費爾伯格方法
9.5.5 習題
9.5.6 算法與程序
9.6 預報-校正方法
9.6.1 亞當斯-巴什福斯-莫爾頓方法
9.6.2 誤差估計與校正
9.6.3 實際考慮
9.6.4 米爾恩-辛普森方法
9.6.5 誤差估計與校正
9.6.6 正確的步長
9.6.7 習題
9.6.8 算法與程序
9.7 微分方程組
9.7.1 數值解
9.7.2 高階微分方程
9.7.3 習題
9.7.4 算法與程序
9.8 邊值問題
9.8.1 分解為兩個初值問題:線性打靶法
9.8.2 習題
9.8.3 算法與程序
9.9 有限差分方法
9.9.1 習題
9.9.2 算法與程序
第10章 偏微分方程數值解
10.1 雙曲型方程
10.1.1 波動方程
10.1.2 差分公式
10.1.3 初始值
10.1.4 達朗貝爾方法
10.1.5 給定的兩個確定行
10.1.6 習題
10.1.7 算法與程序
10.2 拋物型方程
10.2.1 熱傳導方程
10.2.2 差分公式
10.2.3 克蘭克-尼科爾森法
10.2.4 習題
10.2.5 算法與程序
10.3 橢圓型方程
10.3.1 拉普拉斯差分方程
10.3.2 建立線性方程組
10.3.3 導數邊界條件
10.3.4 迭代方法
10.3.5 泊松方程和亥姆霍茨方程
展開 偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
展開 
基礎課 | 說說偏微分方程
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有無窮多個，但是解決具體的物理問題的時候，必須從中選取所需要的解，因此，還必須知道附加條件。因為偏微分方程是同一類現象的共同規律的表示式，僅僅知道這種共同規律還不足以掌握和了解具體問題的特殊性，所以就物理現象來說，各個具體問題的特殊性就在于研究對象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。
展開 圣杯問題V：全純微分
調和場滿足橢圓型偏微分方程，上同調群是拓撲結構，因此霍奇定理連接了分析和拓撲兩大領域，其自然推廣是指標定理。圖2顯示了一個虧格為二的曲面上，調和場所構成的群的基底。
圖3. 虧格為二的曲面上全純一形式的基底。
給定曲面上的一個調和場，我們將切矢量逐點圍繞法向量旋轉90度，得到的另外一個矢量場也是調和場，這里*被稱為霍奇星算子，代表旋轉90度的操作。稱之為是的共軛調和場。我們將一對共軛的實調和場配對，得到復的全純一形式。
圖4. 虧格為一的曲面上的全純一形式。
圖5. 全純一形式誘導的水平和鉛直軌線。
共形映射 平面上的水平線和鉛直線拉回到曲面上，得到所謂的水平軌跡和鉛直軌跡，如圖5所示。
圖6. 黎曼面。
經典的教科書定義全純一形式如下。給定帶度量的可定向曲面，對于任意一點，存在一個包含該點的鄰域，在此鄰域上存在所謂的等溫坐標（isothermal parameters），使得黎曼度量的局部表示為。我們可以用等溫坐標構成整個曲面的圖冊，如圖6所示，那么所有局部坐標之間的變換函數都是復數值的全純函數（holomorphic function）。這樣的圖冊被稱為是共形圖冊，具有共形圖冊的曲面被稱為是黎曼面。有了共形圖冊，角度可以被定義。通常，共形圖冊也被稱為是共形結構。
全純二次微分
圖7.全純一形式的軌線和全純二次微分的軌線對比。
圖7顯示了全純一形式的軌線和全純二次微分軌線的對比，我們看到在正常點附近，兩者區別不大；單是在零點附近，兩者性狀差異較大。全純一形式的零點是8個方格粘在一起，全純二次微分的零點是6個方格貼在一起。實際上，全純一形式整體平方后也是全純二次微分，因此全純二次微分是全純一形式的自然推廣。
圖8. 共形映射和擬共形映射對比。
展開 圣杯問題 IV 三位一體
在波音航空公司中，網格生成這一步驟占據整個流程70%以上的時間和成本，真正求解偏微分方程只占30%不到的成本。其次，數學上的處理也比較間接而迂回。物理規律一般表示成高階偏微分方程，而有限元方法一般用一階光滑的分片線性函數。為了處理光滑階數不夠的矛盾，有限元方法一般采用偏微分方程的變分形式求得弱解。比如，熱力平衡態的溫度分布滿足拉普拉斯方程，這是一個二階橢圓型偏微分方程，未知函數需要具有二階光滑性；用有限元的伽遼金法求解時，我們將拉普拉斯方程轉換成優化調和能量的問題，而調和能量只需要一階光滑性。
Tom Hughes博士深刻地洞察到了CAD和CAE基本數據結構不一致性這一基本問題，提出了等幾何分析（Isogeometric Analysis）這一顛覆的理論框架，引發了CAD/CAE領域的一場革命。等幾何分析的根本思想就是統一幾何設計和幾何分析的數據結構，工業設計和工業仿真都用樣條表示。這樣做的好處是顯而易見的。
首先，等幾何分析方法具有理論處理的便捷性。在等幾何分析的框架下，未知函數被表示成NURBS基函數的線性組合。線性組合系數是待定的未知變量。因為NURBS基函數具有高階可微，被高階微分算子作用后所得函數依然是可以被表示為NURBS函數。這樣，我們可以用待定系數法來求解偏微分方程。例如，為了求解拉普拉斯方程，我們在定義域中選取一些采樣點，然后利用未知函數在采樣點處的拉普拉斯等于零來求解待定系數。這種方法被稱為是colocation方法，它不需要將偏微分方程轉換成變分能量，因此數學手法上更為簡潔直接。今年（2016年），在等幾何分析領域的學者們在理論上首次證明了通過精心挑選采樣點的位置，colocation方法求得解的精度達到伽遼金法求得解的精度。這在理論上將等幾何分析方法提到了和有限元法平起平坐的地位。
展開 