Timoshenko梁的案例
【基礎討論】Bernoulli-Euler 梁和Timoshenko 梁的區別
Bernoulli-Euler 梁理論（也叫工程梁理論）的假設是：中線的法平面保持平面和法向，其橫向剪切應變為0，也就是其轉角 sita=dw/dx，其彎曲應變為位移場的二階導數，也就是位移場要保持C1型連續.
Timoshenko 梁（也叫剪切梁）的基本假設是：中線的法平面保持平面，但是不一定再保持法向，其橫向剪切不一定為0，其值 gama=sita-dw/dx. 其彎曲應變可以由非獨立變量w 和 sita 得到，而w和sita 只需要c0連續。
Timoshenko 梁有兩個非獨立變量，而Bernoulli-Euler 梁只有一個非獨立變量。我們知道在厚梁中，橫向剪切不可以忽略，所以使用Bernoulli-Euler 梁不再合適，而對于Timoshenko 梁，當梁厚較小時，就需要構造合適的單元來消除剪切應變，使橫向剪切能夠趨向于0。 這就希望大家討論，剪切自鎖產生的機理是什么？消除剪切自鎖的方式有哪些？能否通過新的假設來構造梁單元？
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列37： 梁單元差異（1）-理論基礎
1.1.2 梁單元理論分類
在彎曲時，梁的下端面變短被壓縮了，上端面變長被拉長了，那么中間必然有個長度不變的平面，就稱為中性面。受力前截面和中性面是垂直的，那么彎曲后的截面和中性面就有兩種可能：
（1） 如果是細長梁，那么可以認為依然垂直，此時就稱為Euler梁。
（2） 如果是厚梁，那么不再垂直，此時就稱為Timoshenko梁。顯然Timoshenko梁覆蓋了Euler梁的功能，在細長梁的情況應該就和Euler梁完全一致。
分類是極其簡單的，但也許有人會認為Euler梁就等價于三次梁，即用三次形函數來表示位移，而Timoshenko梁是一次梁，即用一次線性函數來表示位移，個人理解不是這樣的。
（1） 首先是梁包括軸向拉伸、扭轉、橫向彎曲、剪切行為等，有限元中對不同行為都是用不同次數的形函數的，上面所說的一次和三次僅僅是橫向彎曲時采用幾次多項式的問題。
（2） 無論是Euler還是Timoshenko梁，形函數不一定非要用一次和三次，你完全可以用三次形函數來表示Euler梁，或者用五次形函數來表示Timoshenko梁，甚至壓根不是用多項式直接來做剛度陣中的形函數，譬如很多人算變截面梁的剛度陣時采用的是基于力的形函數，先計算柔度矩陣，再計算剛度矩陣。
計算橫向剪切應變時：
Euler梁和Timoshenko梁區分的唯一標識是有限元中是否考慮橫向剪切效應。如采用Euler梁，那么顯然
使得橫向剪切應變
也就沒有剪切效應。而Timoshenko計算出來的橫向剪切效應就不能忽略了。
1.2 Abaqus的梁單元
Abaqus最常用的梁單元類型為B33和B31，分別對應Euler和Timoshenko梁。在Mesh模塊的ElementType（就是有個SAR圖標的按鈕）中設置，如下。
展開 ABAQUS好像有那個巖土仿真牛逼癥！
我們接著上一期講
巖土工程常用的單元
除了實體單元外，還有梁單元
梁單元
如果一個構件橫截面的尺寸遠小于其軸向尺度(一般的判據為小于1/10), 并且沿長度方向的應力是最重要的因素，就可以用梁單元進行模擬。
在巖土工程中，梁單元可用來模擬樁或其他結構構件。
在ABAQUS中梁單元的名字以字母“B"開頭。下一個字符表示單元的維數：“2”指的是二維梁單元，“3”指的是三維梁單元第三個字符表示插值的階數：“1”表示線性插值，“2”表示二次插值，“3”則表示三次插值。B21和B31單元(線性梁單元)以及B22和B32單元(二次梁單元)是考慮剪切變形的Timoshenko梁單元，它們既適應于模擬剪切變形起重要作用的深梁，又適用于模擬剪切變形不太重要的細長梁。
提示：在ABAQUS中，梁單元是梁柱類單元，即可以產生軸向變形、彎曲變形和扭轉變形。Timoshenko 梁單元還考慮了橫向剪切變形的影響。
1.單元庫
梁單元庫中有二維和三維的線性、二次及三次梁單元。ABAQUS/Explicit 中沒有三次梁單元。
2.自由度
二維梁單元的每個節點有3個自由度：2個平動自由度(1和2)和一個繞模型所在平面法線的轉動自由度(6)。
三維梁單元每個節點有 6個自由度：3個平動自由度(1-3)和3個轉動自由度(4-6)。“開口截面"型的梁還有一個表示梁橫截面翹曲量的附加自由度(7)。
3.單元性質
由于梁單元中的節點坐標只定義了梁的長度，用戶必須給出梁截面特性，即材料、梁截面輪廓線的幾何尺寸和形狀。ABAQUS/CAE中提供了一系列內置的梁截面，方便用戶定義。
展開 梁構件，你不得不知道的事
01 梁的支座有哪些類型？
02 靜定梁主要有哪些類型？
03 Euler梁是什么？
不考慮梁的剪力和剪切變形，梁處于純彎曲狀態，只有正應力。
04 Timoshenko梁是什么？
考慮梁的剪切變形，但假設截面上切應力是均布的。
05 純彎曲和橫力彎曲的區別是什么？
純彎曲是指不考慮梁截面上的剪力，橫力彎曲則是要考慮剪力。
06 工程中，什么情況下是純彎曲，什么情況下是橫力彎曲？
答：絕大多數情況下，梁的跨度會超過其高度的5倍以上，梁的受力就可以按純彎曲計算，也就意味著忽略了剪力。因為這種情況下，和彎曲引起的正應力相比，切應力是很小的。相反，如果跨度和高度比較接近時，則需要考慮剪力，按橫力彎曲算，這種梁稱為深梁。
07 彎曲引起的正應力怎么算？
涉及到的關鍵詞：中性層，中性軸，慣性矩，抗彎模量。以下公式，包辦一切梁，深梁除外。
08 雖然經常不需要考慮梁的切應力（因為切應力通常比較小），但考慮的話，梁的切應力會是怎么樣的？
Timoshenko梁假設切應力在截面上是均布的，但其實根本就不是均布的！！
09 校核梁的強度，一般只需要考慮彎曲正應力，換句話說，就是調節彎矩和截面的抗彎模量。所以如何設計梁才合理？
第一，合理布置支座，比如
附：
01 什么是靜矩？（也叫一次矩）
注意積分變量是面積。
02 什么是慣性矩?（也叫二次矩，和梁截面正應力的計算相關，重要）
注意積分變量是面積，被積函數是平方形式。
展開 
如何使用ANSYS繪制梁的剪力圖和彎矩圖
Timoshenko 梁理論
鐵摩辛柯（Timoshenko）在1921－1922年提出了Timoshenko梁理論，這個理論同時考慮了梁的彎曲變形引起的轉動慣量和梁的剪切變形，大大改善了以往的梁理論。該理論使得梁在模態階數不是很高時，即使不是細長的情況下，它的動力參數的精度也得到了很好的改善，因此Timoshenko梁理論也被廣泛的運用到很多實際工程上。
彎曲問題求解
材料
力學中對于梁結構的分析和計算，是基于歐拉-伯努利梁理論的。我們以材料力學書上例4-9為例，講解下使用ANSYS Workbench繪制剪力和彎矩圖。
展開 ANSYS APDL BEAM 單元的截面設置
【附注】
把在ansys中使用梁單元的主意事項列于下：
1. beam188、beam189在section中設定參數；而beam3、beam4則必須在實常數中設置，其中橫截面積、彎曲慣性矩以及扭轉慣性矩是必須填入的，截面厚度（TKY、TKZ）只在圖形顯示中有用，計算的時候并不用到它，看一下梁單元剛度矩陣的推導就可明白，ansys的理論手冊也有梁單元剛度陣元素的詳細介紹。beam188、beam189 是從ansys5.5版本開始出現的兩種新的梁單元，基于Timoshenko梁理論，適于細長梁的計算分析，考慮了剪切變形的影響。
2. 梁單元以實體的形式顯示。大家知道，在ansys中，梁單元默認都是顯示的線條。但是我們可以將賦予了section屬性的梁顯示成實體，這樣做的好處是，更加形象，直觀，可以對梁的布置正確與否作出準確的判斷。方法是：在Utility Menu->PlotCtrls->Style->Size and Shape菜單下，將Display of element后的單選打開，即使其為on的狀態。
3. 單元彎矩圖的繪制。使用plls命令，或則GUI：main menu—general postproc—plot result—contour plot—line elem res.
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列5：單元正確性驗證 ￥1
結果如下：
考核內容
考核結果
說明
剛度矩陣
梁完全和理論一致，殼很大不同
Abaqus和iSolver內部B31完全按照Timoshenko梁理論實現 ，殼算法不同，結果不同
分片試驗
Abaqus和iSolver都通過
-
基本算例
iSolver結果和Abaqus部分結果只有計算機精度差異，部分存在差異
Abaqus和iSolver所采用的單元算法不同，在網格細化后結果可以更加接近
詳細研究方法，見附件：
有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列5：單元正確性驗證(SnowWave02 20180613).pdf
操作視頻: https://www.yqgqt.org.cn/college/video/c12884
文章包括的Abaqus模型如下：
展開 ANSYS結構單元簡介
BEAM188/189單元是基于Timoshenko梁理論的，即一階剪切梁，考慮剪切變形的影響，所謂一階是指截面的切應力為均布，學過材料力學都知道，其實截面的切應力不是均布的，這就會引起截面的翹曲。雖然BEAM188/189單元節點的默認自由度為三個沿節點坐標系的平移和三個繞節點坐標系的轉動，但也可以通過單元關鍵選項來設置翹曲自由度(WARP)，筆者一般不考慮翹曲。
3. BEAM4一般筆者是不用的，在ANSYS的HELP文檔中，已經沒有BEM3和BEAM4的單元介紹，但它們仍然是可用的，只是ANSYS會建議你用BEAM188/189來替代它們而已。
殼單元：SHELL63，SHELL181
對筆者來說，
1. 遇到板殼問題，會使用SHELL181單元，不設實常數，通過截面類型(SECTYPE)以及截面參數(SECDATA)來定義截面特性；材料參數有彈性模量、密度、泊松比、阻尼、等，一般只用到彈性模量、泊松比以及密度（考慮自重時）。SHELL181單元是基于Mindlin-Reissner板殼理論的，考慮了剪切變形的影響，筆者建議聯系有關梁的理論來理解這個問題。
2. 一般不用SHELL63，SHELL63基于Kirchhoff-Love板殼理論的，不考慮剪切變形的影響，筆者建議聯系有關梁的理論來理解這個問題。
彈簧單元：COMBIN14。
1. COMBIN14 的實常數(R)有剛度系數、阻尼系數、等。
2. COMBIN14 的單元關鍵選項 KEYOPT2 可取1-6，分別表示 UX、UY、UZ、ROTX、ROTY、ROTZ 的自由度；單元關鍵選項 KEYOPT3 可取0，表示具有UX、UY、UZ 三個自由度；可取1，表示 ROTX、ROTY、ROTZ 三個自由度；可取2，表示具有UX、UY 兩個自由度。
展開 ansys單元類型簡介
如果這些影響都不需要，可使用beam3，2維彈性梁。
Beam24 3維薄壁梁。單軸元素，任意截面都有拉壓、彎曲和St. Venant扭轉能力。可用于任何敞開的和單元截面。該元素每個節點有6個自由度：x,y,z和繞x,y,z方向。該元素在軸向和自定義的截面方向都具有塑性，徐變和膨脹能力。若不需要這些能力，可用彈性梁beam4或beam44。Pipe20和beam23也具有塑性，徐變和膨脹能力。截面是通過一系列的矩形段來定義的。梁的縱軸向方向由第三個節點指明。
Beam44 3維彈性錐形不對稱梁。單軸元素，具有拉壓扭和彎曲能力。該元素每個節點有6個自由度：x,y,z和繞x,y,z方向。該元素允許每個端點具有不均勻幾何特性，并且允許端點與梁的中性軸偏移。若不需要這些特性，可采用beam4。該元素的2維形式是beam54。該元素也提供剪應變選項。還提供了輸出作用于單元上的與單元同方向的力的選項。具有應力強化和大變形能力。
Beam54單軸元素，拉壓和受彎能力. 每個節點有3個自由度。該元素允許在端點有不均勻幾何性質。允許端點偏移梁的軸心。無塑性徐變或膨脹能力。有應力強化能力。剪切變形和彈性基礎影響也體現在選項中。還可打印作用于元素上的沿元素方向的力。
Beam188 3維線性有限應力梁。適用于分析短粗梁結構。該元素基于timoshenko梁理論。包括剪應變。Beam188是一個三維線性（2節點）梁。每個節點有6或7個自由度，具體依賴于keyopt(1)的值。Keyopt(1)=0為每個節點6個自由度。包括x,y,z方向和繞x,y,z方向。＝1還考慮了扭轉自由度。該元素適用于線性，大旋轉和大應變非線性。包括應力強化項在任何分析中，都缺省為nlgeom=on.。該選項為元素提供了分析曲屈、側移和扭轉的能力。
Beam1893維二次有限應力梁。適用于分析短粗梁結構。
展開 有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列6：General梁單元剛度矩陣 ￥1
chapter=1
梁的靜力分析結果校核視頻演示任意分段梁的靜力分析，證明iSolver的分析結果和Abaqus沒有誤差，有兩個算例：Generalized梁和L型梁。
==總結==
General梁的B31單元的剛度矩陣在Timoshenko梁理論基礎上的修正如下表：
項次
剛度
修正
不修正
說明
1
軸向拉伸剛度
√
2
橫向彎曲剛度
√
采用減縮積分
3
軸向拉伸和橫向彎曲耦合剛度
√
根據形心偏置進行修正
4
軸向扭轉剛度
√
剪切中心的偏置會影響抗扭剛度系數J
5
橫向剪切剛度
√
增加了一個幾何因子，使得細長梁的時候該項趨于0。
6
軸向扭轉和橫向剪切耦合剛度
√
根據剪切中心的偏置進行修正。
7
其它元素
√
都為0
詳細研究方法，見附件：
有限元理論基礎及Abaqus內部實現方式研究系列6：General梁單元剛度矩陣(SnowWave02 20180830).pdf
==以往的系列文章==
第一篇：S4殼單元剛度矩陣研究。介紹Abaqus的S4剛度矩陣在普通厚殼理論上的修正。
http://www.yqgqt.org.cn/content/post/338859
第二篇：S4殼單元質量矩陣研究。介紹Abaqus的S4和Nastran的Quad4單元的質量矩陣。
http://www.yqgqt.org.cn/content/post/343905
第三篇：S4殼單元的剪切自鎖和沙漏控制。
展開 ANSYS單元類型
如果這些影響都不需要，可使用beam3，2維彈性梁。
Beam24 3維薄壁梁。單軸元素，任意截面都有拉壓、彎曲和St. Venant扭轉能力。可用于任何敞開的和單元截面。該元素每個節點有6個自由度：x,y,z和繞x,y,z方向。該元素在軸向和自定義的截面方向都具有塑性，徐變和膨脹能力。若不需要這些能力，可用彈性梁beam4或beam44。Pipe20和beam23也具有塑性，徐變和膨脹能力。截面是通過一系列的矩形段來定義的。梁的縱軸向方向由第三個節點指明。
Beam44 3維彈性錐形不對稱梁。單軸元素，具有拉壓扭和彎曲能力。該元素每個節點有6個自由度：x,y,z和繞x,y,z方向。該元素允許每個端點具有不均勻幾何特性，并且允許端點與梁的中性軸偏移。若不需要這些特性，可采用beam4。該元素的2維形式是beam54。該元素也提供剪應變選項。還提供了輸出作用于單元上的與單元同方向的力的選項。具有應力強化和大變形能力。
Beam54單軸元素，拉壓和受彎能力. 每個節點有3個自由度。該元素允許在端點有不均勻幾何性質。允許端點偏移梁的軸心。無塑性徐變或膨脹能力。有應力強化能力。剪切變形和彈性基礎影響也體現在選項中。還可打印作用于元素上的沿元素方向的力。
Beam188 3維線性有限應力梁。適用于分析短粗梁結構。該元素基于timoshenko梁理論。包括剪應變。Beam188是一個三維線性（2節點）梁。每個節點有6或7個自由度，具體依賴于keyopt(1)的值。Keyopt(1)=0為每個節點6個自由度。包括x,y,z方向和繞x,y,z方向。＝1還考慮了扭轉自由度。該元素適用于線性，大旋轉和大應變非線性。包括應力強化項在任何分析中，都缺省為nlgeom=on.。該選項為元素提供了分析曲屈、側移和扭轉的能力。
Beam189 3維二次有限應力梁。適用于分析短粗梁結構。
展開 
ABAQUS網格劃分
梁單元類型選擇
1 在任何包含接觸的問題中，應使用B21或B31單元（線性剪切變形梁單元）
2 如果橫向剪切變形很重要，則應采用B22和B32單元（二次Timoshenko梁單元）
3 在ABAQUS/Standard的幾何非線性模擬中，如果結構非常剛硬或非常柔軟，應使用雜交單元，例如B21H喝B32H單元。
4 如果在ABAQUS/Standard中模擬具有開口薄壁橫截面的結構，應使用基于橫截面翹曲理論的梁單元，例如B31OS、B32OS
abaqus網格劃分.doc
展開 案例20-基于模態分析法的印刷電路板組件動態仿真
這些是厚梁結構（長度/直徑≈10），它們使用BEAM188建模。
BEAM188使用Timoshenko梁理論，該理論包括剪切變形效應，是分析中等短梁結構的最精確的梁單元之一。使用主要使用六面體網格對電路板和實體劃分網格，從而使每個PCB具有14600個節點。電路板和IC封裝均由聚乙烯材料制成。支柱由鋁合金制成。模型的節點總數為44097，包含26046個單元。
接觸建模
粘接和柔性面-面接觸對用于定義IC封裝和電路板之間的接觸。接觸和目標表面用于將IC封裝連接到電路板。接觸表面用CONTA174單元建模，目標表面用TARGE170單元建模。面-面接觸單元與節點-節點單元相比具有以下優點：
• 支持接觸面和目標面上的低階和高階單元。（SHELL181是線性單元，而SOLID186是二次單元）
• 對目標面的形狀沒有限制。表面不連續性可能是由制造缺陷或網格離散造成的。
如下圖所示，每個電路板有15個觸點對。
材料屬性
支撐柱、板和IC封裝的材料特性如下：
邊界條件和加載
PCB組件的板與五個支撐柱連接。柱的底部（y=-60）在所有自由度上都受到約束，如下圖所示：
以下示例輸入顯示了如何應用固定約束：
上述輸入中的N_BASE_EXCITE指定了支撐柱與底座連接處的節點。對于PSD分析，荷載以基礎激勵的形式施加在N_base_EXCITE集合上。
不同頻率點輸入頻譜的PSD值如下圖所示。1.0E-02和1.0E+01之間的輸入段有2個中間點，以獲得PSD積分過程中使用的曲線擬合多項式的良好擬合。
展開 『轉貼』橡膠O型圈阻尼器在高速旋轉臺上的應用研究
建立基于Timoshenko連續梁理論的轉子有限單元分析模型，求解模態轉速、模態振型和不平衡響應，用Kelvin-Voigt粘彈性線性模型表示橡膠O型圈的動態特性，試驗和理論計算結果比較表明，不平衡響應試驗值和理論值一致，轉子越過一階臨界轉速并升速到2倍臨界轉速以上穩定運行。EORD能有效抑制高速轉子的不平衡響應，提高轉子系統的穩定性。作為一種低成本潔凈的阻尼組件，EORD具有優良的阻尼減振性能。
關鍵詞:橡膠O型圈阻尼器;轉子動力學;有限單元模型;不平衡響應
點評:
『轉貼』MADYN——專業轉子動力學分析軟件(ZT)
通過接口由文本文件導入轉子數據
l 強大的求解能力
軟件基于有限元方法，采用了Timoshenko梁理論，并利用了4階Hermit單元來模擬轉子系統的的彈性、慣性和陀螺效應。軟件可求解阻尼和非阻尼狀態下的臨界轉速、模態、穩定性、不平衡響應和瞬態響應。
1、 靜力學分析
重力
齒輪載荷
靜態力
靜態力組合
2、 特征值分析
3、 頻響分析
不平衡反應
簡諧力相應
諧波激勵
4、 瞬態分析
瞬態力相應分析
瞬態基礎加速度相應
瞬態載荷組合
5、 參數變量分析
臨界速度圖
Camphell 圖
剛度和阻尼變化圖
FCP 抗扭剛度變化圖
l 豐富的后處理
MADYN 提供詳細而豐富的后處理：
1. 繪圖詳細且具有針對性，包括完整的信息并提供可選的復雜信息說明
2. 模型分層顯示：軸承、軸、聯接、齒輪、系統
3. 力、力矩、應力、變形結果的顯示（沿軸向結果）
4. 時間相關變形的詳細說明
5. 共振曲線（可選擇方向,主軸軌道,相對振動）
6. 特征值的分析的圖表
7. 參數分析的圖表
8. 瞬態相應曲線
l功能齊全的液膜軸承模塊
內置了由德國內燃機協會贊助研發的軟件包ALP3T，可準確計算層流和紊流情況下的各種液膜系數。
可分析3種情況下的液膜軸承載荷：
1. 流速穩定、力可變
2. 流速可變、力穩定
3.
展開 