離散方程的案例
CFD理論|離散方程的誤差及穩定性
離散方程的截斷誤差隨時間、空間步長趨近零時也趨于零，則說明離散方程與 微分方程相容。
在數值模擬過程中，離散化的目的是什么？如何對計算區域進行離散化？離散化時通常使用哪些網格？如何對控制方程進行離散？離散化常用的方法有哪些？它們有什么不同？
首先說一下CFD的基本思想：把原來在時間域及空間域上連續的物理量的場，如速度場，壓力場等，用一系列有限個離散點上的變量值的集合來代替，通過一定的原則和方式建立起關于這些離散點上場變量之間關系的代數方程組，然后求解代數方程組獲得場變量的近似值。
然后，我們再討論下這些題目。
離散化的目的： 我們知道描述流體流動及傳熱等物理問題的基本方程為偏微分方程，想要得它們的解析解或者近似解析解，在絕大多數情況下都是非常困難的，甚至是不可能的，就 拿我們熟知的Navier-Stokes方程來說，現在能得到的解析的特解也就70個左右；但為了對這些問題進行研究，我們可以借助于我們已經相當成熟的 代數方程組求解方法，因此，離散化的目的簡而言之，就是將連續的偏微分方程組及其定解條件按照某種方法遵循特定的規則在計算區域的離散網格上轉化為代數方 程組，以得到連續系統的離散數值逼近解。
計算區域的離散及通常使用的網格： 在對控制方程進行離散之前，我們需要選擇與控制方程離散方法相適應的計算區域離散方法。網格是離散的基礎，網格節點是離散化的物理量的存儲位置，網格在離 散過程中起著關鍵的作用。網格的形式和密度等，對數值計算結果有著重要的影響。一般情況下，二維問題，有三角形單元和四邊形，三位問題中，有四面體，六面 體，棱錐體，楔形體及多面體單元。網格按照常用的分類方法可以分為：結構網格，非結構網格，混合網格；也可以分為：單塊網格，分塊網格，重疊網格；等等。 上面提到的計算區域的離散方法要考慮到控制方程的離散方法，比如說：有限差分法只能使用結構網格，有限元和有限體積法可以使用結構網格也可以使用非結構網 格。
控制方程的離散及其方法：上面已經提 到了離散化的目的，控制方程的離散就是將主控的偏微分方程組在計算網格上按照特定的方法離散成代數方程組，用以進行數值計算。
展開 CFD理論|離散方程的守恒性
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?《數值計算》導讀：討論離散方程的守恒性。
數值計算的目的是獲得盡可能精確的解，實質上離散方程的誤差都是由離散化引起。但是僅僅從誤差判斷離散格式是不全面的，需要進一步研究格式本特性與物理問題之間的聯系。
對于一般工程問題，能夠兼顧離散方程的守恒性、遷移性和人工粘性（假擴散）的離散格式就可以滿足工程計算的需求。本文首先討論離散方程的守恒性。
01
守恒性的定義
如果一個離散方程在定義域的任意有限空間做求和運算所得的表達式滿足該區域上物理量守恒關系時，則稱該離散格式具有守恒特性。
對流-擴散方程的離散過程中，擴散項的中心差分具有優良的物理特性及計算精度。對流項二階導數的離散方式是決定方程是否守恒的關鍵。
02
守恒性的分析
守恒性的分析步驟：
1）首先將方程離散為顯式格式；
2）然后對其中的項采取要研究的格式進行離散；
3）最后在一定范圍對離散方程求和。
展開 數值計算|控制方程的離散2
，一旦離散方程完成建立，型線就不再具有任何意義。
數值計算|控制方程的離散1
導讀：介紹在有限差分法中控制方程的離散方法。
在有限差分法中，通過將控制方程中的各階導數用相應的差分表達式來代替而形成離散方程。
《計算流體動力學分析(CFD軟件原理與應用)》
控制方程離散 24
2.1 離散化概述 24
2.1.1 離散化的目的 24
2.1.2 離散時所使用的網格 25
2.1.3 常用的離散化方法 25
2.2 有限體積法及其網格簡介 26
2.2.1 有限體積法的基本思想 26
2.2.2 有限體積法所使用的網格 27
2.2.3 網格幾何要素的標記 28
2.3 求解一維穩態問題的有限體積法 28
2.3.1 問題的描述 28
2.3.2 生成計算網格 29
2.3.3 建立離散方程 29
2.3.4 離散方程的求解 31
2.4 常用的離散格式 31
2.4.1 術語與約定 32
2.4.2 中心差分格式 33
2.4.3 一階迎風格式 34
2.4.4 混合格式 36
2.4.5 指數格式 36
2.4.6 乘方格式 37
2.4.7 各種離散格式的匯總 38
2.4.8 低階格式中的假擴散與人工粘性 39
2.5 空間離散的高階離散格式 39
2.5.1 二階迎風格式 39
2.5.2 QUICK格式 40
2.5.3 對高階格式的討論 43
2.6 各種離散格式的性能對比 44
2.7 一維瞬態問題的有限體積法 45
2.7.1 瞬態問題的描述 45
2.7.2 控制方程的積分 46
2.7.3 顯式時間積分方案 48
2.7.4 Crank-Nicolson 時間積分方案 49
2.7.5 全隱式時間積分方案 50
2.8 關于有限體積法的進一步討論 51
2.8.1 被求函數的離散格式 51
2.8.2 方程組的形式 51
2.8.3 源項的處理 52
2.8.4 有限體積法的四條基本原則 52
2.9 二維與三維問題的離散方程 54
2.9.1 二維問題的基本方程 54
2.9.2 二維問題的控制體積 54
2.9.3 二維問題控制方程的積分 55
2.9.4 二維問題的離散方程 56
2.9.5 三維問題的離散方程
展開 數值計算|基本思想及常用數值方法
基本思想
數值計算就把原來空間及時間坐標上連續的物理場（速度場、溫度場、壓力場等），用一系列有限個離散點（節點）上的值的集合來代替，通過離散方程建立這些離散點上變量值之間的關系，求解這些離散方程，最終獲得所求解變量的近似值。具體流程如下圖所示。
數值方法
1.有限差分法（FDM，finite difference method）
將求解區域用與坐標軸平行的一系列網格線條的交點所組成的點的集合來代替。
每個節點上，將控制方程中每一個導數用相應的差分表達式來代替，從而在每個節點上形成一個代數方程。
每個方程中都包括了本節點及其附近一些節點上的未知值，求解這些代數方程就獲得了所需的數值解。
缺陷：數值解的守恒性無法保證、復雜幾何的適應性。
2.有限容積法（FVM，finite volume method）
計算區域劃分為一系列控制容積，每個控制容積都有一個節點來代表。
通過將守恒型的控制方程對控制容積做積分來導出離散方程
導出過程中，需要對界面上被求函數本身及其一階導數作出假定，這種構成方式就是有限容積法中的離散格式。
優勢：保證了守恒性，并且離散方程具有明確的物理意義。
展開 計算流體力學常用的五大類數值方法簡介
有限體積法
有限體積法又稱為控制體積法，其導出離散方程的基本思路是：
(1)將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，每一個控制體積都有一個節點作代表，將待求的守恒型微分方程在任一控制體積及一定時間間隔內對空間與時間作積分；
(2)對待求函數及其導數對時間及空間的變化型線或插值方式作出假設；
(3)對步驟1中各項按選定的型線作出積分并整理成一組關于節點上未知量的離散方程。有限體積法著重從物理觀點來構造離散方程，每一個離散方程都是有限大小體積上某種物理量守恒的表示式，推導過程物理概念清晰，離散方程系數具有一定的物理意義，并可保證離散方程具有守恒特性，這是有限體積法的主要優點。
就離散方法而言，有限體積法可視作有限元法和有限差分法的中間物，該方法的主要缺點是不便對離散方程進行數學特性分析。
展開 有限體積法
其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。
從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積發的基本方法。
有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。有限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恒。
就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數。
展開 你想知道的CFD仿真分析流程在這里！ 附計算流體動力學分析：CFD軟件原理與應用下載
由于所引入的因變量在節點之間的分布假設及推導離散化方程的方法不同，就形成了有限差分法、有限元法、有限元體積法等不同類型的離散化方法。
0
4
離散初始條件和邊界條件
前面所給定的初始條件和邊界條件是連續性的，如在靜止壁面上速度為0，現在需要針對所生成的網格，將連續型的初始條件和邊界條件轉化為特定節點上的值，如靜止壁面上共有90個節點，則這些節點上的速度值應均設為0。這樣，連同在各節點處所建立的離散的控制方程，才能對方程組進行求解。
0
5
給定求解控制參數
在離散空間上建立了離散化的代數方程組，并施加離散化的初始條件和邊界條件后，還需要給定物理參數等。此外，還要給定迭代計算的控制精度、瞬態問題的時間步長和輸出頻率等。
0
6
求解離散方程
在進行了上述設置后，生成了具有定解條件的代數方程組。
展開 PHOENICS程序應用-理論基礎部分
[[x,y]]=max(x,y)
將源項S盡可能地線性化為 S=SC+SPFP
至此，我們可以把二維的離散化方程寫成:
apFp=aeFE+awFw+aNFN+asFs+b
b=ScDyDx
式中:
ap=aE+aw+aN+as-spDxDy
至此，方程離散化已完成。
有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。
有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。
小結
1、三種方法都是通過離散的方式求解微分方程，但離散方式不同，比如有限差分是用差分近似微分，有限元法是用插值函數來近似等；
2、三種方法適應的問題不同，比如有限差分法適應線性的區域規則的問題，而有限元法可計算非線性不規則區域問題；
3、三種方法都可以做到高精度。
下載地址：有限體積法基礎
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計算流體力學是多領域較差的學科，涉及計算機科學、流體力學、偏微分方程的數學理論、計算幾何、數值分析等，這些學科的交叉融合，相互促進和支持，推動了學科的深入發展。
CFD方法是對流場的控制方程用計算數學的方法將其離散到一系列網格節點上求其離散的數值解的一種方法。控制所有流體流動的基本定律是：質量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律。由它們分別導出連續性方程、動量方程（N-S方程）和能量方程。應用CFD方法進行平臺內部空氣流場模擬計算時，首先需要選擇或者建立過程的基本方程和理論模型，依據的基本原理是流體力學、熱力學、傳熱傳質等平衡或守恒定律。
由基本原理出發可以建立質量、動量、能量、湍流特性等守恒方程組，如連續性方程、擴散方程等。這些方程構成連理的非線性偏微分方程組，不能用經典的解析法，只能用數值方法求解。
求解上述方程必須首先給定模型的幾何形狀和尺寸，確定計算區域并給出恰當的進出口，壁面以及自由面的邊界條件。而且還需要適宜的數學模型及包括相應的初值在內的過程方程的完整數學描述。
求解的數值方法主要有有限差分法（FDM）和有限元（FEM）以及有限分析法（FAM），應用這些方法可以將計算域離散為一系列的網格并建立離散方程組，離散方程的求解是由一組給定的猜測值出發迭代推進，直至滿足收斂標準。常用的迭代方法有Gauss-Seidel迭代法、TDMA方法、SIP法及LSORC法等。
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計算流體力學是多領域交叉的學科，涉及計算機科學、流體力學、偏微分方程的數學理論、計算幾何、數值分析等，這些學科的交叉融合，相互促進和支持，推動了學科的深入發展。
CFD方法是對流場的控制方程用計算數學的方法將其離散到一系列網格節點上，求其離散的數值解的一種方法。控制所有流體流動的基本定律是：質量守恒定律、動量守恒定律和能量守恒定律，由它們分別導出連續性方程、動量方程（N-S方程）和能量方程。應用CFD方法進行平臺內部空氣流場模擬計算時，首先需要選擇或者建立過程的基本方程和理論模型，依據的基本原理是流體力學、熱力學、傳熱傳質等平衡或守恒定律。
由基本原理出發可以建立質量、動量、能量、湍流特性等守恒方程組，如連續性方程、擴散方程等。這些方程構成聯立的非線性偏微分方程組，不能用經典的解析法，只能用數值方法求解。
求解上述方程必須首先給定模型的幾何形狀和尺寸，確定計算區域并給出恰當的進出口、壁面以及自由面的邊界條件，而且還需要適宜的數學模型及包括相應的初值在內的過程方程的完整數學描述。
求解的數值方法主要有有限差分法(FDM) 和有限元(FEM)以及有限分析法 (FAM)，應用這些方法可以將計算域離散為一系列的網格并建立離散方程組，離散方程的求解是由一組給定的猜測值出發迭代推進，直至滿足收斂標準。常用的迭代方法有Gauss-Seidel 迭代法、TDMA方法、SIP法及LSORC法等。利用上述差分方程及求解方法，即可編寫計算程序或選用現有的軟件實施過程的CFD模擬。
二、CFD分析過程
進行CFD分析的一般過程如下所示：
1. 將流動問題表示為表達式
分析的第一步，通過尋求以下問題的答案將流動問題表示為表達式。
分析的目的是？
達到這些目的最簡單的途徑是？
包含怎樣的幾何？
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，并對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。 (5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。 (7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值
3 有限體積法（Finite Volume Method）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變量的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。
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