有限單元法的案例
清華大學王勖成教授著的：有限單元法
有限單元法_王勖成
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『分享』有限單元法基本原理和數值方法
有限單元法基本原理和數值方法
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《有限單元法(21世紀全國應用型本科土木建筑系列實用規劃教材) 》
【I S B N】7302064628
【版次】1
【開本】16
【頁數】0
【裝 幀】簡裝
【內容簡介】
本書系統地闡述了有限單元法的基本原理、數值方法、計算機實現和它在固體力學領域各類問題中的應用。
全書分為兩篇共17章。第1篇（第1-7章）為基本部分，包括有限單元法的理論基礎——加權余量法和變分原理；彈性力學問題有限單元法的一般原理和表達格式，單元和插值函數的構造，等參元和數值積分，有限單元法應用中的若干實際考慮，線性代數方程組的解法，有限單元法的計算機程序。第2篇（第8-17章）為專題部分，包括（桿、板、殼）結構力學問題，場和動力問題，以及（材料、幾何、接觸）非線性問題3個部分。本書反映了有限單元法的學科上和應用方面的發展水平，凝聚了作者本人和所在教研組長期教學實踐的經驗。書中每章附有復習思考題和練習題。書末還附有用于求解不同類型線彈性問題計算機實踐的教學程序。本書可作為力學、機械、動力、航空航天、土木、水利等專業本科生和研究生的教材，也可作為上述專業教師和工程技術及科研開發人員的參考書。
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矩陣的本質就是由一系列的方程組成，如果想給節點1賦值，可以令u1的系數等于1，u2, u3, u4的系數等于0，然后令結果等于1，那么最終的矩陣就會變為：
后續剩下的內容就是非常簡單的線性代數運算了~
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有限單元法在傳熱學中的應用（第三版）
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應用三維有限單元法計算應力強度因子
應用三維有限單元法計算應力強度因子
來源：中國機械工程 作者：林曉斌
摘要 描述了兩種基于有限單元計算面形裂紋應力強度因子的方法，建議了一種創造三維有限單元網格的途徑。計算方法的精度通過和其它解析解或數值解的比較得到了說明。
關鍵詞 應力強度因子 有限元 損傷容限設計 斷裂評定
無論在損傷容限設計還是在缺陷評定階段，工程師們需要知道正在分析的構件中裂紋的應力強度因子，因為判斷含裂紋構件的斷裂，或者計算剩余疲勞壽命大多依賴于這一參量。因此，在斷裂力學發展中，如何求取應力強度因子一直是一個重要的課題。當前已有許多方法可用來計算應力強度因子，較為典型的有解析法、邊界配位法、有限單元法、邊界元素法、體力法、權函數法和線彈簧模型。利用這些方法，大量的應力強度因子解已經獲得，已出版的應力強度手冊［1］中收編了許多典型的解。盡管如此，工程師們仍然會感到自己所需要的應力強度因子解很難找到，這是因為要解決的工程問題往往是一些受復雜載荷的構件，包含的裂紋也往往是一些不規則裂紋。
本文簡單介紹了兩種基于三維有限單元法計算面形裂紋應力強度因子的方法。有限單元法已經成為工程設計分析領域中一個強有力的計算工具，它能模擬非常復雜的構件。基于有限元的應力強度因子計算方法，自然也將具有卓越的工程能力。除了計算方法的介紹以外，還將簡單描述一種簡化網格的生成方法。最后提供了一些所得到的典型應力強度因子解，并和大家熟知的解進行了比較，以說明本文所描述的方法的可靠性。
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有限單元法及程序設計 劉爾烈主編
一本很好的介紹程序設計的中文版入門、提高用書
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[有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬于加權剩余法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬于有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理，如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出準確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），并將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項采取不同的插值函數。
4 多重網格方法通過在疏密不同的網格層上進行迭代,以平滑不同頻率的誤差分量.具有收斂速度快,精度高等優點.多重網格法基本原理微分方程的誤差分量可以分為兩大類，一類是頻率變化較緩慢的低頻分量；另一類是頻率高，擺動快的高頻分量。一般的迭代方法可以迅速地將擺動誤差衰減，但對那些低頻分量，迭代法的效果不是很顯著。高頻分量和低頻分量是相對的，與網格尺度有關，在細網格上被視為低頻的分量，在粗網格上可能為高頻分量。
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有限元法求解彈性力學問題的基本步驟，為什么應力解答的程度低于位移解答精度？
（1） 步驟2彈性單元的離散化2選擇位移函數3建立單元剛度方程4建立整體平衡方 程5,求解整體平衡方程
（2） 位移法求解，位移是直接解，應力是一個與位移導數相關的派生解，這就導致了應 力解答的精度低于位移解答精度。
二. 簡述單元剛度矩陣和整體剛度矩陣的性質
單元剛度矩陣性質48
1單元剛度矩陣每一列元素表示一組平衡力系，對于平面問題，每列元素之和為零。
2. 單元剛度矩陣中對角線上的元素為正。
3單元剛度矩陣為對稱矩陣 4單元剛度矩陣為奇異矩陣
整體剛度矩陣性質
1每一列元素表示一組平衡力系，対于平面問題，每列元素之和為零。
2. 單元剛度矩陣中對角線上的元素為正。
3單元剛度矩陣為對稱矩陣
4單元剛度矩陣為奇異矩陣，排除整體剛度位移后為正定矩陣。
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關于有限單元法中節（結）點與積分點的幾點釋疑
節點和積分點是有限單元法（FEM）的兩個基本概念，初涉有限元計算的同志往往在這點上產生混淆，假設導師面試的時候，問單元應力是什么，若回答不慎，將貽笑大方，得不償失。本文試圖以簡略易懂的說法來闡述節點和積分點的區別。
1.節點位移是有限元法的基本未知量。節點構筑了問題域的幾何離散化形狀，節點是形函數的零點，通常形函數是以節點為依據進行假設的。形函數決定了單元內部各點運動的位移模式（常用帕斯卡三角形來選擇單元位移模式），這樣就形成了數學上所說的插值。
有限元法的原理就是將問題域分割成N多小單元，在每個單元內采用簡單的函數來近似表達單元的真實位移，將各單元再連接起來，就可以近似描述整個問題域的運動。因此，有限元法從根本上就是精確的，而不是準確的。
2.積分點是單元進行數值積分的已知量。有限元法中一般采用高斯積分，但是積分方法不限于高斯積分，如果有人用了Irons積分或者Hammer積分，請不要驚訝。在形成單元剛度矩陣和進行節點應力磨平的時候，需要高斯積分。
以等參單元為例，其剛度矩陣
，這個就需要數值積分來快速計算，高斯點坐標及權系數如表4.2[王勖成]所示。
老師授課時一般對常應力單元進行推導，而常應力單元只有一個積分點，被積函數是常數，因此體現不出高斯積分來。很多老師對高斯積分在單元剛度矩陣的應用不予細述，導致部分同學對單元積分點認識不足。
3.單元應力指的是高斯積分點的應力，而非節點上的應力。有了位移模式，再通過虛功原理得到單元剛度矩陣，然后聚合總剛，求解平衡方程，就會把基本未知量——節點位移求出來了。通過節點位移得到單元應變結果，利用物理方程求得單元應力結果。
在等參元中，單元中n+1階(n=p-m)高斯積分點上的應變或應力近似解比其它部位具有較高的精度，因此我們稱(n+1)階高斯積分點是等參元中的最佳應力點。
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有限單元法在傳熱學中的應用
王勖成的有限單元法的答案
王勖成的有限單元法的答案 國內我覺得最好的一本有限元書了
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有限單元法計算溫度場的例子
有限單元法計算溫度場的例子
溫度描述：一個桿件，半徑為2in，長度為9in，左邊的溫度為200F,周圍環境的溫度為0F,桿件的導熱率KXX=3 Btu/(h-in-F),桿件同周圍環境的換熱系數為h=1.0 Btu/(h-in2-F).
所有的幾何條件可以作為變量輸入，有限元的劃分份數也可以自己控制。結果文件在output文件中。
程序見附件。
heatexample132.rar
