非線性偏微分方程的案例
軸向變速運動弦線的非線性振動的穩態響應及其穩定性
研究具有幾何非線性的軸向運動弦線的穩態橫向振動及其穩定性，軸向運動速度為常平均速度與小簡諧漲落的疊加應用Hamilton原理導出了描述弦線橫向振動的非線性偏微分方程，直接應用于多尺度方法求解該方程，建立了避免出現長期項的可解性條件，得到了近倍頻共振時非平凡穩態響應及其存在條件，給出數值例子說明了平均軸向速度、軸向速度漲落的幅值和頻率的影響，應用Liapunov線性化穩定性理論,導出倍頻參數共振時平凡解和非平凡解的不穩定條件，給出數值算例說明相關參數對不穩定條件的影響
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展開 偏微分方程的起源 附偏微分方程陳祖墀下載
和歐拉同時代的瑞士數學家丹尼爾·伯努利也研究了數學物理方面的問題，提出了解彈性系振動問題的一般方法，對偏微分方程的發展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門學科的內容。
偏微分方程得到迅速發展是在十九世紀，那時候，數學物理問題的研究繁榮起來，許多數學家都對數學物理問題的解決做出了貢獻。這里應該提一提法國數學家傅里葉，他年輕的時候就是一個出色的數學學者。在從事熱流動的研究中，寫出了《熱的解析理論》，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對偏微分方程的發展的影響是很大的。
偏微分方程的內容
偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內容？這里我們可從一個例子的研究加以介紹。
弦振動是一種機械運動，當然機械運動的基本定律是質點力學的 F=ma，但是弦并不是質點，所以質點力學的定律并不適用在弦振動的研究上。然而，如果我們把弦細細地分成若干個極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個質點，這樣我們就可以應用質點力學的基本定律了。
弦是指又細又長的彈性物質，比如弦樂器所用的弦就是細長的、柔軟的、帶有彈性的。演奏的時候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬倍。當演奏的人用薄片撥動或者用弓在弦上拉動，雖然只因其所接觸的一段弦振動，但是由于張力的作用，傳播到使整個弦振動起來。
用微分的方法分析可得到弦上一點的位移是這一點所在的位置和時間為自變量的偏微分方程。偏微分方程又很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。上述的例子是弦振動方程，它屬于數學物理方程中的波動方程，也就是雙曲型偏微分方程。
展開 『分享』Flomerics (高級培訓：網格劃分技巧 & convergence 
Flomerics convergence and troubleshooting
收斂的定義
終止標準
導致收斂問題的原因
殘差曲線診斷
改善收斂
Solution Control設置
PRO-Active技術
Convergence
Flotherm 求解一組 偶合非線性偏微分方程（來源于Navier-Stokes方程）
Flotherm 采用迭代來求解方程（Simple算法，Patankar and Spalding）
求解收斂的準則
......
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高級培訓：網格劃分技巧.part2.rar
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展開 【數值算法】系數矩陣非對稱時，線性方程組如何求解？-穩定雙共軛梯度法(Bicgstab)求解線性方程組
在前面的文章和中表明共軛梯度法是求解對稱正定線性方程組的一種有效方法，當針對不同的系數矩陣采用不同的預處理方式時，其可以以較少的迭代次數獲得較高精度的解。然而，該方法的一個缺點就是其只能適用于對稱正定系數矩陣，當系數矩陣不再是對稱正定時，此方法可能失效。
以下舉例：
上面矩陣A為非對稱矩陣，采用共軛梯度法求解過程如下：
該方程組采用共軛梯度法迭代4862次依然未收斂。因此，對于該非對稱方程，可以認為，共軛梯度法幾乎是失效的。
在實際工程中，有限元方法形成的剛度系數以對稱正定居多，但是實際上也存在非對稱的可能，例如，當材料本構采用摩爾-庫倫本構時，其形成的剛度矩陣就有可能會是非對稱的，此時如果是使用商業軟件，應當在軟件中選擇非對稱求解器。如果是自主編程且采用迭代法求解線性方程組，則需要找到一種適用于非對稱矩陣的求解方法。
常見的非對稱系數矩陣求解方法主要有：廣義最小殘差法(GMRES)，雙共軛梯度法（Bicg）穩定雙共軛梯度法(BiCGStab)，穩定混合雙共軛梯度法（BiCGStab(l)），這些方法相對于常規的共軛梯度法在推導上均增加了一些難度，實際推導往往較為復雜。本文不展開推導，僅對穩定雙共軛梯度法(BiCGStab)的偽代碼作簡要粘貼。
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數值傳熱學 附數值傳熱學下載
那么對應的方程就是導熱方程、對流方程和熱輻射方程，這三個方程本質上都是一個方程——能量守恒方程。所以理論上，只要我們求解了能量守恒方程，我們就能知道換熱器的溫度場與傳熱系數，所有的熱性能就都知道了，我們也能不用做實驗了。因此求解能量守恒方程是工業界的一個很現實的需求，所以計算就真的就是計算，就是解方程算數的一個過程。
那什么是數值傳熱學？那就是如何解導熱方程、如何解對流傳熱方程、如何解熱輻射方程的這么一個學科。
原則上只要一個學科能夠提出一些相應的定律，他就可以發展出、來一些相應的數值學科。這也就不難理解計算流體力學、計算固體力學等一系列學科。
那么傳熱學方程如何解呢？這正是我們這門課程所要解決的問題。這個方法大致來說就是分兩步：
第一步就是將我們的傳熱學的偏微方程變成一個代數方程組，這個代數方程組在理論上與我們的微分方程非常接近，接近到什么程度呢？理論上可以無限接近。
第二步就是如何來解這個代數方程組。于是我們就有了——有限差分法，通過有限差分法就可以將我們的二階非線性偏微分方程變成一個代數方程組。有了代數方程組就可以解出來了，也就是線性代數的直接解法和迭代求解。這個解代數方程組的技術非常的成熟，我們可以直接使用，當然有限差分法有很多問題，于是我們就針對傳熱學方程的特點，提出了一個更合適的有限體積法。但是不論哪種方法，它們的目的都是一樣的，就是把傳熱學的微分方程變成一個代數方程組。所以計算傳熱學很簡單，就是上述的兩種步驟。
數值傳熱學對高數以及寫程序只有比較基礎的要求，我們只要使用基礎的數學知識就可以進行學習。
下載地址：數值傳熱學
展開 非線性微分方程.pdf
如題
我的“仿真”歷程（4）
如流體的運動方程，N-S方程。
第2步：由于數學模型（或控制方程），大多是一個非線性偏微分方程，直接求解非常困難。因此一般采取一定的方法，將其轉換成積分形式。如有限體積法，就是在控制容積上進行積分。
第3步：求解精確的積分值也非常困難，不過數學家也找到了計算積分的近似方法，如高斯數值積分。這樣可以將積分方程轉換成一個線性方程組。
第4步：使用矩陣方法，求解線性方程組。如高斯消元法，雅可比迭代法等。
第5步：提取并顯示結果。
經過了上面一步步的假設和近似，計算結果也離理論解越來越遠，一般認為偏離在10%以內都是可以接受的。
計算過程明確了，要學習的內容也就確定了：
對應第1步，要學習專業領域的知識，最起碼專業術語要知道，這個是必須的。
對應第2步：要學有限元理論和專業領域的數值模擬原理。有限元理論，推薦曾攀老師的《有限元分析基礎》只要這一本書就足夠了，大家可以百度一下，能下載電子版。專業書籍盡量找相應的高校獲獎教材，比如，塑性加工，就用《金屬塑性成形有限元數值模擬》，這類教材一本就夠了。這兩種書是必須的。
對應第3步，可以學習《數值分析》（喬治梅森大學，蒂莫西·索爾），這個是可選的，有興趣的朋友可以看看，看不懂也沒關系（說實話自己也沒看懂）。
對應第4步，求解方法也可以參考《數值分析》。另外，可以看看徐明強博士的《微軟高性能計算服務器》，可以對并行計算，對集群有個大致的了解。這本書可以百度一下下載電子版。
對應第5步就是軟件操作了。 對于軟件，建議買一本中文教材入門用，一本就可以。
展開 [轉貼] 非線性微分方程的求解
[轉貼] 非線性微分方程的求解
下面是單自由度的非線性微分方程的求解程序（分段函數）。多自由度的正在努力中，希望能和大家多多交流！
主流CFD仿真軟件概述與比較--CAE工程師必讀
CFD技術描述質量傳輸、動量傳輸和能量傳輸三種過程，并通過數值方法在一個控制體內將這三種守恒的數學方程通過數值方法來進行求解，獲取豐富的流場信息，得到越來越多CAE工程師的關注。
在CAE分析中，流體求解常用有限體積法，借鑒有限元的思想，同樣進行離散并構造節點間的插值函數，求解節點因變量。但有限元由節點組成單元，因變量在單元體內分布變化，變化規律由節點之間的插值函數變化體現；而有限體積則是點轄屬體積，直接求解點上的因變量，根據插值函數對點轄體積積分獲取全場變量分布。
三大通用CFD軟件Fluent、CFX、STAR-CD/CCM+是CFD/CAE工程師打交道最多的。Fluent軟件于1998年率先被引入國內，通用性最強，湍流模型、輻射模型全面，歐拉多相流計算模型也具備優勢；STAR-CD/CCM+的燃燒模型、拉氏多相流模型更擅勝場，并且具備Trim網格，處理結構復雜模型有一定優勢；CFX中規中矩，良好的前后處理接口是其賣點。
雖然通用CFD軟件方興未艾，但由于CFD技術在數值理論（N-S方程不封閉、非線性偏微分方程求解算法待完善）、物理模型（湍流模型、轉捩模型、燃燒模型等）、網格效應、驗證確認等方面的疑難，通用CFD軟件的應用仍存在局限性與較高的使用門檻，CFD仿真結果的精度與CAE工程師的水平具備明顯的關聯關系。
為了發揮CFD技術在工程領域的應用價值，專用CFD軟件順勢而生，諸如專注運動機械與泵閥模擬的PumpLinx、擅長自由液面分析的Flow-3D、通用并長于處理旋轉機械的NUMECA、電子產品熱分析專家FloTHERM、多相流反應器仿真利器Barracuda等，都在各自的領域獨樹一幟、傲視群雄。
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CFD技術描述質量傳輸、動量傳輸和能量傳輸三種過程，并通過數值方法在一個控制體內將這三種守恒的數學方程通過數值方法來進行求解，獲取豐富的流場信息，得到越來越多CAE工程師的關注。
在CAE分析中，流體求解常用有限體積法，借鑒有限元的思想，同樣進行離散并構造節點間的插值函數，求解節點因變量。但有限元由節點組成單元，因變量在單元體內分布變化，變化規律由節點之間的插值函數變化體現；而有限體積則是點轄屬體積，直接求解點上的因變量，根據插值函數對點轄體積積分獲取全場變量分布。
三大通用CFD軟件Fluent、CFX、STAR-CD/CCM+是CFD/CAE工程師打交道最多的。Fluent軟件于1998年率先被引入國內，通用性最強，湍流模型、輻射模型全面，歐拉多相流計算模型也具備優勢；STAR-CD/CCM+的燃燒模型、拉氏多相流模型更擅勝場，并且具備Trim網格，處理結構復雜模型有一定優勢；CFX中規中矩，良好的前后處理接口是其賣點。
雖然通用CFD軟件方興未艾，但由于CFD技術在數值理論（N-S方程不封閉、非線性偏微分方程求解算法待完善）、物理模型（湍流模型、轉捩模型、燃燒模型等）、網格效應、驗證確認等方面的疑難，通用CFD軟件的應用仍存在局限性與較高的使用門檻，CFD仿真結果的精度與CAE工程師的水平具備明顯的關聯關系。
為了發揮CFD技術在工程領域的應用價值，專用CFD軟件順勢而生，諸如專注運動機械與泵閥模擬的PumpLinx、擅長自由液面分析的Flow-3D、通用并長于處理旋轉機械的NUMECA、電子產品熱分析專家FloTHERM、多相流反應器仿真利器Barracuda等，都在各自的領域獨樹一幟、傲視群雄。
展開 轉貼：變參數非線性方程組的求解！
變參數非線性方程組的求解！
對于求解非線性方程組一般用fsolve命令就可以了，但是對于方程組中某一系數是變化的，該怎么求呢？
%定義方程組如下，其中k為變量
function F = myfun(x,k)
H=0.32;
Pc0=0.23;W=0.18;
F=[Pc0+H*(1+1.5*(x(1)/W-1)-0.5*(x(1)/W-1)^3)-x(2);
x(1)-k*sqrt(x(2))];
%求解過程
H=0.32;
Pc0=0.23;W=0.18;
x0 = [2*W; Pc0+2*H]; % 取初值
options = optimset('Display','off');
k=0:0.01:1; % 變量取值范圍[0 1]
for i=1:1:length(k)
kk=k(i);
x = fsolve(@(x) myfun(x,kk), x0, options);%求解非線性方程組
x1(i)=x(1);
x2(i)=x(2);
end
plot(k,x1,'-b',k,x2,'-r');
xlabel('k')
legend('x1','x2')
[ 本帖最后由 studyboy 于 2006-7-30 17:38 編輯 ]
圖片附件: k-x1.x2.bmp (2006-7-5 23:07, 689.12 K)
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Python 求解偏微分方程 1D下的熱傳導方程 ￥2.22
Python 求解偏微分方程 1D下的熱傳導方程
非線性代數方程組與定理機器證明.rar
非線性代數方程組與定理機器證明.rar1理論 數學
非線性代數方程組與定理機器證明.part1.rar
非線性代數方程組與定理機器證明.part2.rar
FEA 或 CFD 以獲得更好的熱解精度？
在 FVM 中，偏微分方程的體積積分使用散度定理轉換為表面積分。FVM 是 1D 或 2D 有限差分法的體積模擬；它通常用于流動或通量問題，例如 3D 中的平流或擴散。此外， Navier-Stokes 方程中的非線性對流項使 CFD 解決方案適用于涉及流體流動的熱問題，主要是因為對流傳熱僅在存在流體的情況下發生。
使用 CFD 工具，可以分析固體域和流體域之間的熱傳遞。這被稱為共軛傳熱 (CHT)。CHT 模型有效地用于冷卻應用。在熱交換器中，強制對流用于冷卻管內的熱流體，由壁隔開，其中傳導是管外壁和內壁之間的熱傳遞模式。強制對流有助于在 CHT 模型中實現高傳熱率。使用 CHT 方法，直接計算壁的傳熱系數，而不是根據經驗公式進行簡化。
使用 FEA 進行熱分析
FEA 使用有限元法 (FEM)，主要用于求解固體中的傳導熱傳遞。從熱學角度來看，FEA 以簡化的方式考慮對流和輻射效應，并為傳熱系數設置邊界條件。FEA的缺點是收斂性和穩定性。在非自伴隨 3D 非線性偏微分方程系統中，FEA 解可能會變得不穩定并偏離真實解。這是由于控制方程中的特定非線性項引起的。這使得 FEA 無法解決流體流動傳熱問題。
FEA 主要用于結構分析，并補充 CFD 原型測試以進行多學科系統分析。用于應力分析的熱應變加載是 FEA 用于熱分析的一個示例。
耦合 FEA 和 CFD
我們周圍的大多數能源系統都結合了不同的能量形式，因此有必要在不同層面評估系統。例如，飛機輪胎在轉彎時的熱機械行為會因摩擦而在滑道上產生熱量；該分析有助于研究橫向摩擦與散熱之間的關系，以避免熱失控。
為了在多學科層面解決問題，Cadence 不斷致力于開發和獲取能夠實現系統級分析的解決方案。
展開 非線性方程組解法----討論算法實現------專題
因為要用UL迭代法計算非線性大變形問題，為提高精度，用弧長法求解非線性方程組！
多謝幫忙！
