擴展有限元法的案例
裂縫——擴展有限元法
有限元模擬裂縫通常采用分離裂紋模型、分布裂縫模型和內嵌裂縫單元模型。分離裂縫模型需預設裂縫擴展路徑或不斷調整網格；分布裂縫模型有應力鎖死問題；內嵌裂縫單元模型單元間不協調。
擴展有限元法（XFEM: eXtend Finite Element method）是一種新的數值方法，裂縫擴展過程模擬中，無需預設開裂路徑和調整網格。
附件是我收集的幾篇有關論文，其中有基于ABAQUS平臺進行的裂縫分析，有興趣的可以研究一下，有什么進展希望能夠共享 。
擴展有限元法1.rar
擴展有限元法2.rar
展開 Abaqus擴展有限元法計算三維裂紋的擴展Step by Step ￥3
Abaqus擴展有限元法計算三維裂紋的擴展-01-20.pdf
《Composite Structures》：XFEM+UDMGINI實現復合材料擴展有限元分析
FNORMAL的定義略為復雜，在Abaqus中，斷裂面法線方向的參考坐標系并非當前鋪層的材料坐標系，且纖維和基體的斷裂面法線方向定義也不同，因此需要作一番推導。2021年發表于《Composite Structures》的一篇論文《Failure analysis of composite laminates under transverse shear load via XFEM》給出了纖維斷裂及基體斷裂模式下斷裂面法線方向的表達式，并采用有限元法（FEM）和擴展有限元法（XFEM）對復合材料層壓板橫向剪切試驗進行了數值分析。通過擴展有限元法得到的裂紋擴展路徑與試驗結果非常吻合，相比有限元法，裂紋更加干凈清晰。
圖1 基體斷裂面法線方向
圖2 計算結果與試驗結果對比：（a）試驗應變場及破壞模式（b）有限元法（c）擴展有限元法
圖3 裂紋擴展路徑
另外，小編按照上述方法對±45°板拉伸試驗進行了預測分析，得到的裂紋擴展路徑與試驗情況也十分接近，可以證實，將先進的復合材料失效理論與擴展有限元法相結合，可以較好地獲得復合材料結構的失效模式。當然，目前LaRC05準則已在商業軟件中集成，如果您有更好的強度理論，可以自己編寫一下UDMGINI子程序嘗試一下。
圖4 ±45°層壓板面內拉伸裂紋擴展
原始文獻：Jia L , Zhang C , Hu Z , et al. Failure analysis of composite laminates under transverse shear load via XFEM[J]. Composite Structures, 2021, 262:113615.
展開 #裂紋任意路徑擴展---擴展有限元單元法XFEM與圍線積分（+網格重劃分）對比
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</div><p> 擴展有限元單元法XFEM與圍線積分（+網格重劃分）結果對比</p><p>*********************************************************************************************************</p><p>前面已經講述了模擬裂紋沿著任意路徑擴展的幾種方法，包括擴展有限元XFEM與網格重劃分，批量插入cohesive單元，自帶材料損傷等，在上一個帖子我們重點介紹了圍線積分（+網格重劃分）來模擬裂紋擴展的整體思路及做法，并給出了初步的結果，那么有人說了：你這個二次開發程序模擬的結果的準確性如何呢？
展開 
擴展有限元(XFEM) Step-by-Step|理論&建模
前言
擴展有限元法（XFEM）是解決裂紋、孔洞、夾雜等間斷問題最有效的數值方法，該方法是在傳統有限元的位移模式中增加了能反映間斷問題的改進函數項，同時附加了節點自由度，采用水平集法（LSM）描述追蹤界面動態變化。與傳統有限元相比，擴展有限元法所使用的計算網格與結構內部無關，無需多次進行網格重劃分，大大降低了計算成本。本篇推文首先將會介紹XFEM的基本原理，然后借助一個混凝土三點彎曲梁受力開裂的案例帶著大家了解XFEM在Abaqus中的操作流程（直播演示），最后與超算平臺的計算時間進行對比，突顯在模型單元數量較大的情況下云計算的優勢。
展開 擴展有限元(XFEM)模擬巖體節理網絡(DFN | Joint Network）
當進行數值模擬分析時，有兩種不同途徑處理節理化巖體的應力和應變行為，最常用的方法是離散元法，離散元法把節理作為邊界來處理，由節理切割而成的巖塊可以是剛性體，也可以是變形體，這種方法最廣泛應用的程序是UDEC和3DEC，本公眾號有近200篇文章討論了這種方法；另一種方法是把巖體作為連續性介質，節理當作另一種材料模型，但節理置于有限元網格的節點上，當巖體發生變形時，節理隨著單元網格移動，但不能象離散元那樣節理產生分離【Voronoi多邊形在有限元中的應用】，如下左圖所示。不過，這種處理方法在復雜的幾何結構中會表現出顯著的缺點，因為在這種情形下節理不能完全適應網格的劃分。為了克服這一限制，引入了隱式的節理網絡巖體模擬方法---擴展有限元方法(XFEM), XFEM能夠單獨識別節理，與網格劃分無關。節理不必置于有限元網格的節點上，可以自由分布在所研究的域內，如下右圖所示。
2 XFEM工作機理
擴展有限元法(XFEM)【Abaqus 2021 擴展有限元 XFEM新功能；[最新文獻]錨桿加固全飽和斷裂多孔介質的數值過程】是21世紀初開發的一種新的數值方法[Belytschko T., Black T., 1999, Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing, International Journal for Numerical methods in Engineering, 45, 601-620.]，用于模擬域內的節理和裂縫，優點是不需要與網格相連接，節理會穿過單元，能夠隱式地捕獲節理的影響，如下圖所示。
在XFEM中，域的離散化與節點位置無關。富集的節點被添加到所有與節理相交的單元中，根據單元中節理的數量，對每個節點增加額外的自由度。
展開 有限元法，有限差分法和有限體積法的區別 附有限體積法基礎文檔下載
有限差分方法(Finite Difference Method)
有限差分法是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。它以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。這是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。
構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。
有限元方法(Finite Element Method)
有限元法的基礎是變分原理和加權余量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，借助于變分原理或加權余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。有限元方法最早應用于結構力學，后來隨著計算機的發展慢慢用于流體力學的數值模擬。
在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。常見的有限元計算方法是由變分法和加權余量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。
展開 ABAQUS斷裂與疲勞理論與案例實施 ￥20
本課程深入探討了使用擴展有限元法 （XFEM） 結合巴黎定律公式對疲勞裂紋擴展進行高級仿真，并在 ABAQUS 軟件中完全實現。該課程強調直接循環疲勞和低周疲勞方法，為分析材料在循環載荷下的劣化提供了一個全面的框架。</div><div contenteditable="false" width="100%">您將學習：1.斷裂力學基礎和疲勞裂紋擴展：</div><div contenteditable="false" width="100%">2。有限元法 （FEM） 和擴展有限元法 （XFEM）&nbsp;&nbsp;– FEM 的核心原理及其如何應用于裂紋擴展模擬。&nbsp;– XFEM 的覆蓋范圍，包括富集函數，以及&nbsp;級別設置方法。&nbsp;&nbsp;– 如何在傳播過程中不重新劃分網格的情況下對裂縫進行建模，以及 XFEM 如何處理不連續性.</div><div contenteditable="false" width="100%">3.疲勞裂紋擴展狀態：&nbsp;&nbsp;– 了解裂紋尺寸和周期之間的關系，包括應力比效應等因素。&nbsp;– 詳細探索裂紋增長定律，包括巴黎法、沃克定律和 NASGRO 公式。&nbsp;– 疲勞分析中的壽命預測、失效標準和評估安全系數的方法。在 ABAQUS 中創建模型：&nbsp;&nbsp;– 有關零件創建和材料定義的分步指導，包括牽引分離的損傷模型。
展開 如何在LS-DYNA中選擇合適的先進數值計算方法進行動態破壞分析
右圖案例是高速沖擊下混凝土的侵徹，可以看到在混凝土中心形成了一個damage zone（損傷區域），有材料噴出和spall fracture（裂紋擴展）現象。
* 近場動力學方法
主要針對脆性材料。與常規近場動力學相比，LS-DYNA近場動力學最大的區別是基于有限元實現的Peridynamic Model，其與LS-DYNA其他有限元部分的耦合十分簡單，同時也是bond-based peridynamic。Bond-based peridynamic針對脆性材料，其損傷準則是能量釋放率-斷裂力學的概念之一，可以自動進行多裂紋的擴展、分叉、交互。由于是基于有限元進行實現的，其邊界條件可以像有限元一樣施加。
近場動力學方法
視頻中左圖案例是模擬汽車玻璃的碰撞，汽車玻璃上下兩層玻璃中間夾了一層聚合物，典型三明治結構，從結果可以看到多裂紋的擴展和交互（復合型裂紋的擴展）。右圖是混凝土的裂紋擴展模擬。
* 擴展有限元法
擴展有限元法，其裂紋表面是用Level Set水平集法來進行搜索、表現。目前擴展有限元多應用于Shell殼單元，是cell-by-cell的裂紋擴展，一次會切整個厚度，可應用于脆性和延性材料中，主要為高強度鋼等材料。高強度鋼在特定的沖擊下會形成裂紋。LS-DYNA有多個破壞準則可以選擇，常規數值方法會有很強的網格的相關性，為了消除這類網格敏感性，LS-DYNA擴展有限元法開發了一種特殊的數值方法處理-Strain regularization，其可以用不同的網格大小得到相對收斂的結果。
擴展有限元法
視頻中左圖是一個U-shaped高強度鋼的梁結構承壓模擬，中間的孔是為了觸發裂紋而設置，使裂紋延展到孔所在的區域。
展開 [有限元原理]有限差分法與有限單元法的區別
、非均勻化多尺度方法、以及小波數值均勻化方法、多尺度有限體積法、多尺度有限元法等。
有限元+譜元法的高頻計算 附隨機有限元譜方法下載
本質上講述了一個譜元法可以減小計算量的故事，不過借著一個別人沒有用過的對象來講述，所以具有了一定的新意。所以說創新有三種：原理和方法型創新、對象型創新和結果型創新。第一種創新是真創新，后面兩個故事講得好也是極好的。
譜元法是啥？譜元法基于力學方程弱形式由Patera在1984年計算流體力學中提出。譜方法和有限元法的思想類似，都是有離散單元的存在，它在有限單元上進行譜展開，所以具有有限元方法和偽譜法的思想，同時兼備有限元可以模擬任何復雜介質模型的韌性和偽譜法的精度，所以譜元法又稱為域分解譜方法或高階有限元法。跟有限元差別在于譜方法以一系列全局連續的函數（可以是三角函數、多項式等）的疊加來近似真實解，而有限元法則是使用單元內簡單多項式插值函數的疊加來近似真實解。即有限元的插值函數只在該單元內作用，而譜元法則是大家一起用。
對高頻振動問題來講，傳統方法以有限元通用性最好，但是有限元法中分析波傳播需要使單元大小與波長相當，且時間分辨率也非常小，計算效率較低。譜元法則通過上述的全局插值函數（有點類似全局基函數，選三角函數時還可以利用FFT提高計算效率）來解決這些問題。
譜元法有時域的和頻域兩種。時域譜元法和傳統的有限元法區別較小，應該說是一種高階的有限元法，其為了達到精度，細分網格是通過切比雪夫多項式或者勒讓德多項式等正交多項式的根來定網格節點。頻域譜元法是分析波傳播的一種有限元方法，在頻域內使位移函數采用波動方程的一般解，得到與頻率相關的動剛度矩陣，利用快速傅里葉變換實現時域和頻域的轉換。
本文以線纜為例，分析波的傳播對故障的診斷效果（需計算的波長跟故障尺度相當）。若用有限元方法，網格大小為波長1、6，需要成千上萬的單元節點，而頻域譜元法則只需很少的節點。
展開 
斷裂力學與有限元法、邊界元法
<p> </p><p>盡管有限元法的適應性極強，并具有廣闊的應用領域，但這種利用局部定義的多項展開式來實現的方法仍有某些不足之處。具體來進，困難出現在如下兩種情況下：（a）問題的定義域為無限域時，（b）存在奇異性（部分或全部導數為無窮大）時。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項展開式來描述奇異性時則近似程度很差。事實上，收斂定理在后一個問題中已不再能使用，因為在奇異點附近泰勒展開式不再收斂。</p><p>在著重于實用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因為實際上無限域及奇異性只是數學上的假設——這使我們能用大而有限的區域及接近奇異的點得到有用的結果，然而這兩種數學“假設”都是有用的，因為利用它們能使計算工作量有本質性的下降。實際上大家都知道，對于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務就是論述如何在數值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會發現，這里所用的一些方法和第十二章中推導各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質是；按標準形式為未知函數選擇一組試試探函數。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數時要滿足式。</p><p>（2）只在問題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數的數目可以比準有限元法所用的少很多。
展開 有限元法講解及運用常應變三角形單元解彈性力學平面問題（FORTRAN語言編寫有限元法程序算例）
1970年以后有限元方法 開始應用于處理的非線性分大變形問題，Oden于1972年出版了第一本關于處理非線性連續體的專著。這一時期 的理論研究工作是比較簡單的實際問題，1975年，對一個300單元的模型，在當時先進的計算機上進行2000萬次 計算大約需要30小時的機時，花費約3萬美金，如此高昂 的計算成本嚴重限制了有限元方法得發展和普及。然而，許多工程師們都對有限元方法的發展你前途非常清楚，因為它提供了一種處理復雜真實問題的有力工具。
在工程師研究和應用有限元方法得同時，一些數學 家也在研究求解有限元的數學基礎，實際上1943年 Courant得哪一篇開創性得論文就是研究求解平衡問題的 變分方法，1963年Besseling，Meldsh和jones等人研究 了有限元方法得數學原理。還有學者進一步研究了加權 殘值法與有限元方法之間的關系，對于一些尚未確定出 能量泛函得復雜問題，也可以建立起有限元分析的基本方程，這可以將有限元方法德應用領域大大的擴展，我 國的胡海昌于1954年提出了廣義變分原理，錢偉長最先 研究了拉格朗日乘子法與廣義變分原理之間的關系。馮 康研究了有限元分析得精度于收斂性問題。
我國著名力學家，教育家徐芝綸院士（河海大學教授）首次將有限元法引入我國，對它的應用起了很大的推動作用。
3.有限元法的基本思想
有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎發展起來的，所以它廣泛地應用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯系）。
展開 有限元基礎理論——有限元法 ￥1
筆者前述
有限元法作為當今科學研究與工程應用中被廣泛應用的一種數值方法，受到越來越多人關注，越來越多學者與高校學生也開始從事有限元分析。筆者作為一個CAE菜鳥，在剛接觸有限元分析時，有種被有限元虐的體無完膚的凄慘，一個人摸索，真是處處碰壁，原本打雞血似的學習熱情也慢慢冷卻，就這樣持續一段時間后，在不斷查看相關論壇與帖子之后，終于迎來了轉機。
在技術鄰的帖子里，看到了一些前輩分享的學習經驗，了解到學習有限元分析，萬萬不能停留在只學習軟件操作的層面上，過去的我，因為沒有這個思想指導，忽略了理論的學習，導致一直在學習案例，雖然跟著視頻可以完整的做出一個案例，但是在做的過程中，完全不知道為何這么做，為什么這么設置？原理是什么？久而久之，由于無法自己創造出東西來，就會被一直的模仿操作消磨掉學習興趣與耐心。所以，我開始接觸一些有限元理論和力學理論，發現當你有意識地去完成一個項目和案例，會大大提高你的學習動力和毅力，就這樣，我開始進行理論學習與操作學習相結合的學習生活。此帖，主要是我學習有限元法的相關筆記，供大家參考。
如何學習有限元
首先，我們要明白，CAE是一種解決復雜問題的思路，其理論基礎是有限單元法（有限差分法、有限體積法以及邊界元法）等數值方法，基于這些數值計算的理論基礎，我們開發出來ANSYS、ABAQUS等各種有限元軟件，用于降低我們利用有限元法等數值計算方法進行分析問題的難度，這意味著他們只是一種工具。所以，如果不懂有限元，學習CAE沒有多大意義。會用軟件只是軟件操作層面，對學習者并沒有太大要求，稍微有點文化或者懂點英文，就能對著教材或者視頻做完一個案例，問題是做完之后，絕大部分人甚至都不知道自己在做什么，結果是什么含義，他們一片茫然，這種學習方式，基本上沒有什么用處。
展開 有限元法（FEM） 附有限元仿真實踐原理下載
其他有限元公式
在上述例子中，我們為基函數和試函數使用了相同的函數集來實現模型方程的離散化。如果一個有限元公式可以使試函數不同于基函數，則該公式稱為 Petrov-Galerkin 法。這是一種常用的方法；例如，在解決對流-擴散問題的過程中，只會對流線方向進行穩定化處理。其也被稱為流線迎風 /Petrov-Galerkin（SUPG）法。
在耦合方程組的求解過程中，不同的因變量可能會用到不同的基函數。一個典型的例子是納維-斯托克斯方程的求解，其中的壓力往往比速度更平滑、更易進行近似。在某類方法中，如果一個耦合方程組中不同的因變量的基函數（以及試函數）屬于不同的函數空間，那么這類方法便稱為混合有限元法。
COMSOL Multiphysics 軟件中用于流體流動分析的混合單元法的設置，其中二次形函數（基函數）用于計算速度，線性形函數用于計算壓力。
下載地址：有限元仿真實踐原理
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