應變梯度的案例
一類非局部GTN模型------考慮應變梯度效應GTN模型
應變梯度模型（Strain Gradient Model）是一種材料模型，由 Gurtin 和 Sternberg 在 1962 年引入的，用于研究非局部效應對連續介質行為的影響。然而，這個模型直到近年來才開始在納米材料領域得到廣泛的應用和研究。材料被視為連續、均質的介質，其行為由宏觀應力和應變張量描述。然而，當材料的尺寸減小到與其微結構大小相同的數量級時，傳統模型就不再適用，因為微觀結構的影響變得更加顯著。
應變梯度模型引入了一個額外的應變梯度項來描述材料的非局部行為。這個梯度項捕捉了在微觀尺度上材料應變的變化率。
相對于傳統塑性模型，應變梯度塑性模型的主要優勢體現在
更準確地描述納米尺度下的材料行為。在納米尺度下，材料的微觀結構對其力學行為有著重要的影響。傳統的連續介質力學模型無法很好地描述這種非局部行為，而應變梯度模型通過引入應變梯度項，可以更準確地描述納米材料的力學行為。
提高了預測材料性質的能力。應變梯度模型可以更好地捕捉材料的微觀尺度下的非局部效應，從而提高了模型預測材料力學性質的能力。
可以揭示材料行為的新特性。應變梯度模型可以更好地描述納米材料的強度、韌性、斷裂行為等特性，從而有助于揭示材料行為的新特性和機制。
為納米加工和納米器件設計提供了指導。應變梯度模型可以幫助人們更好地理解納米材料的力學行為，從而為納米加工和納米器件設計提供指導。例如，在設計納米器件時，需要考慮材料的強度、韌性等特性，應變梯度模型可以幫助人們更準確地預測這些特性，從而指導器件的設計和優化。
在過去的幾十年中，應變梯度模型得到了不斷的發展和完善。其中一個重要的進展是基于變分原理的應變梯度模型，這種方法可以更好地處理材料的宏觀和微觀結構之間的相互作用。
展開 來自劍橋Martínez-Pa?eda 多尺度 斷裂 應變梯度的文章和源代碼（UEL， CMSG等） ￥10
Martínez-Pa?eda 公布了微觀多尺度斷裂力學的許多源代碼，包括應變梯度理論 相場斷裂力學 面向msg的XFEM等理論的源代碼。幫其在國內推廣下，用其代碼注意引用他的文章！ 花了時間做這個帖子，辛苦費還是要收的
（一）PHASE FIELD FRACTURE IMPLEMENTATION IN FENICS
FEniCS Python script with a staggered implementation of the phase field fracture method, suitable for 2D and 3D case studies. Includes a document with detailed instructions.
Paper: Hirshikesh, S. Natarajan, R. K. Annabattula, E. Martínez-Pa?eda. Phase field modelling of crack propagation in functionally graded materials.
展開 每日文章推薦（二十二）
文章doi：10.1016/j.ijsolstr.2015.02.010
推薦理由：
作者利用泰勒位錯模型建立的應變梯度塑性理論，分析了塑性尺寸效應對金屬材料斷裂過程的影響。所選SGP理論的數值框架是為允許大應變和旋轉而開發的。材料模型通過用戶子程序在商業有限元（FE）代碼中實現，作者有限元結果顯示，當考慮有限應變時，SGP和傳統塑性理論的應力場之間的差異幅度和程度顯著增加。由于在考慮大應變時，與應變梯度顯著改變應力場的裂紋尖端的距離可能高出一個數量級。
作者數值模型的理論源于huang在2004年提出的低階應變梯度塑性框架，但不涉及高階應力。因此，塑性應變梯度僅出現在本構模型中，平衡方程和邊界條件與傳統的連續體理論相同。
基本框架如下：
硬化模型（Taylor（1938）的位錯模型）：
其中μ是剪切模量，b是burger矢量，α是唯象的擬合系數區間（0.3，0.5），位錯密度由兩部分組成，即統計儲存位錯密度SSD和幾何必須位錯密度GND:
幾何必須位錯密度與有效應變梯度直接相關聯：
其中r是nye因子，對于FCC結構通常為1.90
統計儲存位錯密度計算方程為：
其中σref是參考應力。
展開 晶體塑性每日文章推薦（十四）
文章doi：10.1088/0965-0393/18/8/085005
推薦理由：作者通過對FCC多晶材料的平面應變壓縮模擬比較了兩類全場晶體塑性方法（術語“全場”表示考慮了長程和短程晶粒相互作用，并在離散網格上對微觀力學進行解析）------CPFEM和CPFFT在軋制變形織構預測方面的差異。重點關注晶粒旋轉與相鄰晶粒取向，應變梯度的關系。結果顯示：（1）相比于CPFEM方法，CPFFT方法預測初始Cube取向的晶粒顯示了相對于初始取向更高的旋轉率和達到穩定取向更低的旋轉值。（2）使用相同的材料屬性和邊界條件以及相同的流動，硬化方程，模擬顯示了不同的取向和應變分布的組合。（3）即使分辨率很低，CPFFT方法依然可以給出確定的應變梯度分布情況，但對于CPFEM方法，應變梯度隨著分辨率上升隨之增加，即表現出強烈的網格依賴性，這意味同樣的預測模型CPFFT可以使用更低的模型成本得到相似的結果。（4）平面應變壓縮結果顯示在軋制減薄厚度達到90%時，取向演化表現為RCube→Coppor，RZ→S，Cube→Goss，而初始Goss則變化很小。
展開 
非局部晶體塑性本構模型實現與案例演示
對于多晶體的應力-應變曲線和織構預測，溫度效應，局部位錯模型已被證明是強大和有效的。
然而，如果模擬規模變小，例如在專注于納米壓痕（Zaafarani et al.，20082006）和微柱壓縮（Raabe，Ma和Roters，2007a）的研究中，則局部模型可能由于無法描述尺寸效應而不足，較小晶粒尺寸的強化效應是由于晶界附近非均勻塑性變形的體積分數較高。文獻中有幾種基于位錯機制的解釋，如晶界前移動位錯的堆積，導致應力集中，從而增加晶界附近的滑移阻力或應變梯度，從而產生額外的位錯密度增量，從而增加滑移阻力（Evers等人，2002）。此外，不同類型的實驗，如微扭轉、微彎曲、顆粒增強金屬基復合材料的變形和顯微壓痕硬度測試，都清楚地顯示了流動應力的長度尺度依賴性
在這些實驗中，通常會發生不均勻的塑性變形，這可能會導致材料點附近的方向和應變梯度。這些梯度可能與幾何必要位錯（GND）相關（Ashby，1970）。在現象學模型中，如何將GND整合到本構模型中并不簡單。相反，在基于位錯密度的模型中，GND概念可以很容易地作為本構框架的一部分進行整合（Nye，1953），目前通用的一類將幾何必要位錯（GND）引入本構模型的方式是通過Nye的位錯張量將應變梯度引入到GND之中
GND幾何必要位錯張量的演化表示為
其中：
得到統計位錯密度和幾何必要位錯密度后，根據經典的taylor理論得到滑移系統當前時刻的臨界分切應力
其中G為剪切模量。
展開 非局部晶體塑性本構模型實現與案例演示
對于多晶體的應力-應變曲線和織構預測，溫度效應，局部位錯模型已被證明是強大和有效的。
然而，如果模擬規模變小，例如在專注于納米壓痕（Zaafarani et al.，20082006）和微柱壓縮（Raabe，Ma和Roters，2007a）的研究中，則局部模型可能由于無法描述尺寸效應而不足，較小晶粒尺寸的強化效應是由于晶界附近非均勻塑性變形的體積分數較高。文獻中有幾種基于位錯機制的解釋，如晶界前移動位錯的堆積，導致應力集中，從而增加晶界附近的滑移阻力或應變梯度，從而產生額外的位錯密度增量，從而增加滑移阻力（Evers等人，2002）。此外，不同類型的實驗，如微扭轉、微彎曲、顆粒增強金屬基復合材料的變形和顯微壓痕硬度測試，都清楚地顯示了流動應力的長度尺度依賴性
在這些實驗中，通常會發生不均勻的塑性變形，這可能會導致材料點附近的方向和應變梯度。這些梯度可能與幾何必要位錯（GND）相關（Ashby，1970）。在現象學模型中，如何將GND整合到本構模型中并不簡單。相反，在基于位錯密度的模型中，GND概念可以很容易地作為本構框架的一部分進行整合（Nye，1953），目前通用的一類將幾何必要位錯（GND）引入本構模型的方式是通過Nye的位錯張量將應變梯度引入到GND之中
GND幾何必要位錯張量的演化表示為
其中：
得到統計位錯密度和幾何必要位錯密度后，根據經典的taylor理論得到滑移系統當前時刻的臨界分切應力
其中G為剪切模量。
展開 IJP：非均相多晶體中尺寸相關的微孔生長
同時還發現，材料強度的尺寸效應可能來源于與幾何必需位錯(GNDs)相關的應變梯度。另一方面，不同的SG塑性理論相繼被發展出來(研究微米/亞微米尺度的一些力學問題)，這些理論有效地結合了統計存儲位錯(SSDs)和幾何必需位錯(GNDs)。
大多數關于尺寸依賴微孔生長的研究都是在單晶或均勻基體進行的，然而，大多數韌性金屬材料呈現非均相多晶微結構，它們的晶粒通常表現出不規則的形狀和隨機的晶體方向。微孔生長具有較強的尺寸效應，即越小的微孔生長速率越低。韌性金屬材料的斷裂通常受微孔洞的形核、生長和最終聚結所控制，由于孔洞生長階段通常在韌性斷裂過程中起著至關重要的作用，系統研究韌性金屬材料內部孔洞生長機制對理解韌性金屬材料的損傷演化具有重要意義。非均相多晶體中微孔生長的尺寸依賴問題，除了微孔尺寸外，晶粒尺寸和微孔與晶粒的尺寸比是另外兩個重要的特征長度。前者可導致材料強度的晶粒尺寸效應，即著名的Hall- Petch關系，后者可誘導微孔洞周圍的晶粒尺度不均一變形效應。
華中科技大學的Jianqiu Liu等人采用經典的局部和非局部應變梯度晶體塑性有限元模擬方法研究了非均質多晶中尺寸相關的微孔生長, 采用局部CP理論和非局部CP理論描述了典型面心立方(FCC)多晶銅的應力應變響應。結果表明，孔隙-晶粒尺寸比和絕對微孔尺寸對微孔生長均有顯著影響，分別為第一類(由晶粒尺度非均質變形引起)和第二類(由塑性應變梯度引起)尺寸效應。此外，宏觀應力三軸度T對微孔生長的尺寸效應有顯著影響，而Lode參數L的影響可以忽略不計。由于晶粒取向分布和晶粒幾何特征的隨機性，在多晶環境中，小微孔生長的速度甚至可能比大微孔生長的速度快，這意味著在多晶環境中，微孔生長的尺寸效應應該從統計學的角度來理解。
展開 為什么材料越薄越硬、孔越小應力越不集中？經典力學算不準的真相
但當我們把目光投向微納米尺度（MEMS傳感器、微納電子器件）或應變集中問題時，奇怪的事情發生了：
微懸臂梁：厚度從8μm減到2μm，測得的彈性模量從115 GPa飆升到175 GPa（變硬了50%）帶小孔的板：孔徑從5mm減到0.4mm，應變集中系數從3.0降到1.2（按理說應該不變）微壓痕測試：壓得越淺，算出來的"彈性模量"越大（著名的壓痕尺寸效應）
經典理論完全無法解釋這些現象，因為它的核心假設出了問題：真實的RVE（代表性體積單元）從來不是無限小的。
二、均質化誤差的本質：平均值≠中心值
關鍵洞察：當物理場在RVE內非線性分布時，體積平均值不等于幾何中心處的真實值。
直觀理解
想象你測量一個房間的溫度：
經典做法：假設溫度在房間內均勻分布，用房間中心的溫度代表整個房間真實情況：如果暖氣片在一側，溫度呈梯度分布，平均溫度≠中心溫度
數學上，這可以通過泰勒展開描述。對于任意物理量 p （可以是應變、應力或應變能密度）：
其中 h 是RVE的尺寸（比如金屬的晶粒尺寸、聚合物的高分子鏈回轉半徑），Δp 是拉普拉斯算子（描述場的"彎曲程度"）。
關鍵發現：經典理論只保留了第一項，忽略了 和 項——這就是"均質化誤差"的來源。
三、高階應變能：一個參數解釋兩種矛盾現象
解決方法：重新定義均質化應變能密度：
其中 是經典應變能， 是高階修正項，包含應變與其梯度的交叉乘積項，如 。
為什么能解釋"變硬"和"變軟"？
展開 Abaqus子程序代碼分享
ABAQUS用戶材料（UMAT）子例程，具有常規基于機理的應變梯度（CMSG）可塑性理論的本構公式。
Paper: E. Martínez-Pa?eda and C. Betegón. Modeling damage and fracture within strain-gradient plasticity. International Journal of Solids and Structures, 59: 208-215 (2015)
18、CodeCMSG.zip
考慮尺寸效應的剪切修正GTN模型：CMSG-GTN
針對這一問題，作者構建了一套可概括為CMSG-GTN的分析框架：一方面，在傳統GTN模型基礎上引入剪切損傷變量，用于表征低應力三軸度條件下的剪切主導失效；另一方面，將機制型應變梯度理論引入有限元分析，以刻畫超薄板在微尺度下顯著存在的尺寸效應。前者解決了“傳統GTN不擅長描述剪切斷裂”的問題，后者解決了“常規塑性理論忽略微尺度強化”的問題。換句話說，作者不是簡單修補GTN模型，而是把“剪切損傷”和“尺寸效應”同時納入同一框架中，用來解釋超薄板沖裁中的真實失效過程。
在實驗與仿真結果上，這篇文章給出了幾個很有價值的結論。首先，超薄板沖裁斷口可以分為彎曲區、光亮區和斷裂區，且對稱面比自由面更早發生斷裂，說明裂紋并不是均勻萌生的，而具有明顯的空間優先位置。其次，SEM觀察和數值模擬都表明，雖然斷口附近能夠看到微孔，但這些微孔尺寸較小、發展有限，并未達到主導斷裂的程度；真正推動失效的是剪切損傷的快速積累。再次，裂紋最先出現在沖頭刃口附近的對稱面區域，隨后沿著損傷最大的路徑向自由面擴展，這與實驗觀察到的撕裂形貌是吻合的。
作者的初始數值模型：
SEM實驗的斷口特征：
數值框架實現流程圖：
考慮梯度效應的影響效果:
結果表明，引入應變梯度效應后，局部應力水平明顯提高，材料在剪切區內的損傷演化也明顯加快。也就是說，尺寸效應并不只是讓材料“更強”，而是會改變局部變形與失效方式，使超薄板更容易在狹窄剪切帶內發生撕裂。這一點非常關鍵，因為它說明：超薄板沖裁中的斷裂機理，并不是傳統厚板沖裁機理的簡單縮小版，而是一種隨著尺度下降而發生機制轉變的新問題。
推薦這個文章主要有三點原因：第一，在研究超薄板、微成形和微沖裁問題時，不能再機械套用傳統GTN模型，必須重視剪切主導損傷機制。
展開 GTN模型文章推薦（二十）
稱Ds為剪切損傷因子，認為塑性應變的累計造成的剪切性能退化。表達式為：
分母表示基體的等效塑性應變，分子則表示為純剪切造成的材料失效應變，剪切損傷演化的速率與應力狀態強相關，具體表現為其演化速率與洛德角和應力三軸度有關，演化的表達式為:
φ表示影響因子（主要受洛德角控制)：
其中 k 是 T? （應力三軸度）為負時的權重，g(θ)表示權重與洛德角相關，表達式為：
θ表示洛德角，表達式為：
作者為了考慮尺寸效應的影響，在材料屈服面演化的過程中引入了MSG理論，其實現可以參考作者的另外的一篇文章《Failure and forming quality study of metallic foil blanking with different punch-die clearances》其實現方法，利用經典的taylor理論，與swift冪律硬化模型相關聯，使得材料的塑性應變硬化與材料微觀層面的位錯密度關聯。通過位錯密度的演化來表現材料的硬化，即：
對于大多數（FCC）金屬，材料的剪切流動應力與拉伸流動應力比值為1：3.06。
總位錯密度分為兩類（幾何必須位錯密度和統計位錯密度）：
應變梯度與幾何必須位錯密度之間存在線性關系，其斜率為burger矢量的大小。
因此作者以應變梯度為橋梁，搭建了材料微觀位錯密度演化與材料屈服面演化的關系，建立了考慮尺寸效應的剪切修正GTN模型。作者將該理論編寫了umat子程序。其數值實現流程為：
其模型的基本參數共11個，作者還系統討論了GTN模型參數的獲取方法，及參數影響，讀者可以參考原始文獻。
展開 
適用于ansys的應變梯度塑性本構（CMSG）子程序（開源資源）
主程序：
subroutine usermat(
& matId, elemId,kDomIntPt, kLayer, kSectPt,
& ldstep,isubst,keycut,
& nDirect,nShear,ncomp,nStatev,nProp,
& Time,dTime,Temp,dTemp,
& stress,ustatev,dsdePl,sedEl,sedPl,epseq,
& Strain,dStrain, epsPl, prop, coords,
& var0, defGrad_t, defGrad,
& tsstif, epsZZ,
& cutFactor, pVolDer, hrmflg, var3, var4,
& var5, var6, var7)
c
!DEC$ ATTRIBUTES DLLEXPORT, ALIAS:"USERMAT"::usermat
c
c*************************************************************************
c *** primary function ***
c
c The conventional theory of mechanism-based strain gradient plasticity model
c If you use this code for research or industrial
展開 晶體塑性每日文章推薦（十九）
文章doi：10.1016/j.mechmat.2021.103830
推薦理由：文章采用晶體塑性有限元模擬，揭示了NiTi形狀記憶合金（SMA）在400℃罐裝壓縮下的塑性變形機制，將統計存儲位錯（SSD）和幾何必要位錯（GND）密度納入應變梯度的晶體塑性本構模型。在CPFE模擬的基礎上，獲得了織構演化、應力應變場、SSD和GND密度。
其中應力集中主要出現在晶界附近，大應變出現在NiTi多晶體圓柱的核心位置。SSD密度和GND密度以相似的方式表現出不均勻分布。
SSD和GND都聚集在晶界附近。SSD密度隨著塑性應變的增加而增加，而GND密度則隨著塑性應力的增加而降低。
此外，總位錯密度隨著塑性應變的增加而增加。
同時通常計算幾何必須位錯密度應用最為廣泛的便是c3d8單元和cpe4等單元類型，然而對于復雜的晶體模型，使用這類單元往往無法很好的保留晶界特征，或無法完成多晶區域的有限元離散，
而使用三角形和四面體單元可以對任意復雜的模型進行有限元的離散，同時可以保留完整的晶界信息，因此使用這類單元對于晶界相關的力學問題可以減輕奇異性問題，同時也可以更好的捕捉截面處的應力集中
作者的理論模型基于經典的亞彈性本構框架。
為了拓展梯度效應引入了GND導致的應變硬化，滑移阻力的演化表示為
為了更好的描述晶界，并對多晶進行離散，作者使用的的單元類型為C3D4，對應的雅可比和梯度矩陣分別為：
作者模擬NiTi合金使用的材料參數為：
作者的案例模型
對應的數值結果
根據作者的思路可以編寫對應的二維三角形單元和三維的四面體單元對應的應變梯度晶體塑性模型。
展開 晶體塑性每日文章推薦（十四）
晶粒尺寸對純金屬和合金的屈服強度和流動應力都有影響，如廣泛接受的的Hall-Patch現象（流動應力和晶粒尺寸的平方根成反比）
關于該現象一個普遍接受的解釋是晶界處位錯的堆積效應，這種效應于晶界類型，位錯類型，晶粒之間取向差密切相關，同時晶界處的應力集中程度也近似的被認為與晶界距離的平方根相關，基于應變梯度塑性理論發展的晶體塑性模型可以較好的展現這種特征，但一些分析認為應變梯度理論模型仍然存在唯象的成分，即長度尺度相關參數的校準存在歧義。
作者關于尺寸相關的晶體塑性模型的主要改進思路為：
本構模型基于經典的亞彈性本構框架：
其中流動方程為：
硬化方程為：
晶粒尺寸形態相關參數的引入：
概念的引入：
晶粒A滑移會導致相鄰晶粒晶界附近的應力上升，其上升程度與晶內區域距離晶界距離有關，由于晶粒之間的取向差，晶界處的應力分布受到影響。這些應力對引發局部塑性的影響可以通過改變臨界分解剪切應力（CRSS）來調整。基于位錯堆積尺寸的局部屈服水平的變化是通過基于晶粒A中的滑移長度和晶粒B中位置處的CRSS之間的關系來改變CRSS來識別的。因此，根據與相鄰晶粒中的晶界相交的進入滑移帶的尺寸，在晶粒內的每個位置處修改CRSS。因此，如果晶粒A的尺寸加倍，盡管預測的不相容應力保持不變，但晶粒B中的CRSS會發生變化，從而使應力梯度的影響更加突出，促進晶粒更早開始屈服。晶粒A和B邊界處較高的不相容應力導致滑移活動增加。
展開 中科院物理所汪衛華&柳延輝Nat. Commun. : 磁疇解密鐵磁金屬玻璃中的剪切帶影響區
灰色區域代表數百微米的長程彈性區域，有色區域代表剪切帶的有效變形區，其中亮紅色線代表納米級剪切帶的核心，紅色區域代表寬度為幾微米的嚴重變形區域，淺藍色區域表示長度為數十微米的擴展應變梯度場。 三個30×30 μm2 MFM相位圖像代表相應區域中的典型磁疇圖譜(波狀疇圖譜、擴展疇圖譜、拉鏈狀疇圖譜)
【小結】
綜上所述，作者以具有高靈敏度和空間分辨率的磁疇作為探針證實了剪切帶誘導剪切帶影響區的結構。作者發現剪切帶影響區由納米級剪切帶、剪切帶附近的微米級嚴重變形區和數十微米的擴展應變梯度場組成。隨著剪切帶間距的減小，每個帶的剪切帶影響區導致了剪切帶之間的相互作用。此外，還存在從剪切帶延伸數百微米且具有漸變應力場的超長程彈性區域。該工作中的方法和結果為可視化觀察剪切帶影響區提供了重要參考，能夠進一步加深研究人員對MG中應變局部化的理解。所揭示的剪切帶影響區對于理解MG中塑性變形的微觀機制以及設計堅韌的MG來說非常重要。
文獻鏈接：Shear-band affected zone revealed by magnetic domains in a ferromagnetic metallic glass (Nat. Commun., 2018, DOI: 10.1038/s41467-018-06919-2)
來源：材料人
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