全局優化的案例
清華大學：一種新的全局優化算法——統計歸納算法
一種新的全局優化算法——統計歸納算法
劉志宏 施工 胡永明
清華大學工程物理系 清華大學核能技術設計研究院
摘要：在多極值問題的優化領域，主要有模擬退火算法（SA），遺傳算法（GA），人工神經網絡算法（ANN），它們都是基于對自然現象模擬的算法。該文從更基本的優化思想出發，基于概率論提出了一種新的全局優化算法——統計歸納算法（SIA）。在一些標準測試函數以及“貨郎擔問題”（TSP）上的計算結果表明，該算法在智能型（所需的函數計算次數）和解的全局性方面都遠遠好于SA和GA。在中國144個城市的TSP問題實例中，它甚至很快就找到了比參考計算中給出的“目前已知的最優路徑”更短的路徑。從這一算法思想的角度，闡述了SA和GA為何對全局優化問題有效，以及SA和GA各自固有的不足之處。
關鍵詞： 全局優化 ，模擬退火算法（SA），遺傳算法（GA），統計歸納算法（SIA）
內容簡介：
1 算法的基本思想
2 算法的結構
3 實例計算
3.1 連續優化問題
3.2 組合優化問題
4 結論
一種新的全局優化算法——統計歸納算法.pdf
展開 基于新型高維代理模型的高效全局氣動優化設計
基于新型多可信度代理模型的多目標優化方法 [J]. 航空學報，2023，44(6): 126962.
論文下載二維碼：
一
研究背景
基于代理模型的優化(Surrogate-Based Optimization, SBO，也叫代理優化)方法，在優化過程中使用代理模型代替昂貴的高可信度CFD分析，從而顯著提高優化效率。SBO方法由于能夠實現高效全局優化以及處理多目標和復雜約束優化問題的優勢，成為飛行器氣動設計領域前沿研究熱點之一。
二
研究亮點
1）
針對飛行器氣動外形精細化設計帶來的高維變量需求，提出了基于核主成分分析(KPCA)的監督式非線性降維代理建模(SN-DRSM)方法，解決了當前線性降維方法或非監督式降維方法應用在DRSM中精度差，穩定性低的難題，以及HDMR等高維代理建模方法訓練花費高的問題，有效緩解了當前代理模型遭遇的“維度災難”難題。
SN-DRSM （也叫KPCA-Kriging）方法核心部分執行一個嵌套優化循環：外循環優化KPCA降維模型參數(如KPCA核函數參數以及特征空間有效維數等)，使預測誤差盡可能小，直至收斂，其中在每次降維分析后向Kriging模型輸入降維后的數據；內循環接收KPCA降維后的樣本輸入優化代理模型參數，直至輸出最優代理模型并輸出預測值。這里預測誤差使用leave-One-Out Cross-Validation (LOOCV) error (
)誤差評定標準，以減少高可信度樣本CFD分析時間，詳細流程如圖1所示。
展開 參數優化文檔介紹
?3.定義全局優化的設置
3.定義全局優化的設置
*結果列表可能會列出更多的迭代；這源于這樣一個事實，即一些優化算法也會顯示中間函數結果。
**根據經驗，可以設置一個最大公差值，該值比初始目標函數值小約4-5個數量級。
局部和全局 優化
變量的目標函數圖示（三維和二維）
局部優化算法速度很快，但它們在尋找全局最小值方面的成功通常很大程度上取決于起始值的選擇。因此，在不知道良好起始值的情況下，全局優化更可取。
局部優化算法
目前，提供了三種用于最小化多元函數的非線性局部算法：
Nelder&Mead的下坡單純形法，它的收斂速度不是很快，但它是一種簡單而魯棒的方法。通常適用于少于6個自由參數。
鮑威爾（方向集）法它可能更適合于大量的自由參數(>10).
Levenberg-Marquardt算法它“在高斯-牛頓算法和梯度下降法之間進行插值。[…]在許多情況下，它可以找到一個解決方案，即使它從非常遠的最終最小值開始。”收斂是可能的，但不能保證。
所有局部最小化算法都有陷入局部極小值的風險。為了盡量減少這種風險，可以嘗試使用較大的初始步長比例因子，從不同的初始條件開始，或使用全局優化算法。
所有局部最小化算法都有陷入局部極小值的風險。為了盡量減少這種風險，可以嘗試使用較大的初始步長比例因子，從不同的初始條件開始，或使用全局優化算法。
展開 Isight混合優化策略方法與實踐 附iSIGHT工程優化實例分析下載
混合優化策略的必要性
全局算法具有全局搜索最優的能力，但其缺點是優化效率低；梯度優化算法雖然優化效率高，但其缺點是對于復雜的優化模型往往會陷入局部最優解。為了快速的獲得高精度的全局最優解，我們可以組合兩類優化算法，就可以既發揮全局算法的全局性，同時又兼顧了數值算法的高效性。
DOE抽樣與梯度優化混合策略
首先應用DOE組件在設計空間均勻采樣，捕捉整個設計空間中最有效的設計區域，然后應用參數化模塊在有效設計區域中進行優化設計，最終獲得最佳設計結果。
全局優化和梯度優化組合
首先應用全局優化算法定位目標極值在設計空間中所處的區域，再應用梯度優化算法對該區域進行精確尋優，最終獲得最佳設計結果。
發揮了全局優化算法在整體設計空間遍歷方面的優勢，能夠快速對設計敏感區域定位
僅用全局算法進行粗略定位，避免了全局算法在細節優化方面的低效率問題
發揮了梯度優化算法在局部優化方面的優勢
避免了梯度優化算法在高度非線性或離散設計空間中直接尋優帶來的誤導
基于近似模型更新的全局優化
首先建立局部設計空間的近似模型，并在近似模型上進行優化計算，獲得局部最優的估計值，并通過驗證計算不斷更新近似模型位置繼續優化，最終獲得全局最優解；基于近似模型更新的全局優化策略適用于非線性設計空間以及單次計算耗時較長的問題，而不適用于不連續、非凸或高度約束的設計空間。
基于Pointer-2智能算法的策略
Pointer-2算法只能讓Isight軟件自動選擇最佳優化算法進行組合優化設計。
算法適用于多數線性及非線性設計空間，以及連續與不連續設計空間。同時也適用于解決單次計算耗時較長的問題。
展開 
Isight混合優化策略方法與實踐
混合優化策略的必要性
全局算法具有全局搜索最優的能力，但其缺點是優化效率低；梯度優化算法雖然優化效率高，但其缺點是對于復雜的優化模型往往會陷入局部最優解。為了快速的獲得高精度的全局最優解，我們可以組合兩類優化算法，就可以既發揮全局算法的全局性，同時又兼顧了數值算法的高效性。
DOE抽樣與梯度優化混合策略
首先應用DOE組件在設計空間均勻采樣，捕捉整個設計空間中最有效的設計區域，然后應用參數化模塊在有效設計區域中進行優化設計，最終獲得最佳設計結果。
全局優化和梯度優化組合
首先應用全局優化算法定位目標極值在設計空間中所處的區域，再應用梯度優化算法對該區域進行精確尋優，最終獲得最佳設計結果。
發揮了全局優化算法在整體設計空間遍歷方面的優勢，能夠快速對設計敏感區域定位
僅用全局算法進行粗略定位，避免了全局算法在細節優化方面的低效率問題
發揮了梯度優化算法在局部優化方面的優勢
避免了梯度優化算法在高度非線性或離散設計空間中直接尋優帶來的誤導
基于近似模型更新的全局優化
首先建立局部設計空間的近似模型，并在近似模型上進行優化計算，獲得局部最優的估計值，并通過驗證計算不斷更新近似模型位置繼續優化，最終獲得全局最優解；基于近似模型更新的全局優化策略適用于非線性設計空間以及單次計算耗時較長的問題，而不適用于不連續、非凸或高度約束的設計空間。
基于Pointer-2智能算法的策略
Pointer-2算法只能讓Isight軟件自動選擇最佳優化算法進行組合優化設計。
算法適用于多數線性及非線性設計空間，以及連續與不連續設計空間。同時也適用于解決單次計算耗時較長的問題。
展開 SYNOPSYS?PSD優化
SYNOPSYS 獨有的區域優化功能是“自動元件 插入”和“自動元件刪除”，可在最佳位置插入或刪除鏡頭元件。
前一種算法的運行方式與 Florian Bociort 的鞍點 算法非常相似。
全局優化算法
Dilworth 最近增加到 SYNOPSYS 的新全局優化 算法 DSEARCH 和 ZSEARCH 令人印象深刻。
DSEARCH 從對鏡頭的粗略描述以及任何其他所 需約束開始，并產生幾個通常接近最終設計的候 選設計方案。
ZSEARCH 對變焦鏡頭做同樣的事情。即使設計人員不知道初始配置可能是什么樣，兩種算法都 可以提供良好的鏡頭設計。
初始條件
所有面都從平面開始
所有面的厚度和所有空氣間隔都是5 mm
后焦距50 mm
所有玻璃：折射率1.6，阿貝數50
物在無窮遠，全視場20度，入瞳直徑12.7 mm
高斯像高接近33 mm
光闌最初在表面1
可以改變光闌位置，所有曲率半徑、厚度，所有空氣間隔除了最后一面，玻璃特性。
執行PSD優化
點擊Open MACro按鈕
選擇C7M1.MAC
點擊Open
讓我們來看看一個好的優化算法 如何能夠快速將糟糕的設計變成 一個相當不錯的設計
平行平板優化后
再次優化
將AWT: 0 改為AWT: 0.2，再次點擊Run按鈕。
AWT使每條光線有一個孔徑相關的權重，當增加為 0.2時，靠近光瞳中心的光線權重比邊緣光線更重。
總結
Donald Dilworth 在他的程序 SYNOPSYS 光學設計軟件中包含的三類優化算法做出了重要貢 獻：PSD算法，區域優化算法，全局優化算法。
AWT=0和AWT=0.2得到兩個不同的透鏡，兩個透鏡都很好。
展開 SYNOPSYS?PSD優化
SYNOPSYS 獨有的區域優化功能是“自動元件 插入”和“自動元件刪除”，可在最佳位置插入或刪除鏡頭元件。
前一種算法的運行方式與 Florian Bociort 的鞍點 算法非常相似。
全局優化算法
Dilworth 最近增加到 SYNOPSYS 的新全局優化 算法 DSEARCH 和 ZSEARCH 令人印象深刻。
DSEARCH 從對鏡頭的粗略描述以及任何其他所 需約束開始，并產生幾個通常接近最終設計的候 選設計方案。
ZSEARCH 對變焦鏡頭做同樣的事情。即使設計人員不知道初始配置可能是什么樣，兩種算法都 可以提供良好的鏡頭設計。
初始條件
所有面都從平面開始
所有面的厚度和所有空氣間隔都是5 mm
后焦距50 mm
所有玻璃：折射率1.6，阿貝數50
物在無窮遠，全視場20度，入瞳直徑12.7 mm
高斯像高接近33 mm
光闌最初在表面1
可以改變光闌位置，所有曲率半徑、厚度，所有空氣間隔除了最后一面，玻璃特性。
執行PSD優化
點擊Open MACro按鈕
選擇C7M1.MAC
點擊Open
讓我們來看看一個好的優化算法 如何能夠快速將糟糕的設計變成 一個相當不錯的設計
平行平板優化后
再次優化
將AWT: 0 改為AWT: 0.2，再次點擊Run按鈕。
AWT使每條光線有一個孔徑相關的權重，當增加為 0.2時，靠近光瞳中心的光線權重比邊緣光線更重。
總結
Donald Dilworth 在他的程序 SYNOPSYS 光學設計軟件中包含的三類優化算法做出了重要貢 獻：PSD算法，區域優化算法，全局優化算法。
AWT=0和AWT=0.2得到兩個不同的透鏡，兩個透鏡都很好。
展開 Isight中三類優化算法比較
Isight中三類優化算法比較
Isight優化算法可分為梯度算法、直接搜索法和全局優化法。梯度算法通過在設計空間中的當前位置設定一個前進方法和搜索步長從而獲得設計空間中的另一個位置，并判斷收斂性，Isight中梯度優化算法有三種NLPQL,LSGRG和MMFD。直接搜索法不用計算函數的梯度，僅需要函數值評估，可以有效探索初始設計點周圍的局部區域，Isight中提供的直接法有HJ(Hooke-jeeves)和DS(downhill simplex)方法。全局優化法具有搜索全局最優解的，但計算耗時多，Isight中提供的全局優化算法有MIGA,ASA和PSO。本文通過一個雙峰的不完全可行域問題來比較三類優化算法求解全局最優解的效率。
優化問題：
max f(x)=60/(1+(x1+1)^2+(x2-3)^2)+20/(1+(x1-1)^2+(x2-3)^2)+30/(1+x1^2+(x2+4)^2)
s.t. –((x1-2)^2+x2^2<-4.0
-5<x1<5
-5<x2<5
優化算法分別選用NLPQL,HJ和MIGA。
局部解（0，-4），f(x)=31.57;全局解（-0.97,3），f(x)=64.63，如圖1所示。
圖1 目標函數的等值面
isight優化步驟：
1、
構建優化流程，application組件采用calculator，process 組件選用optimization;
圖2-優化流程構建
2、
設置優化算法、設計變量、約束及目標，設計變量初始值等；
圖3-優化算法及參數設置
3、
查看優化結果，并比較3種算法搜尋全局最優解的效率。
展開 ZEMAX | 如何設計光譜儀——實際應用
這個操作數不被用于優化過程（權重為0），只用于查看聚焦單元的焦距。
第22行及以下行：優化最小光斑尺寸。這些行是使用優化向導自動生成的，如上圖所示。
點擊優化 ( Optimize) > 全局優化 ( Global Search )打開全局優化窗口，并開始優化，只需幾秒鐘就可以找到系統的全局最優解：
現在，三個波長的光斑大小都已經接近衍射極限：
錘形優化
下一步，也是最后一步，通過錘形優化得到最終的解。此時，需要對評價函數進行修改，因為現在已經達到了系統的衍射極限。我們將不再對光線進行優化，而是對衍射極限的圈入能量進行優化。通過刪除評價函數中的第22行及以下行，并將它們替換為以下三個操作數來實現這個目標：
輸入DENC操作數的相關參數，以使其分別參考三個波長的質心在y方向上優化得到最大能量。經過幾分鐘的錘形優化（通過點擊：優化 ( Optimize ) > 全局優化 ( Global Optimizers ) > 錘形優化 ( Hammer Current ) 打開）， OpticStudio將會找到在光線優化方面看起來更糟糕的解：
但是如果查看圈入能量分數(Fraction of Enclosed Energy)（通過點擊：分析(Analyze)>像質分析(Image Quality)>圈入能量(Enclosed Energy)>衍射(Diffraction)打開），我們會發現已經接近系統的衍射極限了：
我們選用的探測器的像素寬度為10μm。因此，重要的是控制距離質心y方向上5μm內的圈入能量分數，可以看出：得到的結果僅比所能達到的衍射極限低百分之幾。
可以將錘形優化運行更長時間，然后進行局部優化，以找到更好的結果，但目前所取得結果也是非常好的。
展開 Ansys Zemax | 如何設計光譜儀——實際應用
這個操作數不被用于優化過程（權重為0），只用于查看聚焦單元的焦距。
第22行及以下行：優化最小光斑尺寸。這些行是使用優化向導自動生成的，如上圖所示。
點擊優化 ( Optimize) > 全局優化 ( Global Search )打開全局優化窗口，并開始優化，只需幾秒鐘就可以找到系統的全局最優解：
現在，三個波長的光斑大小都已經接近衍射極限：
錘形優化
下一步，也是最后一步，通過錘形優化得到最終的解。此時，需要對評價函數進行修改，因為現在已經達到了系統的衍射極限。我們將不再對光線進行優化，而是對衍射極限的圈入能量進行優化。通過刪除評價函數中的第22行及以下行，并將它們替換為以下三個操作數來實現這個目標：
輸入DENC操作數的相關參數，以使其分別參考三個波長的質心在y方向上優化得到最大能量。經過幾分鐘的錘形優化（通過點擊：優化 ( Optimize ) > 全局優化 ( Global Optimizers ) > 錘形優化 ( Hammer Current ) 打開）， OpticStudio將會找到在光線優化方面看起來更糟糕的解：
但是如果查看圈入能量分數(Fraction of Enclosed Energy)（通過點擊：分析(Analyze)>像質分析(Image Quality)>圈入能量(Enclosed Energy)>衍射(Diffraction)打開），我們會發現已經接近系統的衍射極限了：
我們選用的探測器的像素寬度為10μm。
展開 LS-OPT?優化設計和參數識別
LS-OPT界面參數定義流程圖
功能:
?多學科優化和多目標優化(MDO/MOO)
?離散變量和混合變量優化
?全局優化
?魯棒優化與/或可靠性優化
?LS-DYNA? 數據，包括異常分析數據和LS-PrePost? 支持數據
?噪聲與滯回曲線匹配的參數識別
?基于數字圖像相關法的全場校正
?不確定性量化
?靈敏度分析
基于分類器的參數化車身側面碰撞
求解器和算法:
?連續響應面方法
?遺傳算法和高效全局優化算法(EGO)
?求解多目標優化的NSGA-II算法
?蒙特卡羅算法 (直接法與基于代理模型法)
?異常分析法
?針對統計分類的支持向量機法(SVMs)
?Taguchi方法
?曲線相似性度量：動態時間規整算法(DTW), 部分曲線映射和曲線離散Fréchet距離算法
?實驗設計：空間填充法, 全因子或部分因子設計法, 拉丁超立方體抽樣法
?代理模型：神經網絡模型、多項式模型、 Kriging模型和支持向量機回歸模型
?基于網絡計算環境的作業調度
實際的數據 (LS-DYNA) 分類器 (藍色邊界線)
LS-OPT具有以下交互式圖形界面后處理的功能：
?計算結果繪圖 (相關矩陣, 散點圖, 平行坐標, 自組織映射, 時間歷程, 數據統計)
?代理模型繪圖 (面, 二維橫截面, 準確率, 全局靈敏度, 歷史靈敏度)
?Pareto繪圖 (散點圖, 平行坐標, 自組織映射)
?隨機分析 (統計工具, 相關性, 隨機貢獻)
?優化歷史
?具有交互功能的表格
采用動態時間規整算法的GISSMO 失效模型校正
全場校正 (數字圖像相關法)
材料參數識別
網址：
https://www.lsoptsupport.com/
展開 
遺傳算法方面論文
</Font><BR><Font color=#FF0000><B>點評:</B></Font>
SECTAM18.pdf
避免近親繁殖的遺傳算法.pdf
多目標優化遺傳算法的收斂性定義及實例研究.pdf
防止遺傳算法成熟前收斂的有效方法英.PDF
改進遺傳算法在非線性熱傳導參數識別中的應用.PDF
基于純數值函數優化的一種混合遺傳算法.pdf
基于擴展串的等價遺傳算法的收斂性.PDF
基于擴展串的等價遺傳算法的收斂性.PDF
基于遺傳算法的微機電系統魯棒性優化設計.pdf
基于遺傳算法的支持向量機時間序列預測模型優化.pdf
均勻設計法在GA欺騙問題中的應用研究.pdf
求解全局最優化的遺傳 算法的研究.pdf
十進制遺傳算法的收斂性分析.PDF
演化算法的收斂性分析及算法改進.PDF
一種全局優化算法遺傳算法_單純形法.pdf
遺傳模擬退火算法在約束求解中的應用.pdf
遺傳算法的早熟收斂.pdf
遺傳算法機理的研究.pdf
展開 近十年的VI-SLAM算法綜述與發展
圖2 緊耦合和松耦合的示意圖
而VI-SLAM根據后端優化方法的不同，分為基于濾波和基于優化 2 類方法，在濾波方法中,傳統的 EKF(擴展卡爾曼濾波器) 、UKF(無跡卡爾曼濾波器)、改進的 MSCKF(多狀態約束卡爾曼濾波器) 和OpenVins都取得了一定的成果?，F階段基于優化的方法則慢慢占據了主流。
2. 基于優化的方案
基于優化的方法主要依靠圖像處理技術進行特征提取和圖像匹配，而 IMU 數據則被視為先驗項或者正則化項。自 PTAM(parallel tracking and map-ping) 之后，批量非線性優化方法一般都分為2 個線程：跟蹤和建圖.在跟蹤線，通過各種特征檢測器從圖像中提取 3 維空間中的點、線或其他路標特征。然后，針對檢測到的所有特征，在 2 個圖像之間定義重投影誤差。之后用該誤差建立優化的代價函數，以便找到特征或地標的坐標，即光束平差法(bundle adjustment,BA) 。在建圖線程，地圖中特征和路標的坐標被用于定義 2 幅圖像之間的重投影誤差，然后再次應用優化算法來發現移動機器人位姿的變化。將優化問題分成 2 個并行線程的目的是使跟蹤部分實時響應圖像數據，以便快速獲得跟蹤結果。而地圖的優化沒有必要實時計算，可以放在后端緩慢運行.基于優化的方法通常使用g 2 o 、Ceres 、GTSAM 等非線性優化庫實現優化。
基于優化的方法有兩種類型，一種是含有局部優化（LBA）和全局優化（GBA），一種是只有全局優化（GBA）
LBA通過設定固定的窗口，將在這個窗口內的系統狀態進行估計，同時邊緣化舊的狀態維持實時優化窗口。
展開 Ansys Zemax光學設計軟件技術教程：光學系統設計中如何使用玻璃替換方法
本文介紹了如何使用玻璃替換方法進行直接玻璃優化，以及在考慮玻璃的可用性、成本及耐候性等因素時，如何進一步嚴格挑選玻璃。作者 Nam-Hyong Kim簡介玻璃替換方法是OpticStudio中選擇玻璃最有效的方法。玻璃替換方法可直接修改玻璃類型，然后重新優化系統，以確定新的玻璃是否是更好的設計方案。當玻璃被設置為“substitute”求解時，OpticStudio將自動完成此過程。如果一種玻璃被標記為可替換 (Substitute) 玻璃，則全局優化算法（Hammer和Global Search）將在優化過程中自動執行此類玻璃的迭代替換。這樣可使OpticStudio在不借助于理想化玻璃色散的情況下優化系統。本文將提供此方法的一個示例。玻璃替換OpticStudio中處理玻璃優化的方式與處理其他數據的方式有些不同。直接優化玻璃選擇是一件很困難且不可預測的過程，因為玻璃的屬性是不連續的。選擇玻璃的傳統方法是使用某種模型玻璃。模型玻璃方法是使用一些數值參數將玻璃色散理想化，然后優化這些參數，同時將參數值或計算的折射率值約束為類似可用的玻璃。在可見光區域，可以使用Conrady d-D方法進一步簡化該方法。這種方法僅對少數不同波長的光線進行追跡、縮放，然后使用優化方法使其差異變為零值。如果一種玻璃被描述成有一定折射率、阿貝數和部分色散偏離的“模型玻璃”，則可以將這些模型參數設置為變量，然后像其他數值參數一樣進行優化。然而，模型玻璃方法存在一個嚴重的缺陷，即在使用模型玻璃方法獲得良好的設計方案之后，必須將模型玻璃轉換為真實的玻璃，然后再使用新選擇的玻璃來重新優化該設計。遺憾的是，對于許多系統，新優化的設計方案的性能可能比模型玻璃方法的設計方案的性能要差。更令人沮喪的是，使用真實玻璃的最佳設計可能與使用模型模型找到的最優設計有不同的結構。
展開 Ansys Zemax | 光學系統設計中如何使用玻璃替換方法來優化玻璃
本文介紹了如何使用玻璃替換方法進行直接玻璃優化，以及在考慮玻璃的可用性、成本及耐候性等因素時，如何進一步嚴格挑選玻璃。
簡介
玻璃替換方法是OpticStudio中選擇玻璃最有效的方法。玻璃替換方法可直接修改玻璃類型，然后重新優化系統，以確定新的玻璃是否是更好的設計方案。
當玻璃被設置為“substitute”求解時，OpticStudio將自動完成此過程。如果一種玻璃被標記為可替換 (Substitute) 玻璃，則全局優化算法（Hammer和Global Search）將在優化過程中自動執行此類玻璃的迭代替換。這樣可使OpticStudio在不借助于理想化玻璃色散的情況下優化系統。本文將提供此方法的一個示例。
玻璃替換
OpticStudio中處理玻璃優化的方式與處理其他數據的方式有些不同。直接優化玻璃選擇是一件很困難且不可預測的過程，因為玻璃的屬性是不連續的。
選擇玻璃的傳統方法是使用某種模型玻璃。模型玻璃方法是使用一些數值參數將玻璃色散理想化，然后優化這些參數，同時將參數值或計算的折射率值約束為類似可用的玻璃。在可見光區域，可以使用Conrady d-D方法進一步簡化該方法。這種方法僅對少數不同波長的光線進行追跡、縮放，然后使用優化方法使其差異變為零值。
如果一種玻璃被描述成有一定折射率、阿貝數和部分色散偏離的“模型玻璃”，則可以將這些模型參數設置為變量，然后像其他數值參數一樣進行優化。然而，模型玻璃方法存在一個嚴重的缺陷，即在使用模型玻璃方法獲得良好的設計方案之后，必須將模型玻璃轉換為真實的玻璃，然后再使用新選擇的玻璃來重新優化該設計。遺憾的是，對于許多系統，新優化的設計方案的性能可能比模型玻璃方法的設計方案的性能要差。
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