高數的案例
搞定函數極限計算的”替洛泰拉“四字訣
高數整體
2. 注意事項
3. 替
4. 洛
5. 泰
6. 拉
7. 其他
高數整體
首先貼一張根據武忠祥老師課程整理的高數框架，幫大家理清知識體系：
【圖1.高數框架】
數學的具體復習方法，可以參考這篇：考研數學一經驗分享
超級強烈推薦武忠祥老師高數強化課的“函數、極限、連續”、“導數與微分”、“微分中值定理”這幾部分。
這些部分的計算看著簡單，但里面的概念非常深，可以出很難的概念選擇題。
當然，先別急，強化課要等基本計算沒問題后再聽。
這篇文章主要講函數極限的基本計算方法。
注意事項
1）先判斷一下屬于哪種類型，是 ，，還是，方便選擇做題方法。
2）要記得用基本運算化簡，比如平方差公式，比如乘積因子cosx極限為1就直接寫成1。
3）要記得使用條件，比如小量替換要看是否乘積因子，比如洛必達要看是否，。
替
替，指小量替換，這是最先學的方法，大家應該已經得心應手了吧。
基本的替換公式大家自己看書自己記。
補充幾個利用泰勒得到的替換：
x→0時，
，
這些替換有對稱美，很好記。
其中就是張宇老師的“狗減sin狗等于六分之一狗三”，
這個有意思的說法，確實讓當初的我消除了對泰勒公式的恐懼。
首先要提醒的，是替換的使用條件。
展開 干貨 | 硬件知識“三重奏”
如果說電路基礎、高數當中的答案都是明確、唯一的，那么模電的答案將是不明確、多樣化的，需要在實踐中權衡取舍，一定要把以前的思維轉變過來，不然后面沒法學。這門課全部都是重點，但是學完它，除了抄書上的電路，你仍然什么都做不了，因為還需要其它方面的知識一起用才可以。這里不得不提一下器件特性這個概念，沒有它將不能打開電路設計的大門，但是由于篇幅有限，以后再寫文章介紹。
5、數字電子技術。這門課相對于模電來說，要簡單很多很多。它把三級管搭成各種門電路、觸發器，以便于直接把數學知識運用起來，同時它也是FPGA的先修課，是硬件工程師向算法工程師（跟計算機的算法有很大區別）轉變的基礎。這門課全部都是重點，但是要真正掌握它，還是得學FPGA才可以。
6、電力電子技術。這里講到晶閘管、IGBT和電力MOS管，都是用在強電領域的器件，是開關電源的先修課。可以說電源是硬件設計當中最關鍵的部分，一個電源設計得好不好，直接影響整個系統能否正常工作。其中整流、逆變、升壓、降壓電路，都是要重點掌握的。
二、中級理論篇
1、復變函數。這門課跟高數的微積分一樣，是一種數學工具。復數信號是物理不可實現的，但是為什么需要復數？誠然，正弦波（包括余弦，下同）有振幅、頻率和相位三要素，如何在一個圖上面表示振幅與頻率的關系或者相位與頻率的關系（方便觀察分析才需要這樣弄）？這就需要用到復數了，其中i或者j（因為電流的符號是i，所以才換成j，以防混淆）表示的就是方向，對應著極坐標的向量。我們可以把復數轉成模和輻角的形式，想象一下，模就是時鐘的秒針，而輻角就是秒針轉動的角度，秒針轉一圈就是個圓，而把這個圓的各點按照出現的時間先后，重新描繪在直角坐標系中，就是一個正弦波。
展開 硬件很難嗎？按照這樣的學習路線，提高硬件設計能力
如果說電路基礎、高數當中的答案都是明確、唯一的，那么模電的答案將是不明確、多樣化的，需要在實踐中權衡取舍，一定要把以前的思維轉變過來，不然后面沒法學。這門課全部都是重點，但是學完它，除了抄書上的電路，你仍然什么都做不了，因為還需要其它方面的知識一起用才可以。這里不得不提一下器件特性這個概念，沒有它將不能打開電路設計的大門，但是由于篇幅有限，以后再寫文章介紹。
5、數字電子技術。這門課相對于模電來說，要簡單很多很多。它把三級管搭成各種門電路、觸發器，以便于直接把數學知識運用起來，同時它也是FPGA的先修課，是硬件工程師向算法工程師（跟計算機的算法有很大區別）轉變的基礎。這門課全部都是重點，但是要真正掌握它，還是得學FPGA才可以。
6、電力電子技術。這里講到晶閘管、IGBT和電力MOS管，都是用在強電領域的器件，是開關電源的先修課。可以說電源是硬件設計當中最關鍵的部分，一個電源設計得好不好，直接影響整個系統能否正常工作。其中整流、逆變、升壓、降壓電路，都是要重點掌握的。
二、中級理論篇
1、復變函數。這門課跟高數的微積分一樣，是一種數學工具。復數信號是物理不可實現的，但是為什么需要復數？誠然，正弦波（包括余弦，下同）有振幅、頻率和相位三要素，如何在一個圖上面表示振幅與頻率的關系或者相位與頻率的關系（方便觀察分析才需要這樣弄）？這就需要用到復數了，其中i或者j（因為電流的符號是i，所以才換成j，以防混淆）表示的就是方向，對應著極坐標的向量。我們可以把復數轉成模和輻角的形式，想象一下，模就是時鐘的秒針，而輻角就是秒針轉動的角度，秒針轉一圈就是個圓，而把這個圓的各點按照出現的時間先后，重新描繪在直角坐標系中，就是一個正弦波。
展開 數值傳熱學 附數值傳熱學下載
數值傳熱學對高數以及寫程序只有比較基礎的要求，我們只要使用基礎的數學知識就可以進行學習。
下載地址：數值傳熱學
一文讀懂｜硬件知識“三重奏”
如果說電路基礎、高數當中的答案都是明確、唯一的，那么模電的答案將是不明確、多樣化的，需要在實踐中權衡取舍，一定要把以前的思維轉變過來，不然后面沒法學。這門課全部都是重點，但是學完它，除了抄書上的電路，你仍然什么都做不了，因為還需要其它方面的知識一起用才可以。這里不得不提一下器件特性這個概念，沒有它將不能打開電路設計的大門。
數字電子技術。這門課相對于模電來說，要簡單很多很多。它把三級管搭成各種門電路、觸發器，以便于直接把數學知識運用起來，同時它也是FPGA的先修課，是硬件工程師向算法工程師（跟計算機的算法有很大區別）轉變的基礎。這門課全部都是重點，但是要真正掌握它，還是得學FPGA才可以。
電力電子技術。這里講到晶閘管、IGBT和電力MOS管，都是用在強電領域的器件，是開關電源的先修課。可以說電源是硬件設計當中最關鍵的部分，一個電源設計得好不好，直接影響整個系統能否正常工作。其中整流、逆變、升壓、降壓電路，都是要重點掌握的。
No.2
中級理論篇
復變函數。這門課跟高數的微積分一樣，是一種數學工具。
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如果說電路基礎、高數當中的答案都是明確、唯一的，那么模電的答案將是不明確、多樣化的，需要在實踐中權衡取舍，一定要把以前的思維轉變過來，不然后面沒法學。這門課全部都是重點，但是學完它，除了抄書上的電路，你仍然什么都做不了，因為還需要其它方面的知識一起用才可以。這里不得不提一下器件特性這個概念，沒有它將不能打開電路設計的大門，但是由于篇幅有限，以后再寫文章介紹。
5、數字電子技術。這門課相對于模電來說，要簡單很多很多。它把三級管搭成各種門電路、觸發器，以便于直接把數學知識運用起來，同時它也是FPGA的先修課，是硬件工程師向算法工程師（跟計算機的算法有很大區別）轉變的基礎。這門課全部都是重點，但是要真正掌握它，還是得學FPGA才可以。
6、電力電子技術。這里講到晶閘管、IGBT和電力MOS管，都是用在強電領域的器件，是開關電源的先修課。可以說電源是硬件設計當中最關鍵的部分，一個電源設計得好不好，直接影響整個系統能否正常工作。其中整流、逆變、升壓、降壓電路，都是要重點掌握的。
二、中級理論篇
1、復變函數。這門課跟高數的微積分一樣，是一種數學工具。復數信號是物理不可實現的，但是為什么需要復數？誠然，正弦波（包括余弦，下同）有振幅、頻率和相位三要素，如何在一個圖上面表示振幅與頻率的關系或者相位與頻率的關系（方便觀察分析才需要這樣弄）？這就需要用到復數了，其中i或者j（因為電流的符號是i，所以才換成j，以防混淆）表示的就是方向，對應著極坐標的向量。
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如果說電路基礎、高數當中的答案都是明確、唯一的，那么模電的答案將是不明確、多樣化的，需要在實踐中權衡取舍，一定要把以前的思維轉變過來，不然后面沒法學。這門課全部都是重點，但是學完它，除了抄書上的電路，你仍然什么都做不了，因為還需要其它方面的知識一起用才可以。這里不得不提一下器件特性這個概念，沒有它將不能打開電路設計的大門，但是由于篇幅有限，以后再寫文章介紹。
5、數字電子技術。這門課相對于模電來說，要簡單很多很多。它把三級管搭成各種門電路、觸發器，以便于直接把數學知識運用起來，同時它也是FPGA的先修課，是硬件工程師向算法工程師(跟計算機的算法有很大區別)轉變的基礎。這門課全部都是重點，但是要真正掌握它，還是得學FPGA才可以。
6、電力電子技術。這里講到晶閘管、IGBT和電力MOS管，都是用在強電領域的器件，是開關電源的先修課。可以說電源是硬件設計當中最關鍵的部分，一個電源設計得好不好，直接影響整個系統能否正常工作。其中整流、逆變、升壓、降壓電路，都是要重點掌握的。
二、中級理論篇
1、復變函數。這門課跟高數的微積分一樣，是一種數學工具。復數信號是物理不可實現的，但是為什么需要復數?誠然，正弦波(包括余弦，下同)有振幅、頻率和相位三要素，如何在一個圖上面表示振幅與頻率的關系或者相位與頻率的關系(方便觀察分析才需要這樣弄)?這就需要用到復數了，其中i或者j(因為電流的符號是i，所以才換成j，以防混淆)表示的就是方向，對應著極坐標的向量。我們可以把復數轉成模和輻角的形式，想象一下，模就是時鐘的秒針，而輻角就是秒針轉動的角度，秒針轉一圈就是個圓，而把這個圓的各點按照出現的時間先后，重新描繪在直角坐標系中，就是一個正弦波。
展開 00-Ansys APDL基礎及力學理論_前言
主要需要高數知識、數值算法。基于有限元思維，通過構建微分方程來描述工程問題，然后利用合適的算法求解。有此數學基礎，可以更深入地理解有限元軟件中的參數及結果，如迭代算法選擇、迭代步數、收斂殘差、高斯積分點與節點區別、應力奇異點的產生、拓撲優化參數等等，太多。
除了數學的基礎，CAE里還有個Computer。如何配置服務器，如何配置云服務器，HPC設置，選配內存和CPU。對計算機系統的進一步理解，讓CAE工作更上一層樓。
科技發展太快了，目前工程師無需對CAE部分進行太多關注了，算法內置很成熟了，萬物參數皆可program control了，個人工作工作站相比license簡直白菜價了。領導更不會關注，底層算法和計算機性能的細枝末節。
所以CAE的價值是什么？
如果不了解CAE底層基礎，那是某工程師，CAE軟件在自己手里也僅僅是一個可視化的工具。
CAE軟件越來越強大，意味著CAE軟件能做的也越來越多。知其然的基礎上，CAE工程師應該去做到更多。而不是把自己留在以前的水平，被裝備更好的人超過。
二、工程師是什么？
工程師不同于科學家。科學家探索大自然的一般規律，而工程師僅為遵從這些規律，從數學和科學的角度解決技術問題。CAE工程師，最終還是工程師，為了解決技術問題，不是深度探討科學。
作為CAE工程師需要遵從哪些自然規律呢？
CAE的A是Aided。 本意上是輔助產品開發。也可以理解為CAE工程師輔助其他工程師。
從技術角度來說，這個輔助不簡單。提供前瞻的視野，提供產品開發加速的光環。CAE工程師要了解，這個其他工程師的工程工作，甚至更多。
這也是大多數CAE工程師被批評的地方。不懂工程問題，亂提建議，瞎出結果。
要記得自身還得是個工程師。
說完什么是CAE工程師。下一節再談談CAE工程師常遇的靈魂問答。
展開 【iSolver案例分享62】鋼結構梁柱接頭的循環載荷模擬
這三處關鍵位置結果的良好吻合，也可以推理出其他位置的結果同樣吻合良好（類似于高數中的夾逼定理）。
4 總結
綜上所述，iSolver在本案例中表現出色，展現出了與Abaqus高度吻合的計算結果，無論是在計算結果的準確性、便利性還是可靠性方面，都達到了令我滿意的水平，值得在實際工程項目中推廣和應用。
5 軟件獲取
如果你也對iSolver感興趣，不妨下載試用，并通過技術鄰社區分享你的使用體驗和案例分析。iSolver為免費軟件，無license限制，最新版免費下載地址如下：https://www.yqgqt.org.cn/content/post/337351。
展開 工業設計報考指南
其他專業或公共課程：
高等數學（本專業對于高數的要求不高……有些學校到了大二或者大一下學期就不開設高數課了）、大學英語、大學體育、思想道德修養近代史、馬列毛鄧各種概論、軍事理論、時事與政策、計算機基礎、C語言or VB等等
部分課程介紹：
設計素描：設計素描，以比例尺度、透視規律、三維空間觀念以及形體的內部結構剖析等方面表現新的視覺傳達與造型手法，訓練繪制設計預想圖的能力，是表達設計意圖的一門專業基礎課，它基本上適用于一切立體設計專業（如產品設計、造型、雕塑等）畫面以透視和結構剖析的準確性從客觀事物的具象形態中再現形式美感。
設計色彩：色彩設計就是顏色的搭配。自然界的色彩現象絢麗多變，而色彩設計的配色方案同樣千變萬化。當人們用眼睛觀察自身所處的環境，色彩就首先闖入人們的視線，產生各種各樣的視覺效果，帶給人不同的視覺體會，直接影響著人的美感認知、情緒波動乃至生活狀態、工作效率。
表現技法：裝飾畫屬于繪畫的一種，但從創作方式和表現技法上來看又與傳統的繪畫概念有一些區別，從用途上來說，現代的裝飾畫藝術更多的是起到美化環境，裝點家居等作用，通常都有一些固定的內容，或者形式，以及有規律可循的技法，與傳統概念上的繪畫主要是表達作者主觀感受與想法的目的不同。所以，就藝術這個領域來說，裝飾畫更側重于裝飾性，并更多的運用了平面設計的元素。
產品效果圖：本課程是工業設計專業必修的基礎課程之一。學生通過本課程學習后，要充分認識產品效果圖的意義與作用，能正確地觀察和表現以工業產品為主的客觀物象，掌握產品效果圖的各種表現方法與技能，能在較短時間內比較準確、流暢地把產品效果圖描繪出來。
展開 搞定數列極限計算的”夾”和“定“
去翻一下本科高數課本上定積分、二重積分部分的開頭，看到分塊求極限的圖你就懂了。
定積分就是i個小矩形面積之和。即用第i個矩形的高，乘它的寬（每個小矩形寬是等分的），再把i個面積加起來。
二重積分就是i*j個小方柱體積之和。即用第i行j列小矩形面積，乘以對應位置的高，再加起來。
不必硬背，關鍵是理解。
2. 重要說明
回去翻書檢查后發現，上次推文里至少有三個錯誤T_T。
而且公眾號里公式排版實在困難，閱讀體驗很差。
我把稿子做了一份PDF，回復 搞定數學 就能獲取勘誤后文檔。
勘誤內容也放在這里：
3. 半導體器件資料
有同學說想要半導體器件蔣玉龍老師的課件。
到處找了很久終于找到一份，公眾號回復 半導體器件可獲取。
視頻的話，Bilibili上有很多，無論是半導體物理，還是半導體器件。
PS. 數學的基本概念一定要真正理解并牢記。上次推文有錯誤就是概念不清晰所致。
21年考研數學是比較簡單的，但考試時因為矩陣秩的概念一下子想錯，錯一不難選擇題。因為訓練不充分二次型配方錯，又錯一極簡單選擇題。結果只考了130多，還好也夠。
望各位考生吸取教訓，理解并記牢基本概念，多多動手練習常見題型計算。
PPS.一寫推文就發現數學不扎實，怕誤人子弟，有點不敢寫了，以后不確定的東西盡量不寫。
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從形函數與函數的連續可導性到ansys結果中的節點解與單元解的差異
哎哎，是不是特別熟悉的感覺，正是和高數中函數的連續性和可導性兩個性質非常相似，不用奇怪，位移場本來就是用函數描述的，所以自然就存在函數的性質，所以用函數的性質來理解就可以方便解釋一些現象了，下圖分別是用兩種形函數描述的位移場，在有限元求解后得到的首先是節點位移解，即圖中5個節點的位移，假如每個節點的位移用坐標x\y\z的函數來表示，然后通過形函數插值得到相鄰節點之間的位移（也是xyz的函數），上圖是用一次形函數插值，下圖是用二次形函數插值。無論用哪種形函數插值得到的節點間的位移都是連續的，但是無論用哪種形函數插值得到的單元連接處的位移都是不平滑的，假如節點1和節點2之間的單元是單元1，節點2與節點3之間的是單元2，無論采用什么類型的形函數，位移在單元1與單元2連接處（node2）總是不平滑的，把節點之間的連線看作函數曲線，在單元之間的連接處總是不可導的，但都是連續的，原因是形函數只在單元內描述位移場，從不跨界。
那么為什么要強調位移場在節點處不平滑呢，只要連續那么在結果的位移云圖上不就足夠了嗎？這就牽涉到應力，應力可以認為是位移場的微分解，很顯然在節點處是不可微的，那么從單元1靠近節點2，可以稱為單元1的右極限，從單元2靠近節點2可以稱為單元2的左極限，那么問題來了，節點2的應力到底是通過誰的微分得到的結果呢？答案是從兩個極限分別微分得到兩個不同的結果，所以節點2有兩個應力值，類似地其他節點也是一樣的，當然這只是針對上圖來解釋的，如果是殼單元那么對于非邊緣的節點將有4個應力值，而且都不相等，邊緣節點將有2個不同應力值，兩個邊緣交點才只有1個應力值，這樣解釋是不是更容易理解一些呢。
下面通過一個實例進一步說明，梁一端固定，另一端施加力。
展開 一點的應變狀態.
任意方向上的應變實際是為了描述不同坐標系下一點的應變狀態，在其推導過程中尤其要理解方向余弦和投影的意義，畫出任意方向上應變的推導過程如下：
在一點處應變狀態的推導過程中，用到了高數中泰勒級數、中學學過的向量內積運算，以及小學學過的勾股定理。在學習中，如果可以把新的知識點拆解，與之前學過的課程對接，新的知識點就變成了老的知識點，消除學習難點，同時這樣的對接還加固了原來的知識點，一箭雙雕、一舉二得，使得學習收益最大化。
如果把學習看作是學習者搭建自身知識架構體系的過程，知識點的拆解、重組過程就相當于找到承載新知識點的傳力途徑，如果這種傳力途徑一直可達中學、甚至是小學的知識點，由此搭建的知識架構就越穩定，知識點就越不容易遺忘。相反，如果每學一種新的知識點都將其作為全新的知識而不能分解與重組，那么學習就會變成一種負擔，學習者就會越學越累直至架構不能承載而發生坍塌。
來源：力學酒吧
作者：張偉偉
展開 引力子 等價于 膠子^2 ， 引力和強力的關系探索。
左起：Henrik Johannson，Zvi Bern，John Joseph Carrasco
這個對偶關系本身，是高數里常見的雅克比恒等式一樣的數學關系。第一眼看起來似乎只是多了個約束條件，能幫忙消除一些計算中搗亂的變量。但是三位研究者敏銳地發現，這個簡化之后的數學形式，竟然意外地將兩種看似無關的粒子聯系在了一起：
引力子=膠子^2
其中引力子是傳遞引力的粒子，膠子是傳遞強相互作用的粒子。一個質子或者中子里的那三個夸克，之所以能夠緊緊地抱在一起，就是因為他們之間通過交換膠子才形成了強烈的吸引。
而等號的意思，是指數學結構上的等價。也就是說，如果把膠子的作用反復使用兩次，就會得到一個與引力子單次作用時完全相同的數學式子。這種數學形式上的“撞臉”，幾乎不可能是巧合。因為這些計算所涉及的式子都極為冗長，隨便一個普通計算就有10^20項以上，復雜的甚至能達到10^60項之多。要知道，10^20個原子核排成一列的話，都可以從地球南極貫穿到北極了，如果用普朗克尺度做基本單位的話，整個可觀測宇宙的大小也不過10^60左右。
另外，從一些已知的物理事實中，我們也能隱約感覺到二者之間似乎可以建立起這種聯系。比如，膠子的自旋是1，而引力子的自旋是2；強力是矢量，而引力是張量。這些倒是蠻貼合二者間的平方關系。更有趣的是，以宏觀經典理論視角來看，引力因物質的質量而生，同時微觀粒子物理的視角又告訴我們，物質中的質量其實主要源自膠子所承載的強相互作用。
當然，這些感覺都不是實錘論據，只能作為檢驗猜測合理性的初級線索。不過，對一心渴望探索量子引力的物理學家來說，這些線索足以引起強烈的好奇和研究動力。
展開 講解：西門子PLC常見的20個問題
選用帶外部復位模式的高速計數器，當外部復位輸入點信號有效時，高速計數器復位為0也可使用內部程序復位，即將高速計數器設定為可更新初始值，并將初始值設為0，執行HSC指令后，高數計數器即復位為0.
14、高速計數器的值在復位后是復位到初始值還是“0”值?
外部復位會將當前值復位到0值而不是初始值；內部復位則將當前值復位到初始值。如果你設定了可更新初始值，但在中斷中未給初始值特殊寄存器賦新值，則在執行HSC指令后，它將按初始化時設定的初始值賦值。
15、為何給高速計數器賦初始值和預置值時后不起作用，或效果出乎意料?
高速計數器可以在初始化或者運行中更改設置，如初始值、預置值。其操作步驟應當是：
1）設置控制字節的更新選項。需要更新哪個設置數據，就把控制字節中相應的控制位置位（設置為“1”）；不需要改變的設置，相應的控制位就不能設置。
2）然后將所需的值送入初始值和預置值控制寄存器。
3）執行HSC指令。
16、使用PTO/PWM發生器的功能應使用什么類型的CPU？
應使用24VDC晶體管輸出的CPU，繼電器輸出的絕對不行。
17、PTO或PWM輸出的幅值是多少？
PTO或PWM輸出的幅值為24V（高電平有效，共負端連接），若想實現輸出其他電壓的幅值，需自己加轉換器來實現。
18、在PTO脈沖串執行過程中，你能否通過PLS指令改變其周期值？
不行，必須終止PTO輸出后才能改變周期值。
19、如何強制停止PTO或PWM輸出？
可以通過編程將控制字節中的使能位SM66.7或SM76.7清零，然后執行PLS指令，便可立即停止PTO或PWM輸出。
20、為何輸出信號的指示燈已亮，卻沒有良好的電壓波形輸出，或者有時丟脈沖？
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