代數(shù)的案例
清華筆記：計算共形幾何講義 （1）代數(shù)拓撲
這里有幾個層面的問題：
信息完全問題：在將拓撲代數(shù)化的過程中，會有信息丟失，比如對于三維流形，同調(diào)群反映的信息不完全，同倫群反映的信息更多。更為嚴密的說法是：給定兩個封閉的三維流形，如果它們拓撲同構(gòu)當且僅當它們的同倫群同構(gòu)。但是，相應(yīng)的結(jié)論對于同調(diào)群不成立。
代數(shù)結(jié)構(gòu)的可計算問題：同倫群通常是非交換的，其計算歸結(jié)為符號計算。計算一個流形的基本群（一維同倫群）是線性時間復(fù)雜度的，但是判定兩個群是否同構(gòu)，通常是NP-難問題。同調(diào)群是可交換的，其計算歸結(jié)為線性代數(shù)，因而具有多項式時間復(fù)雜度。
計算方法可替代問題：為了解決拓撲問題，代數(shù)拓撲并非唯一的選擇，微分拓撲和幾何拓撲會提供強有力的計算方法。例如，如果一個紐結(jié)不經(jīng)過剪段和重新鏈接、可以漸變成另外一個扭結(jié)，則我們說這兩個紐結(jié)彼此同痕。我們可以用代數(shù)拓撲方法來判定紐結(jié)同痕：兩個紐結(jié)同痕，當且僅當它們在三維歐氏空間中的補集的同倫群同構(gòu)。我們也可以用幾何拓撲方法：將它們的補空間配上常曲率的黎曼度量，然后判定補空間是否等距。對于這個問題，幾何拓撲的方法更加簡潔直接。
當然，將問題代數(shù)化的思想在數(shù)學(xué)中非常普遍。例如，代數(shù)幾何、代數(shù)曲線理論就是用代數(shù)方法來研究幾何問題。比如，給定兩個實際生活中的曲面，曲面自然具有歐氏空間誘導(dǎo)的黎曼度量，因此成為黎曼面。曲面上所有的亞純函數(shù)構(gòu)成一個域（Meromorphic Function Field）。黎曼面之間存在保角雙射，當且僅當它們的亞純函數(shù)域彼此同構(gòu)。
代數(shù)拓撲應(yīng)用-虛擬腸鏡
在美國，直腸癌是男子的第四號殺手，排在前三位的是心腦血管疾病。人到中年之后，通常每年都會長出直腸息肉。如果息肉的位置不當，經(jīng)常摩擦潰瘍，就會發(fā)生癌變。
展開 CAE系列之1—用代數(shù)方程來表達客觀規(guī)律
這樣，最后是5個代數(shù)方程所組成的代數(shù)方程組。
對于代數(shù)方程組，采用線性代數(shù)的高斯消元法，很容易解決。所以對于代數(shù)方程組，在數(shù)學(xué)上的求解是不存在問題的。可惜世界上的問題并非都如此簡單。很多情況下，事物內(nèi)部的關(guān)系需要使用微分方程組來表達，這給計算帶來了難以克服的困難，下一篇博文將闡述此問題。
來源：宋博士的博客，版權(quán)歸作者所有。
技術(shù)分享｜并行代數(shù)多重網(wǎng)格算法：如何用黑盒求解器攻克復(fù)雜工程計算的效率瓶頸？
它分為幾何多重網(wǎng)格（Geometric Multigrid Method, GMG）和代數(shù)多重網(wǎng)格（Algebraic Multigrid Method, AMG）兩類，分別基于幾何信息和純代數(shù)結(jié)構(gòu)構(gòu)建。
傳統(tǒng)迭代方法如雅可比(Jacobi)、高斯-賽德爾(Gauss–Seidel)方法雖能在細網(wǎng)格上快速消除高頻誤差，但對低頻誤差效果不佳。多重網(wǎng)格方法通過將問題轉(zhuǎn)移到粗網(wǎng)格，使低頻誤差在粗網(wǎng)格上變?yōu)楦哳l，從而被有效消除。它構(gòu)建一系列從細到粗的網(wǎng)格，通過限制(Restriction)和插值(Interpolation, or Prolongation)在不同網(wǎng)格間傳遞信息，利用粗網(wǎng)格快速消除低頻誤差，細網(wǎng)格修正高頻誤差，以此加速收斂。
下圖反映了一個2D泊松方程的迭代求解過程中殘差分布的變化（初始隨機分布），模型分辨率為100 × 100個網(wǎng)格點，使用的迭代方法為高斯-賽德爾迭代法。可以發(fā)現(xiàn)，長波長(低頻)殘差的衰減速度要比短波長(高頻)殘差慢得多。
(圖片來自文獻Introduction to Numerical Geodynamic Modelling)
02 代數(shù)多重網(wǎng)格(AMG)方法
代數(shù)多重網(wǎng)格方法是一種用于求解稀疏線性方程組的高效數(shù)值計算方法，特別適用于工程和科學(xué)計算中的復(fù)雜問題。它通過將計算區(qū)域劃分為多個層次化的網(wǎng)格，以提高計算效率和精度。AMG方法的基本思想是利用粗網(wǎng)格和細網(wǎng)格之間的關(guān)系，通過在不同層次上進行平滑和殘差修正來加速求解過程。它結(jié)合了代數(shù)方法和多重網(wǎng)格技術(shù)，不需要顯式的網(wǎng)格生成，而是直接在代數(shù)層面上操作，通過層次化拓撲關(guān)系的構(gòu)建得到各層級的稀疏矩陣。這使得AMG方法具有較大的靈活性，可以適應(yīng)不規(guī)則的幾何形狀和復(fù)雜的邊界條件。
展開 非線性代數(shù)方程組與定理機器證明.rar
非線性代數(shù)方程組與定理機器證明.rar1理論 數(shù)學(xué)
非線性代數(shù)方程組與定理機器證明.part1.rar
非線性代數(shù)方程組與定理機器證明.part2.rar
適用于所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振代數(shù)體系
摘要 ：本文利用三維相干矢量（9×1矩陣）構(gòu)建了一種新型三維偏振代數(shù)，可用于計算所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，尤其適用于入射光場為部分偏振或非偏振的情況。基于該三維偏振代數(shù)，我們對高數(shù)值孔徑（NA=1.25油浸式）顯微物鏡的偏振特性進行了理論分析，并采用商用軟件VirtualLab Fusion對該高數(shù)值孔徑光學(xué)系統(tǒng)進行了偏振仿真。通過對比理論計算與仿真結(jié)果，兩者呈現(xiàn)出完全匹配的關(guān)系，證實該三維偏振代數(shù)能夠有效量化所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振特性。
ANSYS經(jīng)典三個主應(yīng)力代數(shù)和云圖顯示方法（UPFS子程序）
三個主應(yīng)力代數(shù)和？算這個有什么用呢？還真有用，壓力容器分析設(shè)計標準
JB4732里有明確的校核條款，見下圖。
JB4
732很多條款是參考美國ASME標準的，所以ASME 8-2 也有一樣的要求。
ANSYS經(jīng)典界面后處理并沒有這個項目，那么我們?nèi)绾蔚玫? 三個主應(yīng)力代數(shù)和的云圖呢？
ANSYS UPFS二次開發(fā)
userOut.F子程序可以完美解決這個問題。如果想進行
UPFS二次開發(fā)，首先需要搭建開發(fā)環(huán)境。
[VirtualLab論文] 適用于所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振代數(shù)體系
摘要：本文利用三維相干矢量（9×1矩陣）構(gòu)建了一種新型三維偏振代數(shù)，可用于計算所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，尤其適用于入射光場為部分偏振或非偏振的情況。基于該三維偏振代數(shù)，我們對高數(shù)值孔徑（NA=1.25油浸式）顯微物鏡的偏振特性進行了理論分析，并采用商用軟件VirtualLab Fusion對該高數(shù)值孔徑光學(xué)系統(tǒng)進行了偏振仿真。通過對比理論計算與仿真結(jié)果，兩者呈現(xiàn)出完全匹配的關(guān)系，證實該三維偏振代數(shù)能夠有效量化所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振特性。
[VirtualLab論文] 適用于所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振代數(shù)體系
摘要：本文利用三維相干矢量（9×1矩陣）構(gòu)建了一種新型三維偏振代數(shù)，可用于計算所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，尤其適用于入射光場為部分偏振或非偏振的情況。基于該三維偏振代數(shù)，我們對高數(shù)值孔徑（NA=1.25油浸式）顯微物鏡的偏振特性進行了理論分析，并采用商用軟件VirtualLab Fusion對該高數(shù)值孔徑光學(xué)系統(tǒng)進行了偏振仿真。通過對比理論計算與仿真結(jié)果，兩者呈現(xiàn)出完全匹配的關(guān)系，證實該三維偏振代數(shù)能夠有效量化所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振特性。
適用于所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振代數(shù)體系
摘要 ：本文利用三維相干矢量（9×1矩陣）構(gòu)建了一種新型三維偏振代數(shù)，可用于計算所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的偏振特性，尤其適用于入射光場為部分偏振或非偏振的情況。基于該三維偏振代數(shù)，我們對高數(shù)值孔徑（NA=1.25油浸式）顯微物鏡的偏振特性進行了理論分析，并采用商用軟件VirtualLab Fusion對該高數(shù)值孔徑光學(xué)系統(tǒng)進行了偏振仿真。通過對比理論計算與仿真結(jié)果，兩者呈現(xiàn)出完全匹配的關(guān)系，證實該三維偏振代數(shù)能夠有效量化所有偏振敏感光學(xué)系統(tǒng)的三維偏振特性。
技術(shù)分享︱突破大規(guī)模CFD仿真瓶頸：UNAP代數(shù)求解庫性能實測與優(yōu)化解析
</p><p> 然而，隨著工程問題規(guī)模的不斷擴大，傳統(tǒng)代數(shù)求解器在處理大規(guī)模稀疏線性方程組時暴露出性能瓶頸。具體而言，現(xiàn)有求解器在并行計算中的通信開銷較大，尤其是代數(shù)多重網(wǎng)格(AMG)方法，難以充分發(fā)揮高性能計算平臺的并行潛力，從而限制了整體計算效率和擴展性。</p><p><strong style="color: rgb(15, 133, 214);"> 此次高性能改造的目標</strong>是對該CFD商軟中的代數(shù)求解器進行替換與優(yōu)化，開發(fā)出<strong style="color: rgb(15, 133, 214);">性能更高、并行效率更好</strong>的數(shù)值求解模塊，以解決大規(guī)模并行通信開銷過大的問題。通過此次改造，<strong style="color: rgb(15, 133, 214);">期望顯著提升CFD軟件在大規(guī)模計算場景下的計算速度與可擴展性，為復(fù)雜工程問題的高效仿真提供支持。</strong></p><p><span style="background-color: rgba(1, 0, 0, 0);"> 結(jié)合軟件的主要使用場景，本次改造確定弱擴展性并行效率測試的環(huán)境為： 400萬以上網(wǎng)格算例，以單核為基準計算10倍擴展時的并行效率。</span></p><p><br></p><h3><strong>1.2 </strong><strong style="background-color: rgba(1, 0, 0, 0);">高性能改造的必要性</strong></h3><p> 在 CFD 數(shù)值求解過程中，代數(shù)求解器往往占據(jù)總計算時間的很大一部分，是影響整體性能的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。
展開 用 Mathematica 中的阿基米德螺線和復(fù)雜代數(shù)分析太空中雜耍的模式
使用線性代數(shù)書寫時，該力表示為 FC= -2m(ωxv')，其中m是物體的質(zhì)量，ω 是角速度，v' 是物體在旋轉(zhuǎn)坐標系中的速度。
離心力通常被認為是汽車快速轉(zhuǎn)向或在旋轉(zhuǎn)嘉年華騎行中的術(shù)語。使用線性代數(shù)，我們將力寫為 Fcent=-mωx(ωxr')，其中 r' 是物體在旋轉(zhuǎn)坐標系中的位置。
這些力很有趣，因為它們是“虛擬力”中最常見的形式，而這個術(shù)語通常非常令人困惑。我的困惑往往源于我們使用具有實際力作用的物理系統(tǒng)這一事實。就像在颶風(fēng)的情況下一樣，有一部分空氣遠離旋轉(zhuǎn)軸（赤道附近），有一部分接近旋轉(zhuǎn)軸（赤道以北或北）。這對我來說似乎不是“虛構(gòu)”的。
在上面的數(shù)學(xué)中，我們沿著直線扔球，我們知道它不會遇到任何力，它的動量是守恒的。但是，當我們在旋轉(zhuǎn)框架中查看它時，它遵循阿基米德螺旋。如果我們檢查我們的解決方案 T，我們會發(fā)現(xiàn) T 滿足微分力方程，包括科里奧利力和離心力方程。
我們必須要么將我們的復(fù)代數(shù)移動到線性代數(shù)或反之亦然。讓我們在復(fù)代數(shù)中找到上述微分方程的表示。首先，我們寫
請注意，阿基米德螺線平面和我們選擇的角速度與該平面垂直。這是該系統(tǒng)的快速圖片
這意味著在阿基米德螺線仍然在實虛平面上 ω 與任意點 T、速度或加速度之間的乘積。由于是交叉乘積，所以結(jié)果總是垂直于兩個輸入向量。因此我們可以通過其中將交叉乘積轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)記號。
我們可以將我們的微分方程改寫為
現(xiàn)在是做數(shù)學(xué)的時候了，看看四個解是否滿足這個方程。首先讓我們拿下導(dǎo)數(shù)，這樣我們就可以看到它們了。
化簡二階導(dǎo)數(shù)
檢查微分方程的右邊
我們可以看到方程的每一邊都是相等的
由此可見，廣義阿基米德螺旋軌跡可以用科里奧利力和離心力來描述。
展開 
用Maple5學(xué)習(xí)線性代數(shù)
兩個壓縮包
part1
用Maple5學(xué)習(xí)線性代數(shù).part1.rar
用Maple5學(xué)習(xí)線性代數(shù).part2.rar
清華筆記：計算共形幾何講義 （2）代數(shù)拓撲
典范表示
在可定向的緊曲面上，存在基本群的生成元:
滿足如下條件：
這里a.b代表環(huán)路a和環(huán)路b的代數(shù)相交數(shù)。所謂代數(shù)相交數(shù)可以如下理解。如果環(huán)路a和環(huán)路b橫截相交于一點q, 并且a的切向量叉積b的切向量和曲面在q點的法向量一致，則q的指標為+1，如果相反，則指標為-1。如果環(huán)路a和環(huán)路b在點q相切，則q點的指標為0. 環(huán)路a和環(huán)路b的代數(shù)相交數(shù)等于所有交點的指標之和。
這種基本群的生成元被稱為是基本群的典范基底。我們可以將曲面沿著一族典范基底切開，得到單連通的4g邊形，所得的區(qū)域被稱為是曲面的一個基本域，如圖7所示。基本域的邊界是
邊界可以縮成一個點。
圖9. 基本群的典范基底。
曲面上任何一條環(huán)路可以經(jīng)同倫變換，使得它和典范基底只相交于基點。然后，將此環(huán)路最終分解為多個子環(huán)路的乘積，每個子環(huán)路只經(jīng)過基點一次。在基本域上，每個子環(huán)路是連接兩個角點的道路。道路可以同倫變換到基本域的一段邊界上，由此子環(huán)路可以由，及其逆生成。這證明了是基本群的生成元。因此，曲面基本群的典范表示是:
.這里，g被稱為是曲面的虧格，其直觀意義是曲面上“環(huán)柄”的個數(shù)。每個環(huán)柄上有一對經(jīng)度環(huán)路和緯度環(huán)路，如圖9所示。
基本群的計算方法
圖的基本群
首先，我們考慮最為簡單的情形：拓撲空間為一個圖（Graph），記為G(V,E)，這里V是頂點集合，E是邊的集合。圖中任何非平庸的環(huán)路都無法縮成一個點，因此圖的基本群是自由生成的，其關(guān)系式為空集。首先，我們計算G的一個生成樹（Spanning Tree）T，即T是G的一個不含任何環(huán)路的子圖，同時T包含所有頂點。
展開 在 COMSOL 中存儲重要仿真結(jié)果的 2 種方法
您可以通過“全局常微分和微分代數(shù)方程”接口來定義全局方程，隨之創(chuàng)建作為簡單代數(shù)方程求解量的變量。這個接口以及類似定義域內(nèi)或點上的常微分和微分代數(shù)方程的接口，都位于“添加物理場”窗口和“模型向?qū)А敝械摹皵?shù)學(xué)”>“常微分和微分代數(shù)方程接口”下。最后，在“全局方程”節(jié)點的設(shè)置窗口中定義希望仿真輸出的變量名和代數(shù)方程。
除此之外，標量耦合算子同樣也是 COMSOL Multiphysics 中用于實現(xiàn)這一目標的重要特征。借助這些極其強大的工具，您可以在模型中創(chuàng)建全局可用的標量。
應(yīng)用案例：表示平均溫度的變量
假設(shè)您的研究重點是模型幾何中的平均溫度。為了獲取平均溫度值，您可以添加一個平均值耦合算子（例如 aveop1?），并對其進行設(shè)置，使之在整個幾何結(jié)構(gòu)（所有域）或目標域內(nèi)有效。隨后，您可以將該算子應(yīng)用到全局代數(shù)方程中，并保證它作為標量存儲在仿真結(jié)果中。假如您想要存儲的是最高溫度，那么可以使用最大值耦合算子。
“全局常微分和微分代數(shù)方程”接口可用于求解
不過在這個案例中，我們只需要將方程的變量值設(shè)置為等于平均溫度值。因此，若您已經(jīng)將代數(shù)方程的變量定義為 avtemp，便只需輸入 aveop1(T)-avtemp 即可。請記住，“全局常微分和微分代數(shù)方程”接口表示表達式等于零，因此求解的方程為 avtemp = aveop1(T)。在這里，T 表示幾何結(jié)構(gòu)中的溫度場，我們要對該變量進行求解，但并不需要將它存儲在輸出中。下方屏幕截圖顯示了本案例中“全局常微分和微分代數(shù)方程”接口下“全局方程”節(jié)點的設(shè)置窗口。
全局方程節(jié)點設(shè)置用于創(chuàng)建一個存儲在輸出中的變量。
請注意上圖中設(shè)置窗口內(nèi)的“單位”欄。為了避免單位不統(tǒng)一，并保證求解變量的單位正確無誤，您應(yīng)當對因變量和源項的單位分別進行設(shè)置。
最后一步是對仿真進行設(shè)置，使其僅存儲剛剛定義的新標量變量。
展開 數(shù)值傳熱學(xué) 附數(shù)值傳熱學(xué)下載
這個方法大致來說就是分兩步：
第一步就是將我們的傳熱學(xué)的偏微方程變成一個代數(shù)方程組，這個代數(shù)方程組在理論上與我們的微分方程非常接近，接近到什么程度呢？理論上可以無限接近。
第二步就是如何來解這個代數(shù)方程組。于是我們就有了——有限差分法，通過有限差分法就可以將我們的二階非線性偏微分方程變成一個代數(shù)方程組。有了代數(shù)方程組就可以解出來了，也就是線性代數(shù)的直接解法和迭代求解。這個解代數(shù)方程組的技術(shù)非常的成熟，我們可以直接使用，當然有限差分法有很多問題，于是我們就針對傳熱學(xué)方程的特點，提出了一個更合適的有限體積法。但是不論哪種方法，它們的目的都是一樣的，就是把傳熱學(xué)的微分方程變成一個代數(shù)方程組。所以計算傳熱學(xué)很簡單，就是上述的兩種步驟。
數(shù)值傳熱學(xué)對高數(shù)以及寫程序只有比較基礎(chǔ)的要求，我們只要使用基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識就可以進行學(xué)習(xí)。
下載地址：數(shù)值傳熱學(xué)
展開 