power law的案例
polyflow中的本構方程簡介
廣義牛頓流動
shear-rate-dependent viscosity law(粘度依賴剪切速率)
power law 適用于剪切率>100或1000的高剪切流動
bird-carreu law 與power law相對的,增加了低剪切率下的流動行為（就是增加了平臺區）
cross law 類似bird-carreu law,不同點在于他們從平臺區(Newtonian plateau)到高剪切區域(power-law region)過渡時的粘度曲線的曲率不同（moldflow用的就是cross+wlf！）
modified cross law可認為是carreau-yasuda law的一個特例(看不出與cross law有什么區別-_-!)
展開 Moldex3D模流分析材料性質與模型之熱塑材料黏度模型
Power-law 模型
Power-law模型是忽略上牛頓區域的模型，其黏度與剪應變速率的關系可以被簡化成一個 power-law (冪次律)方程式。若以此模型來仿真熱塑性材料，則可能會過度預估其低剪應變速率區域的黏度。
其中 n 為power-law 的冪指數，其值介于 0 到 1 之間；Tb 代表該材料的溫度敏感度；Ｔ為熔點溫度(K)；是指當剪應變速率趨近于零時之黏度值，而 B 為對應之常數。此模型是一個包括三個參數，可反映其在中到高剪應變速率下，黏度的log-log函式圖形將是近乎一直線的。事實上，目前常用之許多模型都是由此模型推導出來的。
Modified Cross 模型(1)
此模型可用以表征材料于上牛頓區域及剪切變稀區域對剪應變速率的相關性。
其中 D 是調整壓力對粘度影響的壓力參數；C 剪切率參數；n 為 power-law的冪指數。
Modified Cross 模型(2)
此模型類似于Cross模型1，也是用以表征在上牛頓區域及剪切變稀區域對剪應變速率的相關性。然而，此模型因可包括較寬廣分子量分布(BMWD)，故更適合用于熱塑性材料，因為市面上可得的各式各樣之材料，通常都具有寬廣分子量分布，所以此模型于Moldex3D數據庫中被廣泛地應用。另外又因此模型對溫度效應采用指數型模型，因而此模型又稱為 Cross-Exp 模型。
其中τ* 代表牛頓區域及剪切變稀區域間剪切應力的轉換；n為power-law的冪指數。
Modified Cross 模型(3)
此模型是Cross模型2的修正版本，其中對溫度效應改采用Willam-Landel-Ferry (WLF)模型，因此本模型也被稱為Cross-WLF 模型。
展開 Moldex3D模流分析之Viscosity Model for Thermoplastic
Power-law 模型
Power-law模型是忽略上牛頓區域的模型，其黏度與剪應變速率的關系可以被簡化成一個 power-law (冪次律)方程式。若以此模型來仿真熱塑性材料，則可能會過度預估其低剪應變速率區域的黏度。
η0 = B exp(Tb/T)
其中 n 為power-law 的冪指數，其值介于 0 到 1 之間；Tb 代表該材料的溫度敏感度；Ｔ為熔點溫度(K)；是指當剪應變速率趨近于零時之黏度值，而 B 為對應之常數。此模型是一個包括三個參數，可反映其在中到高剪應變速率下，黏度的log-log函式圖形將是近乎一直線的。事實上，目前常用之許多模型都是由此模型推導出來的。
展開 Moldex3D模流分析之Simple fluids
l Power-law 模型
Power-law模型是忽略上牛頓區域的模型，其黏度與剪應變速率的關系可以被簡化成一個 power-law (冪次律)方程式。若以此模型來仿真熱塑性材料，則可能會過度預估其低剪應變速率區域的黏度。
η0 = B exp(Tb/T)
其中 n 為power-law 的冪指數，其值介于 0 到 1 之間；Tb 代表該材料的溫度敏感度；Ｔ為熔點溫度(K)；是指當剪應變速率趨近于零時之黏度值，而 B 為對應之常數。此模型是一個包括三個參數，可反映其在中到高剪應變速率下，黏度的log-log函式圖形將是近乎一直線的。事實上，目前常用之許多模型都是由此模型推導出來的。
展開 
Moldex3D模流分析之Chemorheology Model
Power-law Castro Macosko 模型
此模型是 Castro Macosko模型的延伸，與有power-law(冪指數)形式剪應變速率的關系。
其中n 是由熟化程度(參數c0~c2)控制的冪指數；a0~a2 是考慮熟化對粘度影響的擬合參數；b0~b2 則是在熟化影響上再加上溫度影響的擬合參數。
Cross Castro Macosko 模型
此模型試延伸自Castro Macosko 模型，包含了Cross式的剪切率相關性表示如下：
其剪切率及溫度對于粘度的影響考慮與Modified Cross model (2)相同，但 Cross Castro Macosko 模型(1) 更加考慮了：
Herschel-Bulkley 模型
此為在Castro Macosko 模型中加入了降伏應力的影響及power-law (冪指數) 類型的剪切率相關性。而溫度的相關性則以WLF 方程來描述如下：
其降伏應力的考慮與Herschel-Bulkley模型相同；CA, CB 為WLF方程里的參數。熟化影響的參數則與Castro Macosko 模型相同。
展開 Moldex3D模流分析材料性質與模型之熱固材料黏度模型(化學流變模型)
Power-law Castro Macosko 模型
此模型是 Castro Macosko模型的延伸，與有power-law(冪指數)形式剪應變速率的關系。
其中n 是由熟化程度(參數c0~c2)控制的冪指數；a0~a2 是考慮熟化對粘度影響的擬合參數；b0~b2 則是在熟化影響上再加上溫度影響的擬合參數。
Cross Castro Macosko 模型
此模型試延伸自Castro Macosko 模型，包含了Cross式的剪切率相關性表示如下：
其剪切率及溫度對于粘度的影響考慮與Modified Cross model (2)相同，但 Cross Castro Macosko 模型(1) 更加考慮了：
Herschel-Bulkley 模型
此為在Castro Macosko 模型中加入了降伏應力的影響及power-law (冪指數) 類型的剪切率相關性。而溫度的相關性則以WLF 方程來描述如下：
其降伏應力的考慮與Herschel-Bulkley模型相同；CA, CB 為WLF方程里的參數。熟化影響的參數則與Castro Macosko 模型相同。
展開 Abaqus蠕變分析（step by step）
1) 獲得材料的蠕變模型參數
目前ABAQUS蠕變模型有三種，分別是Power-law model和Hyperbolic-sine law model。其中Power-law model有兩種形式為Time hardening form和Strain hardening form。其中Time hardening form形式最為簡單，對于簡單的蠕變過程（如蠕變過程應力變化范圍不太大）是比較適用的，式(1)為其微分形式：
由于圖2中表征的是蠕變應變與時間和等效應力的關系，故必須對公式(1)積分，積分結果見公式(2)：
表征材料蠕變特性的三個參數確定后，通過ABAQUS/CAE的添加材料的蠕變特性，如圖3所示：
2) 蠕變計算
由于蠕變是一個時間相關的過程，因此必須計入時間。同時蠕變又是一個慣性效應不明顯的過程，即結構的加速度效應不用考慮。針對這些ABAQUS提供了專門針對這一類型的分析步。
蠕變計算分析步設置在中完成，見圖4。
其中蠕變應變的容差設置將影響增量步的大小，容差設的很小，增量步也將降低。因此需要一個合適的蠕變應變的容差，一般為了保證精度而且不使得增量步過小，可以設為1E-4~1E-6左右，這個容差可以根據具體計算作調整。
蠕變計算主要就是以上兩步的設置，其余計算與常規分析完全一致。
文章轉自有限元在線博客，分享給大家學習交流
展開 abaqus粘接行為之膠粘單元
Type選擇判斷損傷的演化的方式：斷裂能和位移； softing指定損傷后的軟化方式；
混合模式行為：對以位移為判斷損傷依據時，只有兩種：直接指定損傷時的位移和表格形式;對于與斷裂能為判斷損傷依據時，還有BK定律和power law兩種，均需要指定法向和切向的斷裂能，其中BK定律中power給定有效數值即可，power law模式需要指定指數power。各項同性時，三種斷裂能相等，對指數不敏感。
按照下圖定義損傷的演化：
即能量釋放率（最大位移）達到給定的斷裂能（位移）認為完全損傷，裂紋將繼續向前擴展。
3）定義截面屬性
選擇材料和響應，本文選擇牽引開裂響應，使用節點坐標確定膠粘單元初始厚度。對于牽引開裂響應，默認厚度為1，其他默認為基于節點坐標的幾何厚度。如果采用指定為單位厚度，則創建材料時彈性模量需要進行縮放。采用單位厚度，則名義應變與開裂值相同，因為對于牽引開裂準則，彈性模量當罰剛度來理解，彈性響應通過En控制。
4）采用通用靜力學分析步，固定分析時間，初始增量步0.05，總時間1，左端完全固定，右下邊施加向右的位移0.05.
5)劃分網格
膠粘單元部分需采用結構或掃略技術，且形狀為四邊形，選擇cohesive單元族。最后單元類型為COH2D4（四節點的2維膠粘單元）。
6)提交計算，查看結國，截取裂紋尖端名義應變圖如下：
可以看到圖中裂紋尖端兩點變形前后后距離差為5.73036e-3,初始距離1.99986e-3,計算得到名義應變與圖中名義應變為2.86532相等。
展開 Moldex3D模流分析Flow參考資料之數學模型及其假設
和
其中 η 是power-law指標，η0 是零剪力黏度，τ* 是描述零剪應變區域與黏度曲線的power-law區域間的轉換區域之參數。體積分率函數f 是為追蹤流動波前的進展而導入的函數，f = 0 代表是氣相，f = 1代表高分子熔流相，當流動波前處于cells中時 0<f<1。f的增加除以時間可以以下的傳輸方程式來概括：
模具入口的流率與射出壓力是有規定的。假設模具內壁沒有任何滑移。體積分率函數的雙曲線傳輸方程式只需要入口的邊界條件。
數學模型及其假設(Mathematical Models and Assumptions) for Shell
理論上，射出成型之過程是一個移動波前有關的三維瞬時問題。非牛頓流體充填與熱傳導等問題都須于一并考慮。針對薄殼系統而言，一般可應用Hele-shaw 流體模式在非等溫條件下表征其特性。在下圖中，令u、v、w代表速度分量，x及y是平面上的坐標，而z是厚度方向(gapwise)坐標。當假設為不可壓縮流體被充填入薄殼模穴中，此時忽略厚度方向的速度分量w。對一般的塑料射出而言，忽略慣性效應為非常合理之假設。另外，我們假設厚度方向的熱對流可忽略，且流動方向的熱傳導也一并忽略()。
傳統上射出成形程序的近似分析方法示意圖
基本上，流動的方程式通常包括質量守恒、動量守恒及能量守恒。
質量守恒Conservation of Mass
如上假設所述，質量守恒定律可以表示為：
?·(u) = 0
u在此處代表速度向量。通常大家希望能夠對上式做點修正，即以微分或其導函數項來表示之：
此顯示在直角坐標系統中沿不同方向的變化量。
展開 如果CFDer做化妝品代購...
面板中可以輸入的參數包括Consistency Index k（稠度指數k）、Power-Law Index n（冪律指數n）、Yield Stress Threshold τ0（屈服應力閾值τ0 ）、Yielding Viscosity μ0（屈服粘度μ0）。
歡迎關注微信公眾號：南流坊
Abaqus非牛頓流體模擬方法 ￥169.99
</p><p>Abaqus中可以用來描述非牛頓流體剪切粘度的模型有：</p><p><strong><em>?Power law</em></strong></p><p><strong><em>?Carreau-Yasuda</em></strong></p><p><strong><em>?Cross</em></strong></p><p><strong><em>?Herschel-Bulkey</em></strong></p><p><strong><em>?Powell-Eyring</em></strong></p><p><strong><em>?Ellis-Meter</em></strong></p><p>這些模型適用于不同類型的非牛頓流體，有的是比較通用的形式，比如Power law（冪律模型），適用于廣泛剪切變形速率下的假塑性流體或脹塑性流體；有的是專用形式，比如Carreau-Yasuda模型，用于高分子聚合物的剪切變稀行為，可以用來模擬血液等流體。幫助文檔對這些模型的使用有比較詳細的介紹，需要時可以查詢。</p><p>另外，還可以通過表格或子程序定義剪切粘度：</p><p><strong><em>?Tabular form</em></strong></p><p><strong><em>?User subroutine VUVISCOSITY</em></strong></p><p>界面下無法完成非牛頓流體的定義，一種方式是通過菜單欄或模型樹中的Model→Edit Keywords來添加剪切粘度的關鍵字；另一種是直接修改生成的inp文件。
展開 
UMAT (各項同性+J2流動+自定義屈服強度等效塑性應變關系+歐拉后推徑向返回) ￥10
Abaqus自帶有3維的各項同性+J2流動+自定義屈服強度等效塑性應變關系+歐拉后推徑向返回的UMat例子
在此基礎上我進行了一些修訂用于以下情況（附件中包含for和inp）
1. 2維平面應變+各項同性+J2流動+自定義屈服強度等效塑性應變關系+歐拉后推徑向返回
2. 2維平面應變+各項同性+J2流動+冪硬化+歐拉后推徑向返回
冪硬化本構更新在張純禹的power-law基礎上修改得到，涉及到牛頓迭代的方式進行屈服應力求解
其原始文件，一起上傳
附件如下：
Moldex3D模流分析Flow參考資料之制程特征
和
其中 η 是power-law指標，η0 是零剪力黏度，τ* 是描述零剪應變區域與黏度曲線的power-law區域間的轉換區域之參數。體積分率函數f 是為追蹤流動波前的進展而導入的函數，f = 0 代表是氣相，f = 1代表高分子熔流相，當流動波前處于cells中時 0<f<1。f的增加除以時間可以以下的傳輸方程式來概括：
模具入口的流率與射出壓力是有規定的。假設模具內壁沒有任何滑移。體積分率函數的雙曲線傳輸方程式只需要入口的邊界條件。
數學模型及其假設(Mathematical Models and Assumptions) for Shell
理論上，射出成型之過程是一個移動波前有關的三維瞬時問題。非牛頓流體充填與熱傳導等問題都須于一并考慮。針對薄殼系統而言，一般可應用Hele-shaw 流體模式在非等溫條件下表征其特性。在下圖中，令u、v、w代表速度分量，x及y是平面上的坐標，而z是厚度方向(gapwise)坐標。當假設為不可壓縮流體被充填入薄殼模穴中，此時忽略厚度方向的速度分量w。對一般的塑料射出而言，忽略慣性效應為非常合理之假設。另外，我們假設厚度方向的熱對流可忽略()且流動方向的熱傳導也一并忽略()。
傳統上射出成形程序的近似分析方法示意圖
基本上，流動的方程式通常包括質量守恒、動量守恒及能量守恒。
質量守恒Conservation of Mass
如上假設所述，質量守恒定律可以表示為：
?·(u) = 0
u在此處代表速度向量。通常大家希望能夠對上式做點修正，即以微分或其導函數項來表示之：
此顯示在直角坐標系統中沿不同方向的變化量。
展開 ABAUQS 發布UMAT 平面應變+材料非線性（塑性變形+冪硬化）
標題：基于ABAQUS的UMAT用戶自定義子程序開發
特點：各項同性+J2流動+自定義屈服強度等效塑性應變關系+歐拉后推徑向返回
發布時間：本人原創，最早發布于simwe http://forum.simwe.com/thread-939615-1-1.html
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1. 2維平面應變+各項同性+J2流動+自定義屈服強度等效塑性應變關系+歐拉后推徑向返回
umat_2d4n_dp.zip
2. 2維平面應變+各項同性+J2流動+冪硬化+歐拉后推徑向返回
umat_2d4n_pw.rar
3.冪硬化本構更新在張純禹的power-law基礎上修改得到，涉及到牛頓迭代的方式進行屈服應力求解
其原始文件，一起上傳
powerlaw.doc
展開 案例分享 | CETMA混雜熱塑復合材料許用值虛擬計算
將上述多尺度材料模型導入Digimat-VA中，材料組分參數、等效S-S曲線等結果顯示如下：
PEI層的材料建模類似，不同之處在于：
- Digimat-MF建模采用線彈性（Elastic）模型
- 纖維體積含量設置為微小值：Vf=1e-5
- Digimat-VA定義了2種失效準則：
- 拉伸/壓縮采用Multi-component 2D power law
- 剪切采用Multi-component 2D power law
變異參數設置
