鐵木辛柯梁的案例
【JY】從一根懸臂梁說起
懸臂梁左端固結，右端施加2000KN集中荷載，分別采用歐拉梁-計算模型和鐵木辛柯梁-計算模型。
【iSolver案例分享24】球面網殼模態分析
基頻計算結果對比
3.1 五個軟件的基頻比較
第1階自振頻率
梁單元類型
單根桿件單元數目
Ansys
(Hz)
Abaqus
(Hz)
Nastran
(Hz)
Midas
(Hz)
iSolver
(Hz)
歐拉梁
1
10.040
9.4386
10.084
10.0521
10.0839
鐵木辛柯梁
1
10.657
10.123
--
10.0519
10.1231
歐拉梁
20
9.6087
9.6058
9.6065
9.5790
9.6090
鐵木辛柯梁
20
9.6117
9.6072
--
9.5762
9.6076
從表中數據可以看到：
（1）當使用歐拉梁單元且單根桿件僅有1個單元時，abaqus與其他軟件計算出的第一階頻率均存在較大差異；而iSolver的計算結果和Nastran頻率基本完全一樣，而Midas也與ansys更接近。
（2）對于鐵木辛柯梁單元且單根桿件僅有1個單元時，Ansys 、Abaqus、Midas計算結果也存在差異；而iSolver的計算結果和Abaqus完全一致，同時也和Midas的結果更接近。（根據midas的計算結果，文中提到的Midas的鐵木辛柯梁可能只是加入剪力修正的歐拉梁。）
（3）對于歐拉梁單元，當單元加密以后，Abaqus、Nastran、iSolver計算結果基本一致，且略大于Midas，但比Ansys要小一些；
（4）對于鐵木辛柯梁，單元加密時，Ansys、Abaqus、iSolver、Midas四個軟件計算結果基本一致。
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作者介紹： 力學碩士，有七年的結構有限元分析經驗
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在ANSYS中，剛架結構要使用梁單元（Beam單元）進行分析。在新版的ANSYS中，一般都推薦使用beam188或者beam189單元。在力學理論中，常用的梁力學模型有兩種，一種是歐拉梁，不考慮剪切變形對梁撓度的影響。還有一種是鐵木辛柯梁，考慮剪切變形對撓度的影響，但假設切應力是均布的。BEAM188和BEAM189單元使用的梁模型為鐵木辛柯梁。BEAM188單元有兩個節點，BEAM189單元有三個節點，一般情況下每個節點有六個自由度，即沿節點坐標系XYZ的平移自由度和繞XYZ的轉動自由度，通過設置，可以開啟節點的第七個自由度，稱為翹曲自由度，筆者對翹曲自由度無研究。對于本文的一榀鋼排架分析，有如下注意事項：
1 梁結構，提取節點位移和轉角，使用后處理命令PRNSOL;
2 梁結構，提取約束反力，使用后處理命令PRRSOL；
3 梁結構，繪制軸力圖，彎矩圖，剪力圖等，使用后處理命令ETABLE;
后文目錄：
一：建模
二：求解
三：后處理(位移,轉角,約束反力,彎矩,軸力,剪力等)
四：源文件
展開 STKO助力OpenSEES系列：結構模態分析以及動力特性（MDOF與等效SDOF驗證）
四、歐拉梁和鐵木辛柯梁對模態分析的影響
第四點是一個細節問題，總有同學問我，為什么Abaqus 和OpenSEES 做出來的結果對不上。實際上，是我們并沒有考究我們的單元選擇。在Abaqus 中，若不做特殊設置，默認的梁單元是考慮剪切變形的鐵木辛柯梁，而在OpenSEES中默認的elastic beam column 是歐拉梁。歐拉梁因為不考慮剪切變形則會使得結構稍稍偏剛，這一點可以從下表的對比可以看出，歐拉梁的模型的特征值和圓頻率均大于鐵木辛柯梁。因而在這一節，一并回復詢問者，做模型一定要細心，每一個參數的設置都會導致結構的懸殊。所以在Abaqus請明確使用的是B31 還是B33，在OpenSEES中可以使用section aggregator 進行添加剪切剛度以考慮剪切變形，總之模型需要保持一致性。
五、幾何模型導入的快速建模
第五點內容，可參見文首視頻教程，在這里不再贅述。
六、MDOF 和SDOF 等效合理性的驗證
結構多自由度等效為單自由度的理論是進行結構抗震設計的一個重要內容。通過動力學的知識，我們可知，結構在彈性狀態下，模態之間是正交互不影響的，于是通過對多自由度體系的推導如下：
我們可以得出以下結論： 地震輸入給結構的總能量等于各個模態等效單自由度體系相應能量的之和。因而，我們可以將復雜的MDOF 問題轉化為具有相應有效模態質量的單自由度問題。以雙自由度系統而言，如下圖：
這個雙自由度系統的地震響應就等效為為兩個分別具有有效模態質量的單自由度體系的疊加，也就是振型時程分析的原理。
在這里我們探討一個有趣的問題，我們能否通過對結構的模態分析就可以根據此結構的動力特性求得結構在相應振型荷載分布下的結構初始剛度，這從原理上是可以實現的。
展開 
應用力學的辛數學方法
§2.5.2.1 陀螺力對振動穩定性的影響
§2.5.2.2 辛本征問題及其求解
§2.5.2.3 反對稱矩陣的辛本征問題算法
§2.5.2.4 數例
參考文獻
第三章 柱形坐標彈性體系的求解
§3.1 鐵木辛柯梁理論續講
§3.2 分離變量，本征問題，共軛辛正交歸一關系
§3.3 展開定理
§3.4 本征值多重根與約當型
§3.4.1 鐵木辛柯梁理論的波傳播分析及其推廣
§3.4.2 共軛辛正交的物理解釋——功的互等
§3.5 非齊次方程的展開求解
§3.6 兩端邊界條件
§3.7 區段變形能、精細積分法
§3.7.1 位移法
§3.7.2 區段混合能、辛對偶變量
§3.7.3 黎卡提微分方程及其精細積分
§3.7.4 冪級數展開
§3.7.5 區段混合能合并?
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筆者提醒讀者，在workbench中，線模型劃分網格，默認為梁單元，如果要在workbench中指定某線體為LINK180單元，則必須插入command：</p><p>et, matid, link180</p><p>r, matid, A1 !A1為線體截面面積，必須輸入，在DM中指定的截面無效</p><p> 這里面有一個問題，讀者要思考。為什么workbench將線模型的默認單元指定為梁單元，改為桿單元需要這么麻煩輸入命令行呢？并且在workbench中查看桿單元的計算結果非常不方便。這是因為，只要設置對約束關系，完全可以用梁單元代替桿單元。比如桿單元的固定約束就是梁單元的簡支約束，兩個桿單元固接就是兩個梁單元鉸接。所以筆者認為，在workbench中可以不用了解和掌握桿單元，應該了解和掌握梁單元如何正確約束而替代桿單元。具體設置可查看后文<strong>實例二（如何用梁單元替代桿單元）。</strong></p><p><strong>3 梁單元BEAM188和BEAM189詳解</strong></p><p> 在力學理論中，常用的梁力學模型有兩種，一種是歐拉梁，不考慮剪切變形對梁撓度的影響，還有一種是鐵木辛柯梁，考慮剪切變形對撓度的影響，但假設切應力是均布的。BEAM188和BEAM189單元使用的梁模型為鐵木辛柯梁。BEAM188單元有兩個節點，BEAM189單元有三個節點，一般情況下每個節點有六個自由度，即沿節點坐標系XYZ的平移自由度和繞XYZ的轉動自由度，通過設置，可以開啟節點的第七個自由度，稱為翹曲自由度，筆者對翹曲自由度無研究。上文提到，梁單元是線模型分析的默認單元，所以筆者認為要分析線模型，則必須掌握梁單元。
展開 板殼單元的分析詳解 附板殼理論鐵摩辛柯下載
看上面的解釋和理解，可以近似的看到，在板的理論中，從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論≈在梁的理論中，從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論！
關于歐拉梁理論和鐵木辛柯梁理論，可以看下
【JY】從一根懸臂梁說起
但是在梁的理論中，
從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論，考慮剪切變形雖然導致了廣義位移和廣義載荷個數的增加，但兩種梁理論中邊界條件的個數卻是相同的。在板的理論中，
從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論，考慮剪切變形不但增加了廣義位移和廣義載荷的個數，也使剪力從不獨立變為獨立，還使邊界條件的個數增加了1個，這是板的特有現象。
值得指出的是，厚板理論存在邊界效應。比如，厚板理論自由邊的剪力為零，若考察剪力從板中央到自由邊的變化過程，就會發現在自由邊附近剪力急劇減小為零，這就是厚板的邊界效應。隨著板厚度的減小，這種效應會越來越劇烈，因此，對于板的自由邊，綜合剪力等于等于零更為合理。在板的固支和簡支邊界上也會存在邊界效應現象。
展開 【JY】板殼單元的分析詳解
看上面的解釋和理解，可以近似的看到，在板的理論中，從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論≈在梁的理論中，從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論！
關于歐拉梁理論和鐵木辛柯梁理論，可以看下
【JY】從一根懸臂梁說起
但是在梁的理論中，
從歐拉梁理論到剪切鐵木辛柯梁理論，考慮剪切變形雖然導致了廣義位移和廣義載荷個數的增加，但兩種梁理論中邊界條件的個數卻是相同的。在板的理論中，
從Kirchhoff薄板理論理論到Reissner-Mindlin中厚剪切板理論，考慮剪切變形不但增加了廣義位移和廣義載荷的個數，也使剪力從不獨立變為獨立，還使邊界條件的個數增加了1個，這是板的特有現象。
值得指出的是，厚板理論存在邊界效應。比如，厚板理論自由邊的剪力為零，若考察剪力從板中央到自由邊的變化過程，就會發現在自由邊附近剪力急劇減小為零，這就是厚板的邊界效應。隨著板厚度的減小，這種效應會越來越劇烈，因此，對于板的自由邊，綜合剪力等于等于零更為合理。在板的固支和簡支邊界上也會存在邊界效應現象。
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1.2 LeafTool 模擬原理及參數
LeafTool 中用離散的梁單元進行模擬:將鋼板彈簧的各片分成若干段,各段之間用無質量的梁連接起來。對于鋼板彈簧之間及鋼板彈簧與彈簧夾之間的接觸用ADAMS中提供的接觸力來定義。板簧參數主要包括板簧的幾何參數、離散的梁單元、襯墊和彈簧夾。
1）板簧的幾何參數；
板簧工具箱支持dat（*.dat）和lef（*.lef）文件保存格式。其中dat（*.dat）為舊版本的文件格式，建議使用lef（*.lef）格式的文件，lef（*.lef）格式文件由OG ProfileGenerator 生成。lef（*.lef）文件為tiem orbit 格式，文件中包含每片板簧的厚度，包括前部分和后半部分。
a.板簧基本尺寸（寬度、厚度等）；
b. Eye：卷耳類型（berlin，up，down，見圖1-2 示），卷耳半徑。
2) 板簧中離散梁單元；
LeafTool 中用離散的梁單元進行模擬:將鋼板彈簧的各片分成若干段,各段之間用無質量的柔性梁連接，如圖1-3 示。
a. 梁單元的特性(Ixx、Iyy、Izz 和A)由指定的片簧寬度和厚度自動計算得到；
b. 梁單元的間距L，由用戶界面輸入得到；
c. 用戶可以通過參數定義對話框修改材料特性；
當仿真分析的剛度曲線與實際試驗提供的剛度參數不一致時，需要對板簧模型進行調校，打開參數對話框，對beam 梁單元的彈性模量、剪切模量、結構阻尼等參數進行修改，表1-1 是梁單元參數的默認值。
d. 柔性梁原理；
柔性梁是一個無質量的相同截面的柔性連接，按照Timoshenko（鐵木辛柯梁理論）來傳遞兩個標記點之間力和力矩，如圖1-4、圖1-5 示，詳細計算見表1-2。
展開 『分享』彈性力學與張量分析（郭日修）
§8.6 平面問題
§8.7 平面問題舉例
第九章 幾個應用彈性力學問題
§9.1 鐵木辛柯梁理論
§9.2 歐拉－伯努利梁理論
§9.3 中厚板理論（賴斯納板理論）
§9.4 薄板理論
第十章
能量原理
§10.1 彈性體的應變能
§10.2 梁和板的應變能
§10.3 虛功原理
§10.4 最小總勢能原理
§10.5 是小總勢能原理的應用
§10.6 余能概念
§10.7 余虛功原理
§10.8 最小總余能原理
§10.9 赫林格－賴斯納變分原理
第十一章 近似解法和數值解法
§11.1 里茨方法
§11.2 里茨方法的應用
§11.3 加權殘量法
§11.4 有限差分法
§11.5 有限元法的基本方程
附錄 公式匯編
一、 張量分析公式
二、常用的曲線坐標系
三、彈性力學公式
參考書目
索引
主要外國人名譯名對照表
彈性力學與張量分析.part1.rar
彈性力學與張量分析.part2.rar
展開 【子程序】Abaqus顯式分析梁單元超彈性VUMAT
、壓變形，那么使用基本定義中的數據就足夠了；如果梁單元會發生較大的彎曲變形，那么必須在*Beam Section中指定鐵木辛柯梁B31單元截面的*Transverse Shear，即需要知道橫向剪切剛度，如何得到要輸入的數值呢？
通過仿真優化轎車設計
他們隨后又將基于鐵木辛柯梁理論（Timoshenkobeam theory）的一維梁模型（圖 5）封裝為底盤設計仿真 App。最終用戶無需了解底層數學模型，就能從仿真 App 的計算結果中受益。即便是包含大量不同橫截面和構件的復雜底盤設計，仿真也只需短短數秒即可完成。如圖 6 所示，梁分析為各類配置提供了快速而可靠的結果，并計算了扭轉剛度、彎曲剛度和位移。仿真 App 主要服務于負責底盤和穩定桿設計的驅動底盤（drive away chassis，簡稱 DAC）懸架團隊，支持通過輸入簡單的文本字段對不同的設計參數進行計算，無需為每個配置創建 CAD 模型，這種便捷性節省了 CAE 分析師和 DAC 懸架團隊的寶貴時間。
圖 5. 馬恒達公司內部門戶提供的汽車底盤仿真 App （名為 MathApps） 的用戶界面。
圖 6. 底盤設計 App 針對特定配置提供的仿真結果。
仿真 App 開拓未來設計道路
馬恒達開發的仿真App具有處理各種參數變化、物理場和邊界條件的強大能力。得益于此，設計人員在產品開發的早期階段便可以探索各種設計方案，完全擺脫了對CAE分析師的依賴。參數化研究的結果可以對設計進行指導，從而提升產品性能，并降低加工成本。
仿真 App 的開發融合了設計人員和 CAE 分析師的意見和反饋，并通過公司內部安裝的 COMSOL Server? 產品在馬恒達的各個團隊中進行部署。以前只能由 CAE 分析師經手的復雜設計配置，現在可以讓設計人員在簡單易用的平臺上隨時訪問。借助多物理場仿真和 App，馬恒達公司實現了強大的分析能力共享，他們期望在未來的工作中，將振動聲學和熱結構分析也納入仿真分析中。
展開 楊衛院士：力之大道兩周天（一）
他的一位弟子是鐵木辛柯。圖1是烏克蘭的一張郵票，所緬懷的肖像就是鐵木辛柯。我曾經訪問過基輔技術大學，他們查了我的師承，知道鐵木辛柯（多年前在該校工作過）是我的五代師祖，就送給我這張郵票以示紀念。這張郵票上列出了一個方程式，它就是材料力學中著名的鐵木辛柯梁方程。鐵木辛柯早期做了很多力學建模工作，把復雜的工程問題凝煉為力學方程。
圖1 紀念郵票，左：鐵木辛柯；右：馮·卡門
普朗特還有另一位弟子叫馮·卡門。二戰前夕，希特勒在德國迫害猶太人，馮·卡門和很多猶太人科學家來到美國，輾轉至加州理工學院。馮·卡門和鐵木辛柯在加州一南一北（分別于加州理工學院和斯坦福大學），把美國的應用力學學科帶動起來。馮·卡門著名的學生、助手有幾十位，其中包括錢學森先生和錢偉長先生。我訪問過馮·卡門曾經工作過的實驗室，在馮·卡門當年的辦公桌上放著一本小冊子，內中逐一評述馮·卡門的學生，其中就有錢學森先生。囿于冷戰時的政治環境，那本小冊子對中國頗有偏見，在對錢先生的介紹中講到“很不幸后來錢學森回到了中國，在紅色中國發展了導彈”。小冊子認為錢學森先生回國是美國的一大損失。哥廷根學派的另一位代表人物是海森堡，他博士論文的工作是研究固體結構的屈曲，后來成為量子力學的主要創始人之一。
德國戰敗之際，美國和前蘇聯接收團來到德國。前蘇聯把德國大批軍工裝備和儀器設備運回國內；而美國更重視人才的接收。當時在加州理工學院任教的馮·卡門和他的學生錢學森一道，來到德國，成功說服普朗特來到美國，參見圖2。這張照片出自馮·卡門的回憶錄 The Wind and Beyond。該回憶錄由一位記者整理，記錄了馮·卡門的生平。其中圖2這張照片非常珍貴，因為普朗特是德國空氣動力學的代表（如機翼理論和V2飛彈），馮·卡門是美國航空航天的代表，而錢學森后來成為了紅色中國導彈技術的領軍人物。可稱這張圖為“空天三代”。
展開 電驅動系統減速器剛柔耦合動力學建模及振動噪聲優化
2.2 彈性軸段單元動力學建模
技術人員在面對減速器傳動軸、簡化型電機轉子、規則化齒輪輪輻等類型部件時，可使用鐵木辛柯梁單元完成動力學建模。之所以選擇該建模方式，主要是因為借助此類型模型可以幫助技術人員實時掌控構件情況，了解其運行狀態，提高減速器運行穩定性。需要注意的是，在模型構建過程中，技術人員需要使用有限元法，也就是說需要使用公式（1）所代表的可以代表自由度的單元位移量。
公式（1）中子元素所代表內容如圖 1 所示。
3 電驅動系統減速器振動噪聲及優化
3.1 電驅動系統減速器振動噪聲臺架試驗方案
為明確電驅動系統減速器振動噪聲出現原因及所造成的危害，在實際工作中，以借助假設 T 型試驗臺進行測試。需要注意的是，在架設過程中應結合實際需求選擇測試設備，明確設備安裝位置 [4]。測試條件與試驗工況如下：
1. 電驅動系統減速器振動噪聲測試設備：在試驗過程中，技術人員需要使用比利時 LMS SCADAS Mobile 便攜式移動數采系統，該系統具有 4～40 個通道，且每個通道采樣率均為 204.8kHz，分辨率為 24 位，信噪比為105dB，數據傳輸率為 3.8M 采樣點 / 秒。同時，在測試過程中，技術人員還需要使用測試軟件完成數據實時
記錄分析。
2.電驅動系統減速器測試條件及工況：具體情況如表 2、表 3 所示。
3.2 結果分析
3.2.1 電驅動系統減速器噪聲信號分析
結合上述測試結果進行分析可知，電驅動系統減速器出現位置為傳聲器處，伴隨軸轉速不斷提高，噪聲呈現為階次提高狀態，其中第 23 階與 46 階噪聲最為明顯。
展開 電驅動系統減速器剛柔耦合動力學建模及振動噪聲優化
2.2 彈性軸段單元動力學建模
技術人員在面對減速器傳動軸、簡化型電機轉子、規則化齒輪輪輻等類型部件時，可使用鐵木辛柯梁單元完成動力學建模。之所以選擇該建模方式，主要是因為借助此類型模型可以幫助技術人員實時掌控構件情況，了解其運行狀態，提高減速器運行穩定性。需要注意的是，在模型構建過程中，技術人員需要使用有限元法，也就是說需要使用公式（1）所代表的可以代表自由度的單元位移量。
公式（1）中子元素所代表內容如圖 1 所示。
3 電驅動系統減速器振動噪聲及優化
3.1 電驅動系統減速器振動噪聲臺架試驗方案
為明確電驅動系統減速器振動噪聲出現原因及所造成的危害，在實際工作中，以借助假設 T 型試驗臺進行測試。需要注意的是，在架設過程中應結合實際需求選擇測試設備，明確設備安裝位置 [4]。測試條件與試驗工況如下：
1.
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