超靜定
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超靜定的實例教程
研究背景
連續梁一般為多次超靜定結構。常用的超靜定結構內力求解方法有：力法、位移法、彎矩分配法、矩陣位移法，以及有限元法等等，前三者適用于超靜定次數較少情況下的手算，后兩者雖可通過電算解決任意次數的超靜定結構，但又存在著建模復雜的問題。為此，本課題擬研發一種新型求解器，不僅可以計算出任意高次連續梁的內力，同時還避免了復雜建模，具備參數輸入簡便的特點。
2． 求解器原理
求解器的理論基礎為卡式定理，以圖1中的一次超靜定結構為例，推導過程如下所示。
首先，取消B支座，并用未知力X1代替，形成圖2所示的力法基本單元。接著，以A點為坐標原點，AB軸為x軸，建立坐標系，并將AB上任意一點x的彎矩M(x)寫成如下形式：
此時，梁的應變能U為：
應變能U對X1求偏微分便可得到B點處的位移：
最后再令B點位移等于0，便可解出未知力X1等于0.375ql。此時，梁的彎矩圖如圖3所示。
圖1 力學模型
圖2 基本單元
圖3 彎矩圖
3． 實例運用
結合Maple語言與卡式定理，便可求解出任意超靜定次數的連續梁內力。以圖4所示
的四次超靜定連續梁為例，簡要描述該求解器的使用方法。
圖4 四次超靜定連續梁簡圖
取該連續梁的基本單元如圖5所示。去除左右兩端固定端，代之以鉸，暴露出支座未知力偶X1和X4；去除中間兩個鉸支座，暴露出支座未知集中反力X2和X3。
圖5 連續梁基本單元
將基本單元上的各個集中力、集中力偶與均布力以矩陣的形式輸入Maple中。以集中力矩陣JZL為例，該矩陣的每一列均代表著一個集中力，具體如圖6所示。矩陣的第一列表明，該基本單元上作用有大小為128kN的集中力，且該集中力距離左端支座2m，距離右端支座10m。
展開 為了驗證Simsolid計算結果的準確性，本文基于Simsolid對簡單超靜定桿進行了模擬，并對支反力結果與理論結算及某A有限元計算軟件進了了對比。
2. 有限元模型
如圖1所示，該模型由三根桿件組成，其中桿1長10 cm，桿2、3長7.5 cm，截面尺寸為2.5 x 2.5 cm2。材料彈性模量為2e11 Pa，泊松比為0.29，密度為7.82e3 kg/m3。
圖1 靜定桿超模型
3. 網格
因為網格是自動劃分的，所以可以省去這一步。
4. 連接及邊界條件
4.1 連接
桿1、2為”bonded”連接，桿2、3為“bonded”連接，如圖2所示，這些在Simsolid中可以自動識別。
圖2 桿件連接方式
4.2 邊界條件
桿件兩端固定，在桿1、2的接觸面上施加沿-Y軸方向500 N的力，在桿2、3的接觸面上施加沿-Y軸方向1000 N的力，如圖3所示。Simsolid好像顯示不了接觸面上的加載情況。
圖3 桿件邊界條件
5. 計算結果比較
如下表1可知，Simsolid的計算結果與理論解及某A軟件的計算結果誤差非常小，可知Simsolid計算結果是比較可靠的。
表1 計算結果對比
結果
理論解
某A軟件
Simsolid
底端沿Y方向支反力 (N)
600
598.86
598.96
頂端沿Y方向支反力 (N)
900
901.14
901.04
展開 右邊則是一個穩定結構的例子，未知量的數量是17，方程的數量是12，所以是5次超靜定。換言之，我適當的刪去5個約束，這個結構就變成了一個靜定結構，也就是圖中的懸臂梁。
左邊的這個桁架之所以不穩定，是因為它無法把豎向荷載傳遞到支座。如果我們取圖中所示的隔離體，兩側被切斷的桿件只有水平向的軸力，沒有可以與外荷載平衡的豎向內力。
右邊的這個同樣不穩定，因為它的三個支座反力都經過B點，也就是對B點的彎矩為0。整個系統的支座反力無法和外荷載造成的B點的彎矩平衡。
這個桁架不穩定是因為它的1、2桿件無法傳遞豎向荷載，如果我取右側的隔離體，左側被切斷的桿件沒有豎向內力跟支座反力平衡。換言之，1、2桿件之間的這個平行四邊形會發生剛體形變。
這兩個平面框架都是穩定結構，左邊的超靜定次數是4，右邊的是7。
這個框架同樣是穩定結構，超靜定次數是99。我們可以用 #un 和 #eq 來計算超靜定次數，也可以用簡便方法，數格子的數量，每個格子的橫梁提供了3個額外約束，格子的數量乘以3，再減去缺失的約束的數量，就是總的超靜定次數。
這是個空間桁架的例子，穩定，靜定。
空間框架的例子。如果 A、B 兩點同時釋放了各自的3個方向的彎矩，則 AB 桿件可以繞著自己的長軸旋轉，所以結構是不穩定的。如果固定了 A 的扭矩，限制住 AB 桿件繞自己長軸的旋轉，則結構變為穩定結構，40次超靜定。或者，共有8根橫梁，每個橫梁提供了6個額外的約束，8乘以6等于48，再減去 A 釋放的2個約束、B 釋放的3個約束、右下角支座釋放的3個數月，就等于40個額外約束，也就是40次超靜定。
這是一個平面桁架-框架的混合結構。可以當作一個框架來處理，桁架桿件看作桿端彎矩釋放之后的框架桿件。
展開 以上兩個問題的共性就在于，他們是超靜定問題，而且超靜定次數很高，就是說，要補充一大堆方程來求解外力。這使得上述所謂的力法在實踐中很難使用。
對于上述問題，幾乎只有CAE這種解決渠道。
轉自公眾號——ANSYS學習與應用
旨在分享，若侵即刪.
在結構力學中納維最早提出了超靜定結構的概念，并且給出了求解的方法，也就是說這類問題單靠平衡方程不能得到結構內力的全部解，需要加入結構的變形求解，例如圖2左那樣多根桿的系統與右邊的一端固定一端簡支的梁就是這樣的系統。
圖3 納維討論的超靜定結構
在他的《力學在結構和機械方面的應用》這本書中，還討論了擋土墻、桁架、栱、板等結構問題。可以毫不夸張地說納維的這本書是結構力學中第一本比較全面闡述結構力學的專著，它標志著結構力學成為獨立的學科分支。
19世紀50年代，由于煉鋼技術的普及，用鋼鐵作為結構隨之也得到普及。鋼結構比起用木材和磚石的結構要復雜許多，也輕巧許多，于是就要求結構力學適應新的復雜性的要求。要求更簡單易于掌握、適應于分析大量構件組合的結構系統的結構分析方法。適應這樣的要求，德國工程師卡爾·庫爾曼（Karl Culmann，1821 –1881）于1851年之后將他擴張了的桁架理論進一步發展，用圖解的方式去求解，后來稱為圖解靜力學。再后來，曾經在高等學校教學的一些學者：德國物理學家麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831-1879）、德國工程師文科勒（Emil Winkler，1835-1888）、德國工程師莫爾（Christian Otto Mohr，1835-1918）、意大利學者卡斯提也努（Alberto Castigliano，1847-1884）、德國工程師穆勒（Heinrich FranzBernhard Müller，1851-1925）、俄羅斯工程師科皮切夫（Viktor Lvovich Kirpichev，1845-1913）系統地發展了求解超靜定結構的方法，這就是后來所稱為的力法，他們還發展了圖解力學，發展了強度理論。
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</li><li><strong>收斂性調試：</strong> 針對該超靜定結構的計算發散問題，本人經過多輪試算，對接觸對剛度修正及殘差控制參數進行了專項邏輯調整。
斜拉橋是塔、拉索和鋼主梁三種基本結構組成的纜索承重結構體系，屬高次超靜定結構[3]。鋼-混凝土組合結構不僅充分發揮了鋼結構、混凝土結構材料受力性能的優勢，還有利于實現施工組織的工廠化和裝配化，提高工程質量和施工效率[4]，在實際工程中，為確保施工期間及成橋狀態結構受力的合理，往往需要提前進行力學性能分析。
“超靜定結構的本質，在于力有多條傳遞路徑”
斜拉橋、拱橋調索，其目的在于將超靜定結構里以軸力為主的那條傳力路徑給找出來，而不是創造出一條以軸力為主的傳力路徑。若沒有通過清晰的概念設計先構筑一個高效、合理的體系，則該體系內就不存在一條以軸力為主的潛在傳力路徑，此時用任何調索方式，都無法得到下圖中這般漂亮的內力分布圖。
研究背景
連續梁一般為多次超靜定結構。常用的超靜定結構內力求解方法有：力法、位移法、彎矩分配法、矩陣位移法，以及有限元法等等，前三者適用于超靜定次數較少情況下的手算，后兩者雖可通過電算解決任意次數的超靜定結構，但又存在著建模復雜的問題。為此，本課題擬研發一種新型求解器，不僅可以計算出任意高次連續梁的內力，同時還避免了復雜建模，具備參數輸入簡便的特點。
2．
由于邊坡穩定性分析實際上是一個高次超靜定問題，為了使問題可解，必須引入一系列假定將滑動土體劃分為一系列土條進行分析。因此，準確的說，上述四種方法應該稱為極限平衡條分法。而這四種分析方法之間的區別主要在于計算時的假定不同，主要包括滑動面形狀、是否考慮條間力以及是否滿足平衡條件等。上述四種分析方法的具體差異，詳見表1。
當內力分量已知時，只能確定應力與相關內力分量之間的關系，卻無法求得各點應力—超靜定問題。
03
樁身內力計算
假定抗滑樁受荷段樁身布設n根錨索，則樁為n次超靜定結構。滑面處的彎矩M0’及剪力Q0’計算公式如下：
03
樁身內力計算
假定抗滑樁受荷段樁身布設n根錨索，則樁為n次超靜定結構。滑面處的彎矩M0’及剪力Q0’計算公式如下：
《公橋基規》規定，當上部結構為超靜定結構時，基底應埋置在最深凍結線以下不小于0.25m；對靜定結構的基礎，一般也按此要求，但在凍結較深地區，為了減少基礎埋深，有些類別的凍土經計算后也可將基底置于最大凍結線以上。
8 基礎下的應力分布
盡管數值解能夠解決復雜地層內的應力和位移問題，但在實踐中巖土工程師還在使用一些經驗設計方法。
3、 邊界切分方法與操作技巧
4、 子模型技術的實現方法與設置技巧
5、 工程實例-斗型零件的子模型計算方法
結構幾何與材料
非線性有限元計算
1、結構非線性簡介
2、幾何非線性的概念
3、材料非線性的概念
4、材料本構曲線的輸入方法
5、非線性問題的控制方程
6、非線性問題的求解方法
7、 非線性計算的WB設置技巧
實例分析-1：超靜定工字梁鋼結構塑性極限
