超靜定的案例
基于Maple的超靜定連續梁內力求解器的實現
研究背景
連續梁一般為多次超靜定結構。常用的超靜定結構內力求解方法有：力法、位移法、彎矩分配法、矩陣位移法，以及有限元法等等，前三者適用于超靜定次數較少情況下的手算，后兩者雖可通過電算解決任意次數的超靜定結構，但又存在著建模復雜的問題。為此，本課題擬研發一種新型求解器，不僅可以計算出任意高次連續梁的內力，同時還避免了復雜建模，具備參數輸入簡便的特點。
2． 求解器原理
求解器的理論基礎為卡式定理，以圖1中的一次超靜定結構為例，推導過程如下所示。
首先，取消B支座，并用未知力X1代替，形成圖2所示的力法基本單元。接著，以A點為坐標原點，AB軸為x軸，建立坐標系，并將AB上任意一點x的彎矩M(x)寫成如下形式：
此時，梁的應變能U為：
應變能U對X1求偏微分便可得到B點處的位移：
最后再令B點位移等于0，便可解出未知力X1等于0.375ql。此時，梁的彎矩圖如圖3所示。
圖1 力學模型
圖2 基本單元
圖3 彎矩圖
3． 實例運用
結合Maple語言與卡式定理，便可求解出任意超靜定次數的連續梁內力。以圖4所示
的四次超靜定連續梁為例，簡要描述該求解器的使用方法。
圖4 四次超靜定連續梁簡圖
取該連續梁的基本單元如圖5所示。去除左右兩端固定端，代之以鉸，暴露出支座未知力偶X1和X4；去除中間兩個鉸支座，暴露出支座未知集中反力X2和X3。
圖5 連續梁基本單元
將基本單元上的各個集中力、集中力偶與均布力以矩陣的形式輸入Maple中。以集中力矩陣JZL為例，該矩陣的每一列均代表著一個集中力，具體如圖6所示。矩陣的第一列表明，該基本單元上作用有大小為128kN的集中力，且該集中力距離左端支座2m，距離右端支座10m。
展開 基于Simsolid的超靜定桿支反力對比
為了驗證Simsolid計算結果的準確性，本文基于Simsolid對簡單超靜定桿進行了模擬，并對支反力結果與理論結算及某A有限元計算軟件進了了對比。
2. 有限元模型
如圖1所示，該模型由三根桿件組成，其中桿1長10 cm，桿2、3長7.5 cm，截面尺寸為2.5 x 2.5 cm2。材料彈性模量為2e11 Pa，泊松比為0.29，密度為7.82e3 kg/m3。
圖1 靜定桿超模型
3. 網格
因為網格是自動劃分的，所以可以省去這一步。
4. 連接及邊界條件
4.1 連接
桿1、2為”bonded”連接，桿2、3為“bonded”連接，如圖2所示，這些在Simsolid中可以自動識別。
圖2 桿件連接方式
4.2 邊界條件
桿件兩端固定，在桿1、2的接觸面上施加沿-Y軸方向500 N的力，在桿2、3的接觸面上施加沿-Y軸方向1000 N的力，如圖3所示。Simsolid好像顯示不了接觸面上的加載情況。
圖3 桿件邊界條件
5. 計算結果比較
如下表1可知，Simsolid的計算結果與理論解及某A軟件的計算結果誤差非常小，可知Simsolid計算結果是比較可靠的。
表1 計算結果對比
結果
理論解
某A軟件
Simsolid
底端沿Y方向支反力 (N)
600
598.86
598.96
頂端沿Y方向支反力 (N)
900
901.14
901.04
展開 結構分析_穩定與靜定判斷
右邊則是一個穩定結構的例子，未知量的數量是17，方程的數量是12，所以是5次超靜定。換言之，我適當的刪去5個約束，這個結構就變成了一個靜定結構，也就是圖中的懸臂梁。
左邊的這個桁架之所以不穩定，是因為它無法把豎向荷載傳遞到支座。如果我們取圖中所示的隔離體，兩側被切斷的桿件只有水平向的軸力，沒有可以與外荷載平衡的豎向內力。
右邊的這個同樣不穩定，因為它的三個支座反力都經過B點，也就是對B點的彎矩為0。整個系統的支座反力無法和外荷載造成的B點的彎矩平衡。
這個桁架不穩定是因為它的1、2桿件無法傳遞豎向荷載，如果我取右側的隔離體，左側被切斷的桿件沒有豎向內力跟支座反力平衡。換言之，1、2桿件之間的這個平行四邊形會發生剛體形變。
這兩個平面框架都是穩定結構，左邊的超靜定次數是4，右邊的是7。
這個框架同樣是穩定結構，超靜定次數是99。我們可以用 #un 和 #eq 來計算超靜定次數，也可以用簡便方法，數格子的數量，每個格子的橫梁提供了3個額外約束，格子的數量乘以3，再減去缺失的約束的數量，就是總的超靜定次數。
這是個空間桁架的例子，穩定，靜定。
空間框架的例子。如果 A、B 兩點同時釋放了各自的3個方向的彎矩，則 AB 桿件可以繞著自己的長軸旋轉，所以結構是不穩定的。如果固定了 A 的扭矩，限制住 AB 桿件繞自己長軸的旋轉，則結構變為穩定結構，40次超靜定。或者，共有8根橫梁，每個橫梁提供了6個額外的約束，8乘以6等于48，再減去 A 釋放的2個約束、B 釋放的3個約束、右下角支座釋放的3個數月，就等于40個額外約束，也就是40次超靜定。
這是一個平面桁架-框架的混合結構。可以當作一個框架來處理，桁架桿件看作桿端彎矩釋放之后的框架桿件。
展開 大話CAE | （五）材料力學的困惑（1）
以上兩個問題的共性就在于，他們是超靜定問題，而且超靜定次數很高，就是說，要補充一大堆方程來求解外力。這使得上述所謂的力法在實踐中很難使用。
對于上述問題，幾乎只有CAE這種解決渠道。
轉自公眾號——ANSYS學習與應用
旨在分享，若侵即刪.
學了這么多年結構力學，它的基本任務你了解多少？
在結構力學中納維最早提出了超靜定結構的概念，并且給出了求解的方法，也就是說這類問題單靠平衡方程不能得到結構內力的全部解，需要加入結構的變形求解，例如圖2左那樣多根桿的系統與右邊的一端固定一端簡支的梁就是這樣的系統。
圖3 納維討論的超靜定結構
在他的《力學在結構和機械方面的應用》這本書中，還討論了擋土墻、桁架、栱、板等結構問題。可以毫不夸張地說納維的這本書是結構力學中第一本比較全面闡述結構力學的專著，它標志著結構力學成為獨立的學科分支。
19世紀50年代，由于煉鋼技術的普及，用鋼鐵作為結構隨之也得到普及。鋼結構比起用木材和磚石的結構要復雜許多，也輕巧許多，于是就要求結構力學適應新的復雜性的要求。要求更簡單易于掌握、適應于分析大量構件組合的結構系統的結構分析方法。適應這樣的要求，德國工程師卡爾·庫爾曼（Karl Culmann，1821 –1881）于1851年之后將他擴張了的桁架理論進一步發展，用圖解的方式去求解，后來稱為圖解靜力學。再后來，曾經在高等學校教學的一些學者：德國物理學家麥克斯韋（James Clerk Maxwell，1831-1879）、德國工程師文科勒（Emil Winkler，1835-1888）、德國工程師莫爾（Christian Otto Mohr，1835-1918）、意大利學者卡斯提也努（Alberto Castigliano，1847-1884）、德國工程師穆勒（Heinrich FranzBernhard Müller，1851-1925）、俄羅斯工程師科皮切夫（Viktor Lvovich Kirpichev，1845-1913）系統地發展了求解超靜定結構的方法，這就是后來所稱為的力法，他們還發展了圖解力學，發展了強度理論。
展開 橋梁索結構底層原理與對應軟件實操--ANSYS斜拉橋索力優化
“超靜定結構的本質，在于力有多條傳遞路徑”
斜拉橋、拱橋調索，其目的在于將超靜定結構里以軸力為主的那條傳力路徑給找出來，而不是創造出一條以軸力為主的傳力路徑。若沒有通過清晰的概念設計先構筑一個高效、合理的體系，則該體系內就不存在一條以軸力為主的潛在傳力路徑，此時用任何調索方式，都無法得到下圖中這般漂亮的內力分布圖。
一座非典型斜拉橋的調索后內力圖
學習橋梁設計，樣本的優劣很重要，并不是說，已經建成的橋梁，就代表了正確和可靠，相反，其中的水平差異和浮動性非常大，若是沒有對學習樣本作有效篩分，則會被帶入深坑。
下圖中形態各異的索結構橋梁，都是高效設計家族中的成員，它們經過合理的體系設計與找形，兼顧了美學與力學的平衡，也是調索后得到完美彎矩圖的必要前提。
圖解靜力學對各式索結構橋梁體系進行找形
從設計的角度來進行分析，可以得知成橋恒載內力的分布如何是橋梁結構在長期運營過程中保證其質量的關鍵部分所在，成橋的狀態合理指的就是斜拉橋的索、梁、塔等構件在活載、恒載作用下做能承受的最小的受力狀態。
我們根據目前設計研究中常用的索力優化方法，提煉出橋梁索結構底層原理與對應軟件實操教程，旨在為同行直觀了解當前斜拉橋索力優化研究進展并學習相關理論基礎。教程結合Midas Civil與Ansys APDL兩套商業有限元軟件介紹索結構底層原理與基礎模型的對應關系，最后根據具體的實際案例，基于Ansys給出三種索力自動優化算法，并利用生死單元功能對實例模型進行施工流程模擬，確定各階段張拉索力，我們會講解算法核心部分的每一行命令流，命令流也會完整的給到大家。
本教程分為兩個部分
第一部分（理論部分）——4課時
第二部分（實例部分）——3課時
第一部分為理論基礎部分，詳細介紹橋梁索結構底層原理與軟件的對應關系。
展開 再讀材料力學（機械行業最重要的力學之一）
附錄：
材料力學（劉鴻文第四版）
目錄
第一章 緒論
1.1 材料力學的任務；1.2 變形體的基本假設
1.3 外力的分類；1.4 內力與應力
1.5 變形與應變；1.6 桿件變形的基本形式
第二章 拉壓與剪切
2.1 軸向拉壓；2.2 軸向拉壓的橫截面應力
2.3 軸向拉壓的斜截面應力；2.4 材料的拉伸力學性能
2.5 材料的壓縮力學性能；2.6 溫度和時間對材料力學性能的影響
2.7 安全系數；2.8 軸向拉壓的變形
2.9 軸向拉壓的應變能；2.10 拉壓超靜定問題
2.11 溫度應力和裝配應力；2.12 應力集中
2.13 剪切和擠壓
第三章 扭轉
3.1 扭轉；3.2 扭矩圖
3.3 純剪切；3.4 圓軸的扭轉應力
3.5 圓軸的扭轉變形；3.6 螺旋彈簧的應力和變形
3.7 非圓桿的扭轉；3.8 薄壁桿的自由扭轉
第四章 彎曲內力
4.1 彎曲；4.2 彎曲的簡化
4.3 剪力和彎矩；4.4 剪力圖和彎矩圖
4.5 荷載、剪力和彎矩的關系；4.6 平面曲桿的彎曲內力
第五章 彎曲應力
5.1 純彎曲；5.2 純彎曲應力
5.3 橫力彎曲應力；5.4 彎曲切應力
5.5 彎曲理論的基本假設5.6 提高彎曲強度的措施（降低彎曲應力的措施）
第六章 彎曲變形
6.1 彎曲變形；6.2 撓曲線微分方程
6.3 積分法求彎曲變形；6.4 疊加法求彎曲變形
6.5 超靜定梁；6.6 提高彎曲剛度的措施
第七章 強度理論
7.1 應力分析；7.2 二向和三向應力狀態實例
7.3 二向應力狀態-解析法；7.4 二向應力狀態
展開 公路橋梁動力分析
1.具有分布質量體系的無阻尼振動方程建立
將圖1中的公路橋梁簡化成如圖2所示的計算模型，左邊支座為固定鉸支座，跨中和右邊的支座為滑動鉸支座，結構是一次超靜定連續梁。為了真實的反應梁的動力特性，認為該梁是連續彈性體，并假設梁上受到廣義的動力荷載p(x,t) 。
公路橋梁在移動荷載下的動力分析
橋梁橫截面為三孔箱形截面，截面高度1.66米，寬度10.25米，見下圖.
1.具有分布質量體系的無阻尼振動方程建立
將圖1中的公路橋梁簡化成如圖2所示的計算模型，左邊支座為固定鉸支座，跨中和右邊的支座為滑動鉸支座，結構是一次超靜定連續梁。為了真實的反應梁的動力特性，認為該梁是連續彈性體，并假設梁上受到廣義的動力荷載p(x,t) 。
在梁ABC上取任意一微元段，并對這一微元進行受力分析，如圖3所示。考慮作用在圖3中梁微元上的受力平衡，很容易可以得出這一結構體系的運動方程，與離散結構體系推導動力方程的方法基本一致，建立全部豎向作用力的平衡方程，可以推導出第一個動力平衡方程：
式中，V(x,t)是梁微元左端的剪力， fI(x,i)是梁微元上橫向慣性力的合力，該慣性力等于微元質量和微元加速度的乘積：
2.具有分布質量體系無阻尼自由振動分析
2.1方程的求解
2.2引入邊界條件進行求解
將方框內的表達式作為計算條件如下所示：
2.3 計算梁的前四階自振頻率
對梁的自由振動計算采用解析解和有限元分析兩種方法，并對兩種方法的計算結果進行比對分析。有限元計算采用ANSYS軟件進行電算。計算結果見表1。有限元計算的結果略大于解析解，隨著振型數的增加，誤差逐階遞增。從計算結果來看，對于一個特定體系，較高階的固有周期的精度降低了。分析精度可以隨著單元劃分的增加來改善。但是，劃分密度達到一定時精度就不在增加了，這一結論在Anil K.Chopra 的Dynamics of Structures:Theory and Applications Structures and Earthquake Engineering一書中有提到。
展開 公路橋梁在移動荷載下的動力分析
橋梁橫截面為三孔箱形截面，截面高度1.66米，寬度10.25米，見下圖.
1.具有分布質量體系的無阻尼振動方程建立
將圖1中的公路橋梁簡化成如圖2所示的計算模型，左邊支座為固定鉸支座，跨中和右邊的支座為滑動鉸支座，結構是一次超靜定連續梁。為了真實的反應梁的動力特性，認為該梁是連續彈性體，并假設梁上受到廣義的動力荷載p(x,t) 。
在梁ABC上取任意一微元段，并對這一微元進行受力分析，如圖3所示。考慮作用在圖3中梁微元上的受力平衡，很容易可以得出這一結構體系的運動方程，與離散結構體系推導動力方程的方法基本一致，建立全部豎向作用力的平衡方程，可以推導出第一個動力平衡方程：
式中，V(x,t)是梁微元左端的剪力， fI(x,i)是梁微元上橫向慣性力的合力，該慣性力等于微元質量和微元加速度的乘積：
2.具有分布質量體系無阻尼自由振動分析
2.1方程的求解
2.2引入邊界條件進行求解
將方框內的表達式作為計算條件如下所示：
2.3 計算梁的前四階自振頻率
對梁的自由振動計算采用解析解和有限元分析兩種方法，并對兩種方法的計算結果進行比對分析。有限元計算采用ANSYS軟件進行電算。計算結果見表1。有限元計算的結果略大于解析解，隨著振型數的增加，誤差逐階遞增。從計算結果來看，對于一個特定體系，較高階的固有周期的精度降低了。分析精度可以隨著單元劃分的增加來改善。但是，劃分密度達到一定時精度就不在增加了，這一結論在Anil K.Chopra 的Dynamics of Structures:Theory and Applications Structures and Earthquake Engineering一書中有提到。
展開 公路橋梁在移動荷載下的動力分析
橋梁橫截面為三孔箱形截面，截面高度1.66米，寬度10.25米，見下圖.
1.具有分布質量體系的無阻尼振動方程建立
將圖1中的公路橋梁簡化成如圖2所示的計算模型，左邊支座為固定鉸支座，跨中和右邊的支座為滑動鉸支座，結構是一次超靜定連續梁。為了真實的反應梁的動力特性，認為該梁是連續彈性體，并假設梁上受到廣義的動力荷載p(x,t) 。
在梁ABC上取任意一微元段，并對這一微元進行受力分析，如圖3所示。考慮作用在圖3中梁微元上的受力平衡，很容易可以得出這一結構體系的運動方程，與離散結構體系推導動力方程的方法基本一致，建立全部豎向作用力的平衡方程，可以推導出第一個動力平衡方程：
式中，V(x,t)是梁微元左端的剪力， fI(x,i)是梁微元上橫向慣性力的合力，該慣性力等于微元質量和微元加速度的乘積：
2.具有分布質量體系無阻尼自由振動分析
2.1方程的求解
2.2引入邊界條件進行求解
將方框內的表達式作為計算條件如下所示：
2.3 計算梁的前四階自振頻率
對梁的自由振動計算采用解析解和有限元分析兩種方法，并對兩種方法的計算結果進行比對分析。有限元計算采用ANSYS軟件進行電算。計算結果見表1。有限元計算的結果略大于解析解，隨著振型數的增加，誤差逐階遞增。從計算結果來看，對于一個特定體系，較高階的固有周期的精度降低了。分析精度可以隨著單元劃分的增加來改善。但是，劃分密度達到一定時精度就不在增加了，這一結論在Anil K.Chopra 的Dynamics of Structures:Theory and Applications Structures and Earthquake Engineering一書中有提到。
展開 
橋梁結構設計
由于技術復雜的橋梁（如超靜定的預應力混凝土橋）造價和工期都受施工方案的影響，在結構設計階段均要求做好本項工作。
設計規范 橋梁設計必須遵照有關的技術標準和規范。標準和規范是隨著科學技術水平的提高和發展而不斷進行修改、補充和訂正的，因此它反映一個國家在該學科領域內的水平。中國現行的橋梁設計規范有：鐵道部1975年試行的《鐵路工程技術規范(第二篇，橋涵)》；交通部1981年頒布的《公路工程技術標準(JTJ1－81)》及1985年頒布的《公路橋涵設計通用規范(JTJ021－85)》等四本(JTJ022-85、JTJ023-85、JTJ024-85)等。
設計規范一般包括設計總則、荷載、各種材料的技術條件要求和各種容許數值、各類結構的構造要求和檢算方法等。規范中的條文，有些屬于法規性的，必須遵照；有些是在總結以往實踐經驗，以及在理論和科學試驗研究成果的基礎上所制訂的當前最合理的規定，一般也不得違反。
設計方法 大體有三種：容許應力法、破壞荷載法、極限狀態法。①容許應力法。多年來，各國一直采用以彈性理論為基礎的容許應力設計法。中國目前除預應力混凝土橋外，仍按此法設計。容許應力法的各種計算荷載的數值基本上是協定的，并考慮了各種荷載的最不利的組合。在確定材料的容許應力時，考慮了材料的力學性能、構件的受力特點、荷載的組合以及施工方法等。對鐵路橋梁，疲勞強度常起控制作用，各種基本容許應力，實質上是以此為依據的。對于出現次數較少的附加或特殊荷載組合，可以把容許應力提高20％乃至50％。②破壞荷載法（見破壞強度設計法）。中國鐵路預應力混凝土橋梁從50年代開始制造起，就是引用此法進行設計的。但此法只能驗算構件的強度和穩定性。對于使用的性能,如疲勞強度和變形計算,鋼筋混凝土構件的裂縫計算，仍需采用容許應力法去解決。③極限狀態法（見極限狀態設計法）。
展開 moldflow個人的學習經驗(也包括網上論壇的總結)
在這樣假設的條件下進行求解，如果整體求解，必然會造成很大的誤差，另外，也有可能平衡方程不夠，也就是力學中的超靜定問題。需要對整體進行離散，于是就有了網格的劃分，將原來的整體進行細分，每個單元都是一個個體，他們之間相互聯系。可以建立平衡方程。網格的劃分，平面的有四邊形，三角形。空間3D的有四面體，六面體等。空間的四面體毫無疑問更加與實際想符合，因為原問題本身就是一個空間物體。而Moldflow的表面模型技術是其獨創的基于STL數據交換標準的，將整個流體簡化成表面流動的模型。四面體模型也就是3D模型則是一般有限元都采用的網格劃分方式，不僅是表面流動分析，其內層也考慮。其分析所以相對會更加準確。
解釋兩個問題：
1、3D流動前沿溫度計算問題已經在Moldflow最新版本中得到糾正；
2、對Fusion網格厚度的手工修正對流動分析有效，但對冷卻和翹曲分析無效，所以不能大范圍的改動厚度
展開 基坑工程內支撐系統的設計計算
9）水平支撐整體或單獨受力單元宜必須與圍檁共同組成幾何不變體系，優先采用超靜定體系。為防止一個方向支撐的位移致使另一個方向支撐失穩，宜采用基坑長邊短向對頂撐與角撐分別受力的結構形式，或如加強圍檁式、格構式及加強角撐式結構。采用縱橫對頂式支撐時宜應加設一定數量的斜桿，增加支撐平面內抗變形剪和抗壓曲變形能力。按剛結點設計的結點，應采取有效措施保證結點的連結剛度。
《ANSYS應用實例與分析 》
第1章ANSYS使用簡介
1．1ANSYS10．0環境簡介
1．1．1ANSYS10．0的啟動
1．1．2ANSYS10．0的用戶界面
1．1．3ANSYS10．0的求解過程
1．2分析過程中最常用的命令
1．2．1起始層命令
1．2．2前處理命令
1．2．3求解命令
1．2．4般后處理命令
1．3結構分析問題
1．3．1桿系問題
1．3．2梁系問題
第2章桿系結構靜力分析
2．1鉸接桿在外力作用下的變形
2．2人字形屋架的靜力分析
2．3超靜定拉壓桿的反力計算
2．4平行桿件與剛性梁連接的熱應力問題
2．5端部有間隙的桿的熱膨脹
第3章梁的彎曲靜力分析
3．1單跨等截面超靜定梁的平面彎曲
3．2四跨連續梁的內力計算
3．3七層框架結構計算
3，4工字形截面外伸梁的平面彎曲
3．5矩形截面梁的縱橫彎曲分析
3．6空間剛架靜力分析
3．7懸臂梁的雙向彎曲
3．8圓形截面懸臂桿的彎扭組合變形
3．9懸臂等強度梁的彎曲
3．10彈性地基半無限長梁在端部力和力偶作用下的變形
3．1l偏心受壓桿的大變形分析
3．12帶有彈簧的支架的大變形分析
3．13塔機標準節內力分析
3．14自行車車架變形和內力分析
第4章2D和3D實體建模及應力分析
4．1帶3個圓孔的平面支座分析
4．2角支座應力分析
4．3立體斜支座的實體建模
4．4四分之車輪實體建模
4．5軸承支座的實體建模
4．6均布荷載作用下深梁的變形和應力
4．7對集中力作用下的圓環
4．8用實體單元分析變截面桿的拉伸
4．9用二維實體單元分析等截面懸臂梁的平面彎曲
4．10在端部集中力下的變截面懸臂梁
4．11純彎曲懸臂曲梁的二維靜力分析
4．12端部集中力下懸臂圓環曲梁彎曲的三維分析
4．13均勻拉力作用下含圓孔板的孔邊應力集中
4．14兩端固定的厚壁管道在自重作用下的變形和應力
4．15聯軸器膜片多工況分析
第5章薄膜和板殼體計算
展開 