能量守恒的案例
四十四、Fluent 收斂標準-質量和能量守恒
</p><p><br></p><p>任何流動或傳熱問題的計算都比較質量守恒、能量守恒和動量守恒。當計算發(fā)散時，或者我們不確定它是否收斂的時候，就可以查看Fluent是否滿足三大守恒，如果不滿足，那肯定不收斂。基于此我們可以找到發(fā)散的原因。</p><p> <img src="https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_jpg/8tJMdLVYZy9aicLdtZXwZOLDDLnP3ic2M2kaiaibNhOyS10aAMGHwluPHXxCevu8zhvAMUqia2AwgmlfVcrsMVHLTIQ/640?wx_fmt=jpeg" width="100%"> </p><p><br></p><p><br></p><p><span style="color: rgb(255, 129, 36);">注：</span></p><p><span style="color: rgb(255, 129, 36);">1. Fluent滿足三大守恒也不一定收斂，還要輔助監(jiān)測物理量來判斷收斂性</span></p><p><br></p><p><span style="color: rgb(255, 129, 36);">2. 強推文章</span><a href="http://mp.weixin.qq.com/s?
展開 如何計算流體仿真中的質量與能量守恒
作為一名技術支持工程師，我收到的最常見的一個技術問題是：”我怎樣計算流體流動仿真的質量守恒或共軛傳熱仿真的能量平衡？” 這通常是為了研究和確保仿真的準確性而提出的要求。本文將演示如何在 COMSOL Multiphysics? 軟件中進行這些計算，并介紹一些可以用來對能量平衡方程的能率項進行后處理的預定義變量。
讓我們從質量守恒開始
為了演示文中所涉及的不同主題，我將以一個
鋁制散熱器
為例，這個散熱器通常用于通過散熱來冷卻電氣設備。如果你有
傳熱模塊
或
CFD 模塊
，可以在 COMSOL Multiphysics 案例庫中找到這個教程模型的穩(wěn)態(tài)版本。
該散熱器由鋁制成，集成了大量用于冷卻的支柱，并安裝在由硅玻璃材料制成的芯片上。在模型設置中，散熱器位于一個矩形通道內，有一個氣流的入口和出口。芯片作為一個熱源，產生 1W 的熱量。
基本散熱器的幾何形狀
在流體力學中，由質量守恒得到一個著名的局部連續(xù)性方程：
對該方程在流體域積分，應用
散度定理
，得到質量守恒的全局公式：
因此，
我們來仔細看一下上面的方程。當你對流體流動進行建模時，可以計算這個方程，來檢查你的模型的質量守恒準確性。在任何穩(wěn)態(tài)分析中，這個方程簡化為
，并指出，質量進入系統(tǒng)的速度等于質量離開系統(tǒng)的速度。換句話說，入口和出口的質量流動必須平衡。
一個常見的錯誤是假設是，質量守恒可以簡化為體積流動速率
守恒。如果流體密度是恒定的，如不可壓縮流，連續(xù)性方程簡化為
,即流速的散度消失。在不可壓縮流的情況下，這個假設是正確的。然而，在大多數(shù)工程問題中，這一假設是不成立的。
展開 FRED應用：涂層與散射的能量守恒
在這一過程中，能量守恒表明：這些透射、反射和吸收的總和等于入射功率通量。
FRED以特定的順序給上述方程的每個部分分配通量。當用戶希望定義一個同時具有散射特性以及指定的反射/透射涂層的表面時，知道這一順序對于正確定義每個部分的功率系數(shù)是至關重要的。
FRED在功率分配的過程中遵循的順序如下所示：
實例
順序的重要性可參考一個簡單的例子，該例的目標是定義一個具有如下屬性的表面：
a)一個簡單的散射模型，在Lambertian分布中定義了15%的反射率。
b)一個反射涂層，定義了55%的鏡向反射。
(假設剩余的30%功率被吸收了)
圖1. 實例表面
分配一個新的Lambertian散射模型，并定義明確給出了TIS值（TIS=0.15）。
圖2. Lambertian散射模型設置對話框
在本例中Refl系數(shù)設置為0.15，即入射功率的15%。這是上述方程中TISbackscat分量值。
定義反射通量需要多費點心。由于目標是定義一個在鏡向反射方向能夠反射55%的入射功率的表面，似乎假定設置涂層的反射系數(shù)(R)為0.55就足夠了。然而這并不正確，實際上這將會定義一個鏡向反射值為46.75%的模型。
這是因為FRED已經將入射通量的15%分配給了散射模型。反射系數(shù)0.55實際上是考慮過散射之后的剩余功率值。
展開 案例17-金屬桿沖擊剛性墻
結果和討論
剛性沖擊結果
對于剛性沖擊，金屬棒應該在打擊剛性墻后馬上以相同的速度反彈，沖擊后的總能量（SE+KE）應該與沖擊前的總能量相同（239.61J）。
如下表所示，比較了沖擊分離后的反彈速度和總能量，發(fā)現(xiàn)當使用下列兩種設置時，出現(xiàn)了反彈速度比初始速度更大的情況，
1. 無控制（KEYOPT(7)=0）
2. 無數(shù)值阻尼的單元層面的時間增量控制（基于接觸狀態(tài)改變KEYOPT(7)=3）
沖擊后更大的反彈速度與能量守恒的缺失有關，這從總能量的增加可以看出。使用沖擊約束（KEYOPT(7)=4）時，施加了能量守恒，所以在總能量和反彈速度中沒有看到增加。
通過比較沖擊約束（KEYOPT(7)=4）和增廣拉格朗日接觸（KEYOPT(2)=0）和拉格朗日乘子接觸（KEYOPT(2)=4）的結果，可以看出沖擊約束的精確滿足對于能量守恒和得到與初始速度相同的反彈速度是非常必要的。
注意：對剛性體通常不推薦使用拉格朗日接觸，因為可能造成過約束。這里使用在單節(jié)點上的CONTA175（來避免過約束）來證明能量守恒依賴于沖擊守恒的精確滿足。
為更好地顯示結果，Y軸的范圍不同。
圖中可以看出，在Newmark方法中使用數(shù)值阻尼能夠幫助改進結果，當使用下列兩種設置時：
1. 無控制（KEYOPT(7)=0）
2. 無數(shù)值阻尼的單元層面的時間增量控制（基于接觸狀態(tài)改變KEYOPT(7)=3）
數(shù)值阻尼從系統(tǒng)中移除了部分能量，抵消了總能量中由于非能量守恒時間積分的增加，稍微減小了反彈速度。
為更好地顯示結果，Y軸的范圍不同。
展開 
數(shù)值傳熱學 附數(shù)值傳熱學下載
那么對應的方程就是導熱方程、對流方程和熱輻射方程，這三個方程本質上都是一個方程——能量守恒方程。所以理論上，只要我們求解了能量守恒方程，我們就能知道換熱器的溫度場與傳熱系數(shù)，所有的熱性能就都知道了，我們也能不用做實驗了。因此求解能量守恒方程是工業(yè)界的一個很現(xiàn)實的需求，所以計算就真的就是計算，就是解方程算數(shù)的一個過程。
那什么是數(shù)值傳熱學？那就是如何解導熱方程、如何解對流傳熱方程、如何解熱輻射方程的這么一個學科。
原則上只要一個學科能夠提出一些相應的定律，他就可以發(fā)展出、來一些相應的數(shù)值學科。這也就不難理解計算流體力學、計算固體力學等一系列學科。
那么傳熱學方程如何解呢？這正是我們這門課程所要解決的問題。這個方法大致來說就是分兩步：
第一步就是將我們的傳熱學的偏微方程變成一個代數(shù)方程組，這個代數(shù)方程組在理論上與我們的微分方程非常接近，接近到什么程度呢？理論上可以無限接近。
第二步就是如何來解這個代數(shù)方程組。于是我們就有了——有限差分法，通過有限差分法就可以將我們的二階非線性偏微分方程變成一個代數(shù)方程組。有了代數(shù)方程組就可以解出來了，也就是線性代數(shù)的直接解法和迭代求解。這個解代數(shù)方程組的技術非常的成熟，我們可以直接使用，當然有限差分法有很多問題，于是我們就針對傳熱學方程的特點，提出了一個更合適的有限體積法。但是不論哪種方法，它們的目的都是一樣的，就是把傳熱學的微分方程變成一個代數(shù)方程組。所以計算傳熱學很簡單，就是上述的兩種步驟。
數(shù)值傳熱學對高數(shù)以及寫程序只有比較基礎的要求，我們只要使用基礎的數(shù)學知識就可以進行學習。
下載地址：數(shù)值傳熱學
展開 OpenFOAM中的能量方程
OpenFOAM中的能量方程
本文提供了描述與流體動力學和計算流體動力學（CFD）相關的能量守恒的方程的信息。它首先根據(jù)材料導數(shù)組裝用于組合的機械能和熱能的方程，即總能量方程。然后它給出一個熱能或內部能量的方程。然后根據(jù)內部能量和焓，局部（偏）導數(shù)提供總能量方程。下面描述在OpenFOAM中的求解器中使用的能量方程的實現(xiàn)。
能量方程：內容
1 總能量
2 內部能量
3 總能量/焓，局部導數(shù)
4 OpenFOAM求解器中的能量方程
5 總能量vs內部能量
1 總能量
能量守恒定律表明隔離系統(tǒng)的總能量保持不變，即隨著時間的推移而不變，能量不增加或減少，而是從一種形式轉變?yōu)榱硪环N形式。在這里我們只考慮機械和熱力學能量，其貢獻在下面的章節(jié)中描述，使用張量代數(shù)和微積分的常用符號，包括用材料導數(shù)（或實質導數(shù)，總導數(shù)，...）來表示的D/ Dt。
1.1 機械功率
機械或動能的能量變化率為：
（1）
其中U是速度，比動能（每單位質量的動能）K≡|U|/2，ρ是密度。功率通量或應變能的變化率為
（2）
其中σ是機械應力張量。應力張量可以通過式子σ=τ-pI分解為標量熱力學壓力p和粘性應力張量τ，其中I是單位張量。能量來源，或勢能的變化率為
ρg·U （3）
其中g是身體加速度，例如。重力。
1.2 熱力功率
熱能或內能的變化率為
（4）
其中e是比內能（每單位體積的內能）。熱通量
（5）
其中q是熱通量矢量，指向內部定義為正向。熱源是
（6）
其中r是任何特定的熱源。
1.3 能量守恒
材料點的總能量變化率必須等于作用在點上的來自通量和源的機械和熱力學功率的輸入。
展開 一分鐘了解穩(wěn)態(tài)熱分析&瞬態(tài)熱分析
2.2.解析解
該模型為一維穩(wěn)態(tài)熱傳導問題，從能量守恒方程及基本方程可推出控制微分方程。
1）平衡方程
能量守恒表示能量的變化為零，對于給定熱流密度q(x)、熱流截面積A(x)與外部體積熱流率d(q(x))/dt的軸向熱傳導，可寫為：
2）基本方程
根據(jù)熱傳導基本定律（傅里葉定律）的描述：在導熱現(xiàn)象中，單位時間內通過給定截面的熱量，正比于垂直于該截面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。傅里葉定律用熱流密度q(x)表示時的形式如下：
式中，T(x)為溫度，k(x)為熱傳導系數(shù)，由上述兩公式得到關于溫度T(x)的二階微分方程：
3）定解條件
一類邊界條件為溫度邊界：
二類邊界條件為熱流密度邊界：
本例中d(q(x))/dt=0，導熱系數(shù)k、熱流面積A為常數(shù)，則由上述公式得到：
代入邊界條件，流入熱量取正值，流出熱量取負值，方程解為，
熱流密度：
溫度分布函數(shù)：
由上述公式代入Q=1W，A=100mm2，L=400mm，k=100 W/(m°C)，T(L)=20°C，得到熱流密度q(x)=104W/m2，溫度分布函數(shù)T(x)=-100x+60，最高溫度T(0)=60°C。
2.3.有限元解
1）材料定義
對于穩(wěn)態(tài)熱分析，僅需定義熱導率（Conductivity）。
2）分析步設置
定義穩(wěn)態(tài)傳熱分析步。
3）邊界條件和載荷
左端點設置熱流率（Concentrated heat flux）；右端點設置溫度邊界。
展開 數(shù)值計算|控制方程及單值性條件
導讀：計算流體力學中的流動與傳熱過程都遵循3個基本物理定律：質量守恒、動量守恒及能量守恒。本文介紹這些定律的數(shù)學表達式-控制方程，以及使一個過程區(qū)別另一個過程的單值性條件(初始條件及邊界條件)
控制方程通用形式
流動傳熱過程中的3個基本物理定律均有各自的數(shù)學描述(控制方程)，具體參見本節(jié)后面部分，但這些描述方式有統(tǒng)一的表達形式，即控制方程的通用形式：
當流動傳熱過程伴隨質量交換時，控制方程還需要增加組分守恒定律：
質量守恒定方程：[單位時間內為微元體中流體質量的增加]=[單位時間內流入微元體的凈質量]
動量守恒方程：[微元體流體動量的增加率]=[作用在微元體上各種力之和]
能量守恒定律： [微元體內熱力學能的增加率]=[進入微元體的凈熱流量]+[體積力與表面力對微元體做的功]
控制方程的類型
控制方程主要有兩大類-守恒型及非守恒型，兩者區(qū)域在于控制方程左側對流項的表現(xiàn)形式。(對流項表示流動在單位時間內單位面積上進入微元體的某個物理量凈值)
守恒型：上述的通用形式控制方程：
其對流項均采用散度(divergence)的形式表示，這種形式稱為守恒型控制方程。
非守恒型：
質量守恒方程：
動量守恒方程：
能量守恒方程：
守恒型與非守恒型的比較：
守恒型與非守恒型都是守恒定律的數(shù)學表達。
由于數(shù)值計算是對有限大小的計算單元進行的，對于有限大小的計算體積，兩種形式的控制方程則有不同的特性。凡是從守恒型的控制方程出發(fā)，采用控制容積積分法導出的離散方程可以保證守恒特性，而從非守恒型控制方程出發(fā)所導出控制方程未必具有守恒特性。
展開 風扇加礦泉水瓶就是空調？你被騙了！
熱力學原理以及能量守恒。哇，這么神奇嗎？
其實這也不是新鮮事兒了，近十年，風扇+礦泉水瓶的帖子就時不時出現(xiàn)，按也按不沒，有網友親切地叫它，月X帖，也有不少up做過實驗和分析，各有不同的角度，咱不去評論。
今天我來說說我的理解。回到視頻，少年說的能量守恒及熱力學原理，指的應該就是伯努利定律及絕熱膨脹。把這句話展開說就是：流體流過瓶子，根據(jù)流量守恒，瓶口處流速會比瓶身處快，然后根據(jù)能量守恒或者說伯努利原理，如果瓶口處流速比瓶身處大，則瓶口處壓強就比瓶身處小，那么氣體從高壓到低壓，近似為絕熱膨脹，氣體溫度便降低。
很合理啊！再用流體仿真軟件AICFD計算一下，讓氣體以風扇常規(guī)風速5m/s流過瓶子，計算后，瓶口溫度確實降了1.1度。更合理啦！
感覺出哪里不對了嗎？風扇以5m/s吹風，按以上理論稍加計算就能得出，瓶口流速應該是38m/s，但實際5m/s。
瓶口風速并不是理論計算值，那么以此為基礎的推演便傾覆了。
真相是什么呢？
我們在推理中一廂情愿的認為，風扇吹出的風是5m/s,那么風就要以5m/s灌進瓶子，然后在此基礎上進入收縮流道加速，但卻忽略了重要的一點：氣體流進瓶子，流動受阻，首先會直接大幅度減速。
我們看一下把周圍環(huán)境加上后重新仿真的結果，瓶子中的氣基本都快靜止了。實測一下，瓶子中的氣基本都快靜止了！
熱力學中有個概念：滯止溫度，意思是氣體由流動到靜止，動能轉化為內能，溫度會升高。所以你單看瓶子這段，確實流速變大，溫度降低，基本是那個視頻中的解釋，但，你放大視野，氣流灌進瓶身的過程，已經先經歷了流速減小，溫度升高。所以溫度是先升再降的。
展開 焊接/鍵合殘余應力與變形怎么算？Abaqus 熱-力順序耦合與 DFLUX 詳解 ￥59.9
要讓結果可信，關鍵是：能量守恒、邊界換熱量級合理、材料熱物性/力學參數(shù)隨溫度變化；在力學側需最小約束消除剛體模態(tài)，并與熱網格一致以確保映射穩(wěn)定。
2. Goldak 雙橢球熱源、能量守恒與熱力耦合
符號：坐標 ；熱源中心位置 ；半軸 ；有效功率 ；分配系數(shù) （滿足 ）。
前半橢球（front，）
后半橢球（rear，$x
分段表達
能量守恒
軌跡（恒速 ，起點 ，起始時刻 ）
熱傳導控制方程（瞬態(tài)）
在域 、時間區(qū)間 內，溫度場 滿足瞬態(tài)能量守恒（不考慮相變）：
其中 為密度， 為定壓比熱， 為導熱系數(shù)， 為體熱源（W/m^3）。
初始條件：
邊界條件（三類任選/組合）：
指定溫度（Dirichlet）：
指定熱流（Neumann）：
對流 + 輻射（Robin）：
其中 為對流換熱系數(shù)， 為表面發(fā)射率， 為 Stefan–Boltzmann 常數(shù)， 為環(huán)境溫度。
力學控制方程與熱應變
焊接/鍵合后的固體力學響應（小–中變形，幾何非線性可按需開啟）：
靜力平衡：
其中 為 Cauchy 應力， 為體力密度（可忽略）。
位移邊界：
彈性本構（各向同性）：
含溫度依賴的 。
塑性與硬化（示例：J2 + 組合硬化；僅示意）：
等效應力：， 為偏應力；
屈服函數(shù)：；
演化：，并可含各向/隨動硬化項；
一致性條件：。
順序耦合的本質：先用熱方程得到 ，再把它作為已知外場驅動固體力學問題（通過 與溫度依賴材料參數(shù)），時間上保持同一時間軸或可匹配的時間段。
熱-力耦合
熱傳導與移動熱源
其中 即 Goldak 雙橢球體熱源; 表面邊界含對流/輻射條件:
熱彈塑性平衡方程
耦合流程
順序耦合中，熱分析得到的 （或其在積分點/節(jié)點的離散值）通過 TEMPERATURE, FILE=... 輸入到力學模型。
展開 『原創(chuàng)』交通事故再現(xiàn)軟件 pc-crash
事故重建主要根據(jù)交通事故現(xiàn)場特征，如碰撞后車輛位移、損壞程度、拖痕長度、路面情況等，運用力學動量守恒與能量守恒的基本理論，對事故發(fā)生過程進行推理與驗證。動量守恒理論以碰撞前的動量與碰撞后的動量總和相等為依據(jù)，根據(jù)車輛行駛方向與碰撞后的相關位置，來判斷事故前、后的車速變化及碰撞角度并完成參數(shù)檢測。能量守恒則以事故發(fā)生后車輛位移、損壞程度、碰撞角度等因素為依據(jù)，運用碰撞力學理論，來研究動能與位能的變化，從而推導出碰撞前、后車速和碰撞角度。重建工作就是將實際案例資料或實驗資料，通過統(tǒng)計回歸分析預測、事故現(xiàn)場模擬及碰撞軌跡分析等方法，來研究事故發(fā)生前、后車輛速度運行軌跡，最后將運算的結果或模擬的運行以屏幕顯示或打印的形式輸出，具體說明事故發(fā)生過程。
目前國內使用pc-crash的用戶:
清華大學,上海交通大學,同濟大學,哈爾濱工業(yè)大學,吉林大學,中國公安大學,云南理工大學,江蘇大學,公安部無錫研究所,河南交警總隊,黑龍江交警總隊等
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展開 
基于動力性指標的純電動汽車電機參數(shù)設計
對于附加質量，舊國標與新國標《GBT 18386-2017 電動汽車 能量消耗率和續(xù)駛里程 試驗方法》有微小的差異，詳見標準 [7]。新國標于2017年10月14日發(fā)布，于2018年5月1日起實行。對于最大設計質量≤3.5t的乘用汽車，附加質量為100kg。
3.1 最高車速指標設計
電機轉速剛性傳遞至輪邊，因此最高車速決定電機最大轉速。設計公式如下：
根據(jù)能量守恒法，在最高車速下電機的最大功率設計如下：
而30min最高車速一定≤最高車速。因此，對電機轉速將不再做進一步設計，只對汽車的峰值功率需求再做設計。由圖1可知，汽車在30min最高車速時，電機應滿足30min持續(xù)輸出功率線。根據(jù)能量守恒定律，該功率設計為：
3.2 爬坡能力指標設計
坡道起步性能與坡道車速指標的設計，均可以使用能量守恒公式，阻力部分分為行駛阻力與坡道力。計算公式如（8），（9）所示。注意其適用的力矩曲線不一致，所以修正系數(shù)不一樣。如圖1所示。
4 電動汽車加速指標設計
對電動汽車駕駛指標的設計，需要建立動態(tài)模型，并求解微分方程。因在恒功率段微分方程無理論解，只有數(shù)值解法，因此需要做離散求解插值分析。而該微分方程與ADVISOR等仿真軟件一樣，是通過設定已知動力系統(tǒng)參數(shù)求出t-v動態(tài)關系。因此需要最優(yōu)化工具作為設計輔助。
4.1 動力系統(tǒng)微分方程
將汽車作為研究質點，由牛頓第二定律得：
式中，T是電機輸出最大扭力，如圖1中的修正加速性能理論線。它是關于車速v的函數(shù)，分為恒扭力段與修正恒功率段。
微分方程（10）在恒功率段不能使用理論法求解，因此使用數(shù)值解法。本文使用固定步長為0.1s的龍格-庫塔法求解。
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對于附加質量，舊國標與新國標《GBT 18386-2017 電動汽車 能量消耗率和續(xù)駛里程 試驗方法》有微小的差異，詳見標準 [7]。新國標于2017年10月14日發(fā)布，于2018年5月1日起實行。對于最大設計質量≤3.5t的乘用汽車，附加質量為100kg。
3.1 最高車速指標設計
電機轉速剛性傳遞至輪邊，因此最高車速決定電機最大轉速。設計公式如下：
根據(jù)能量守恒法，在最高車速下電機的最大功率設計如下：
而30min最高車速一定≤最高車速。因此，對電機轉速將不再做進一步設計，只對汽車的峰值功率需求再做設計。由圖1可知，汽車在30min最高車速時，電機應滿足30min持續(xù)輸出功率線。根據(jù)能量守恒定律，該功率設計為：
3.2 爬坡能力指標設計
坡道起步性能與坡道車速指標的設計，均可以使用能量守恒公式，阻力部分分為行駛阻力與坡道力。計算公式如（8），（9）所示。注意其適用的力矩曲線不一致，所以修正系數(shù)不一樣。如圖1所示。
4 電動汽車加速指標設計
對電動汽車駕駛指標的設計，需要建立動態(tài)模型，并求解微分方程。因在恒功率段微分方程無理論解，只有數(shù)值解法，因此需要做離散求解插值分析。而該微分方程與ADVISOR等仿真軟件一樣，是通過設定已知動力系統(tǒng)參數(shù)求出t-v動態(tài)關系。因此需要最優(yōu)化工具作為設計輔助。
4.1 動力系統(tǒng)微分方程
將汽車作為研究質點，由牛頓第二定律得：
式中，T是電機輸出最大扭力，如圖1中的修正加速性能理論線。它是關于車速v的函數(shù)，分為恒扭力段與修正恒功率段。
微分方程（10）在恒功率段不能使用理論法求解，因此使用數(shù)值解法。本文使用固定步長為0.1s的龍格-庫塔法求解。
展開 ZEMAX軟件技術應用教程專題:照明設計的理論背景與概念
定義能量
光源的圈入能量
在非成像或照明光學系統(tǒng)中，當我們計算系統(tǒng)的效率時，光源的圈入能量是參考能量。以LED為例來說明圈入能量，如下圖中的例子。
將LED光源設置為簡單的朗伯分布。朗伯分布是一種均勻的光亮度L分布，與觀測角度無關。同時，朗伯分布的發(fā)光強度I隨著cos(θ)的變化而變化，被稱為朗伯余弦定理。角度θ的參考面是垂直于光源的表面。
此圖為自己歸納后完成，公開發(fā)表, 點擊查看詳情
圈入能量指的是光錐θ角內的光通量Φ的大小。可以通過立體角和發(fā)光強度I的積分來計算光通量Φ。這個積分可以使我們知道所需要光線的數(shù)目，角度的范圍，光源的光照度。
對于朗伯光源，如果只使用LED的±45度，可以看到我們只收集了大約50%的通量。為了能夠利用90%的通量，我們需要收集±71.6度的光錐內的光線。當考慮光源的大小時，就增加了另一個要考慮的參數(shù)，情況就會變得更加復雜。
考慮圈入能量：TIR鏡頭
為了利用盡可能多的光，我們需要用一個更大的角度從光源收集光線。如果使用單獨的折射透鏡或單獨的反射透鏡，光學部分的尺寸會變得太大，從而無法有效地收集光線。基于此原因，我們在光學設計中同時考慮折射和反射特性。
(參考: Pencil of Rays)
透鏡的前部為折射面，而側面由于全內反射特性成為反射面，這樣的透鏡就是TIR透鏡。TIR透鏡同時具有透鏡的折射和反射特性，但由于在大多數(shù)的光學設計中使用時都依賴其全內反射特性，所以被稱為TIR透鏡。從這個例子中我們可以看出，在使照明系統(tǒng)的圈入能量最大化時使用的設計概念與成像光學相比并不平凡。
均勻分布
照明設計中有一個概念是能量守恒。我們可以將此概念作為照明系統(tǒng)的分析設計方法，而不是隨機設定優(yōu)化的目標值。在下面的示意圖中，高斯分布被轉換為“高帽”（top-hat）分布。
展開 JCMsuite應用：四分之一波片
這使得手性行為的分析類似于電磁能量的研究。
圓偏振平面波是光手性的本征態(tài)。因此，近場光手性密度與圓偏振密切相關。在幾何光學中，四分之一波板將線偏振轉換為圓偏振是眾所周知的。它們是由雙折射材料制成的，例如各向異性材料。波片的厚度是尋常(x-)偏振和非尋常(z-)偏振波長差的四分之一。入射平面波在xz方向上線性偏振，在-y方向上傳播，如下圖所示：
四分之一波片的能量守恒和光學手性
由于線偏振，入射手性通量消失=0。對于一個完美的四分之一波片，反射通量將消失，而透射手性通量=1將以圓偏振平面波為單位。從幾何光學的角度，我們認為由于波片的各向異性導致了偏振變化或手性轉換發(fā)生在波片的體積內。對于麥克斯韋方程組的嚴格解，會產生與這個簡化模型的輕微偏差。
在近場中，由于各向異性和材料參數(shù)[1]的變化而發(fā)生手性轉換。利用各向異性電學手性的密度積分，可以在JCMsuite中計算體積貢獻。這種轉換類似于能量吸收。對于這個例子中的分段常數(shù)材料，界面處的手性轉換是通過電磁手性轉換通量積分來計算的。它的實部得到。
最后，通過對界面外域電磁手性通量積分取實數(shù)部分給出了反射和透射光手性通量。由于光學手性守恒，推導出下式：
適用于任意材料和電磁場。這類似于能量守恒，可寫為
光學手性密度如下所示
研究了四分之一波片近場的光手性密度 (左)及其體積轉換(右)
這是由輸出參量：磁性手性密度和各向異性電性手性密度得到的。在這里，目前的符號并沒有區(qū)分整數(shù)(例如或)和密度(例如)。
注意，各向異性手性密度在計算上比它們的各向同性對應部分更消耗計算資源。由于所涉及的材料是非磁性的(μr=1)，計算(各向同性)磁性手性密度就足夠了。
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