矩陣的LU分解
關(guān)注創(chuàng)建者：sniper_5292 創(chuàng)建時間：2020-06-13
矩陣的LU分解的實例教程
首先是頭文件數(shù)據(jù)信息
然后是要進行基本操作的函數(shù)文件：
==> 這里調(diào)用的上三角形方程組求解的實現(xiàn)過程如下：
主函數(shù)的測試案例為：
==> 下面進行矩陣的LU分解，進而求解方程組.
==> 關(guān)于下三角形方程組求解函數(shù)試下如下：
==> 這里的兩個工具類函數(shù)，如下所示：
==>
高斯消去的計算結(jié)果為：
LU分解的計算結(jié)果為：
==> 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)為：
標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果為：
==> 我們所完成的兩種方法的計算結(jié)果是正確的。
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矩陣分解可以一定程度上避免進行求逆帶來的龐大計算，是在矩陣規(guī)模不大的時候所采用的方法，但矩陣規(guī)模較大的時候還是比較推薦采用迭代的方法進行求解的，這里主要講一講常用的矩陣分解方法，然后把代碼給出來，同樣的代碼基于python并且封裝成了一個類，可以直接實例化并且調(diào)用，方法主要按照網(wǎng)上來寫的，穩(wěn)定性不作保證。
這里主要有Choleski分解，LU分解，QR分解，高斯消去和SVD分解，同時對于上三角和下三角的矩陣求解我單獨列了出來，因為在上面的分解方法很多都是分解為這兩種東西然后求解減少計算量的。
展開 基于matlab的多通道非負(fù)矩陣分解（MNMF）算法。其能夠?qū)ふ业揭粋€非負(fù)矩陣W和一個非負(fù)矩陣H，滿足條件V=W*H,從而將一個非負(fù)的矩陣分解為左右兩個非負(fù)矩陣的乘積。使用EM準(zhǔn)則對混合信號進行分解。程序已調(diào)通，可直接運行。
*n)，一般不用此方法
*/
Matrix& Inverse();
/*
函數(shù)名稱: 矩陣求逆，通過行初等變化，高斯列主消元法求解
*/
Matrix& InverseRow();
/*
函數(shù)名稱: 矩陣求逆，只針對于下三角矩陣進行求解
*/
Matrix& InverseDownTriangle();
/*
函數(shù)名稱: 矩陣求逆，只針對于上三角矩陣進行求解
*/
Matrix& InverseUpTriangle();
//矩陣LU分解
/*
函數(shù)名稱: 矩陣LU分解
LMat: 矩陣分解后的L矩陣
UMat: 矩陣分解后的U矩陣
*/
void ResolveLU(Matrix& LMat, Matrix& UMat);
/*
函數(shù)名稱: 矩陣的LUP分解 P*A = L*U 添加了列主消元功能
LMat: 矩陣分解后的L矩陣
UMat: 矩陣分解后的U矩陣
PMat: 矩陣分解后的P矩陣
*/
void ResolveLUP(Matrix& LMat, Matrix& UMat, Matrix& PMat);
private:
double** m_Matrix; //矩陣
int m_Row; //矩陣行數(shù)
int m_Col; //矩陣列數(shù)
};
#endif
Matrix.cpp函數(shù)實現(xiàn)文件：
#include "Matrix.h"
//******************************構(gòu)造函數(shù)與析構(gòu)函數(shù)********************************//
展開 直接法矩陣求解器和迭代法矩陣求解器有何特點和應(yīng)用范圍？
很多電磁場問題的求解會歸結(jié)為一個線性方程組的求解，HFSS提供了直接矩陣求解器和迭代矩陣求解器供客戶選擇。直接法矩陣求解器是采用LU分解或矩陣求逆的方法直接獲得未知數(shù)的解，適于中等規(guī)模的問題進行求解，效率較高，但是對于更大規(guī)模的問題，直接法的內(nèi)存消耗和計算量劇增，這種情況下就需要更高效的算法。迭代法矩陣求解器是求解真實解的一個近似解，采用各種算法（如共軛梯度法）使得近似解與真實解的誤差不斷減小直至滿足收斂條件，這種矩陣求解算法可以解決更大規(guī)模的問題，值得注意的是，當(dāng)?shù)ㄇ蠼鉂M足不了收斂條件時，會自動跳到直接矩陣求解器進行求解。
在應(yīng)用范圍上，迭代法矩陣求解器的計算效率會隨著端口數(shù)目的增加而降低，通常當(dāng)端口數(shù)< 計算機核數(shù)*2 時，采用迭代法可降低對計算機內(nèi)存的需求；當(dāng)采用快速掃頻時，如果未知量 > 30萬，采用迭代法的計算效率較高。
3. 仿真電中小尺寸超寬帶天線時如何避免輻射邊界過大的問題？
輻射邊界的設(shè)置與求解頻率有關(guān)，一般建議輻射邊界設(shè)置為求解頻率下距離輻射體約1/4個波長，但是對于超寬帶天線求解，由于掃頻非常寬，輻射邊界需要兼顧最低頻點的波長，故容易導(dǎo)致輻射邊界相對于天線尺寸過大的問題，這樣容易在輻射邊界上產(chǎn)生粗大的網(wǎng)格，反而會降低遠(yuǎn)場方向圖的計算精度，解決此問題的方法是采用FEBI邊界條件。
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矩陣的LU分解的最新內(nèi)容
LU分解
/*
函數(shù)名稱: 矩陣LU分解
LMat: 矩陣分解后的L矩陣
UMat: 矩陣分解后的U矩陣
*/
void ResolveLU(Matrix& LMat, Matrix& UMat);
/*
函數(shù)名稱: 矩陣的LUP分解 P*A = L*U 添加了列主消元功能
LMat: 矩陣分解后的L矩陣
UMat: 矩陣分解后的U矩陣
PMat:
基于matlab的多通道非負(fù)矩陣分解（MNMF）算法。其能夠?qū)ふ业揭粋€非負(fù)矩陣W和一個非負(fù)矩陣H，滿足條件V=W*H,從而將一個非負(fù)的矩陣分解為左右兩個非負(fù)矩陣的乘積。使用EM準(zhǔn)則對混合信號進行分解。程序已調(diào)通，可直接運行。
調(diào)試
曾經(jīng)碰到這樣一個問題，在對矩陣進行LU分解后，組裝矩陣求解線性方程組時，求解庫一直報錯矩陣非正定，在確定流程，業(yè)務(wù)數(shù)據(jù)和求解庫沒有問題后，最后只能從矩陣本身查找問題。在用盡所有調(diào)試方法之后，最終發(fā)現(xiàn)原因是個非常低級的錯誤：矩陣的上三角和下三角都包含對角矩陣，導(dǎo)致對角矩陣被加了兩次。
典型的直接法如高斯消去法、矩陣求逆法、LU分解法等，這些在線性代數(shù)中應(yīng)該都有學(xué)過。舉個簡單的例子。
矩陣分解算法
cls = DirectSolver(A, b) # 創(chuàng)建一個求解器的實例cls
t1 = time.time()
x = cls.LUSolver() # 調(diào)用LU法求解
t2 = time.time()
print("LUSolver", x, f"用時{t1-t2}s")
# QR矩陣分解算法
cls = DirectSolver
首先是頭文件數(shù)據(jù)信息
然后是要進行基本操作的函數(shù)文件：
==> 這里調(diào)用的上三角形方程組求解的實現(xiàn)過程如下：
主函數(shù)的測試案例為：
==> 下面進行矩陣的LU分解，進而求解方程組.
==> 關(guān)于下三角形方程組求解函數(shù)試下如下：
==> 這里的兩個工具類函數(shù)
直接法矩陣求解器是采用LU分解或矩陣求逆的方法直接獲得未知數(shù)的解，適于中等規(guī)模的問題進行求解，效率較高，但是對于更大規(guī)模的問題，直接法的內(nèi)存消耗和計算量劇增，這種情況下就需要更高效的算法。
