剛度矩陣的推導(dǎo)
關(guān)注創(chuàng)建者：sniper_5292 創(chuàng)建時間：2019-12-29
剛度矩陣的推導(dǎo)的視頻教程
深入淺出有限元及Abaqus的UEL 1-線性：基礎(chǔ)理論->Abaqus操作->編程實現(xiàn)
視頻中需用到自主的有限元求解器開發(fā)平臺iSolver，下載 http://www.yqgqt.org.cn/content/post/337351 （四）主要內(nèi)容 第一部分：01.總體介紹 1.課程目標(biāo)和介紹 2.靜力和模態(tài)分析淺談 3.有限元近似和增量迭代法流程 4.兩行代碼實現(xiàn)最簡單殼單元 第二部分：02.S4R拉伸算例： 1.虛功原理、一般單元剛度矩陣推導(dǎo)
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剛度矩陣的推導(dǎo)的實例教程
本圖片是取自《有限元方法基礎(chǔ)教程》（國際單位制）（第五版）， 第六章 建立平面應(yīng)力和平面應(yīng)變剛度方程。
==》本博客是對于四節(jié)點四邊形單元的剛度矩陣的推導(dǎo)，沒有編程的實現(xiàn)。
由于三角形單元涉及到二維應(yīng)變，通常通過應(yīng)變-位移矩陣來計算。 - 剛度矩陣：經(jīng)過推導(dǎo)后，三角形單元的剛度矩陣為：??=∫??????????,????
其中，??
是應(yīng)變-位移矩陣，??
是材料的剛度矩陣，??
是單元的面積。
三角形單元剛度矩陣（簡化版）
對于簡單的線性三角形單元，剛度矩陣一般可以通過以下積分公式推導(dǎo)：
??=??4(120?12012?12?12?1212)
其中??
是三角形單元的面積。
2.3 3D 單元（如四面體單元和六面體單元）
在三維問題中，常用的單元有四面體單元和六面體單元。
四面體單元 四面體單元的推導(dǎo)較為復(fù)雜，通常需要通過形函數(shù)和積分來獲得剛度矩陣。這里給出大致的推導(dǎo)思路。 步驟：
- 位移場：四面體單元的位移場是通過節(jié)點的位移進行插值，通常是多項式形式的。
- 應(yīng)變能：通過應(yīng)變-位移關(guān)系，計算應(yīng)變能。應(yīng)變-位移矩陣 ??
是由形函數(shù)的導(dǎo)數(shù)組成的。
- 剛度矩陣：同樣利用應(yīng)變-位移矩陣和材料剛度矩陣 ??
，通過積分得到四面體單元的剛度矩陣。
四面體單元的剛度矩陣一般較為復(fù)雜，具體計算通常依賴數(shù)值積分（例如高斯積分）。
每種單元的剛度矩陣的推導(dǎo)方法都是基于能量原理（如虛功原理、最小勢能原理）或通過變分法進行的。1D單元的剛度矩陣推導(dǎo)較為簡單，2D和3D單元則需要根據(jù)單元的具體幾何形狀和物理特性（如材料性質(zhì)、形函數(shù)等）進行推導(dǎo)。
3. 單元剛度矩陣的組裝
在構(gòu)造出各單元的剛度矩陣之后，需要將它們根據(jù)結(jié)構(gòu)中單元之間的連接關(guān)系組裝成整體的剛度矩陣。組裝過程通常依據(jù)節(jié)點的連接情況，將每個單元的剛度矩陣“嵌入”到整體的剛度矩陣中。
4.
展開 材料的彈性特征可以使用剛度矩陣來進行完全描述。剛度矩陣中任意元素都可以根據(jù)由第一性原理計算得出的聲子色散曲線來確定。
在本次案例研究中，我們介紹了一個用立方體結(jié)構(gòu)來分析硅、金剛石和銅單晶的剛度矩陣的方法。
如圖1，硅是具有金剛石結(jié)構(gòu)的立方晶體，其剛度矩陣如下所示。
由于立方晶體具有對稱性，使用SIESTA模擬軟件計算可得該模型中有3個獨立元素：C11C11，C12C12，和C44C44。
材料的彈性特征可以使用剛度矩陣來進行完全描述。剛度矩陣中任意元素都可以根據(jù)由第一性原理計算得出的聲子色散曲線來確定。
在本次案例研究中，我們介紹了一個用立方體結(jié)構(gòu)來分析硅、金剛石和銅單晶的剛度矩陣的方法。
如圖1，硅是具有金剛石結(jié)構(gòu)的立方晶體，其剛度矩陣如下所示。
由于立方晶體具有對稱性，使用SIESTA模擬軟件計算可得該模型中有3個獨立元素：C11C11，C12C12，和C44C44。
材料的彈性特征可以使用剛度矩陣來進行完全描述。剛度矩陣中任意元素都可以根據(jù)由第一性原理計算得出的聲子色散曲線來確定。
在本次案例研究中，我們介紹了一個用立方體結(jié)構(gòu)來分析硅、金剛石和銅單晶的剛度矩陣的方法。
如圖1，硅是具有金剛石結(jié)構(gòu)的立方晶體，其剛度矩陣如下所示。
由于立方晶體具有對稱性，使用SIESTA模擬軟件計算可得該模型中有3個獨立元素：C11C11，C12C12，和C44C44。
圖1 硅的金剛石結(jié)構(gòu)
立方晶體的剛度矩陣
硅的聲子色散曲線可以用SEISTA模擬軟件直接計算（如圖2）。
根據(jù)硅的晶胞中原子數(shù)為2這一事實依據(jù)，硅有三種聲振模式和三種光學(xué)模式。硅是具有金剛石結(jié)構(gòu)的立方晶體，其色散曲線表現(xiàn)出不同晶體取向的色散特性。
這里我們重點關(guān)注從ΓX點指向的(1,0,0)方向，和從ΓL點指向的(1,1,1)方向擴展的聲振模式色散特性。聲振模式的色散特性在近場的長波區(qū)呈線性Γ，且該梯度曲線給出了聲速。
圖2 硅的聲子色散曲線
圖3 區(qū)域1和2的色散曲線
圖中虛線表示靠近該區(qū)域的每個傳播方向上的聲速Γ點，下標(biāo)L/T代表縱波和橫波。
在（1,0,0）方向傳播的聲波由一個縱波和兩個簡并后的橫波組成，它們各自的聲速和剛度矩陣可以表示為下列關(guān)系式，由此結(jié)果可得C11C11 和 C44C44。
進一步使用該結(jié)果，根據(jù)（1,1,1）方向傳播的聲波可以得到c12。在本案例中，梯度（聲速）在Γ點可以通過使用圖中1和2區(qū)域的三階最小二乘法構(gòu)造一條近似曲線獲得，這是SIESTA模塊的聲子分析功能。根據(jù)取得的聲速，可以按以下公式計算剛度矩陣。
聲速與(1,0,0)/(1,1,1)方向上剛度矩陣的關(guān)系。
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剛度矩陣的推導(dǎo)的最新內(nèi)容
前面的文章提到過，結(jié)構(gòu)力學(xué)的有限元發(fā)展地非常成熟，大部分的剛度矩陣在文獻里面都推導(dǎo)好了。而流體力學(xué)的很多單元類型的有限元方程，可能需要自行推導(dǎo)完成。在熱傳導(dǎo)問題中，我采用加權(quán)余量法進行處理，推導(dǎo)出了符合結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元文獻中給出的剛度矩陣，殊途同歸。
實際上，傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元三大控制方程：幾何方程、物理方程、平衡方程。
有限元思路
搞結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元和其他方向有限元最大的區(qū)別是：結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元發(fā)展的太成熟了，桿梁板殼，各種模型的剛度矩陣前輩都給你推導(dǎo)好了。我在開發(fā)結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元求解器的時候，都是先去查資料，直接就把單元剛度矩陣拿過來用。
在有限元分析中，ANSYS 可以導(dǎo)出大規(guī)模稀疏矩陣（如剛度矩陣、質(zhì)量矩陣），通常使用 Harwell-Boeing (HB) CCS 格式。這些矩陣對后續(xù)二次開發(fā)、動力學(xué)分析或自定義求解器非常重要，但由于其稀疏和壓縮存儲形式，直接在 MATLAB 中讀取和使用并不方便。
本文提供了 兩個 MATLAB 函數(shù)，可直接從 ANSYS 導(dǎo)出的 HB 矩陣文件中讀取并重構(gòu)成 MATLAB 稀疏矩陣：
本期給大家推薦一款由木木自研的小工具：TransferMatrix，主要用于導(dǎo)出 Abaqus 中各種剛度矩陣，方便和自研的程序進行實時對比，基于 Pyside6 搭建的軟件界面，用戶僅需導(dǎo)入 inp 文件，就可以自動調(diào)用電腦內(nèi)的 Abaqus 進行計算分析，不受限于 Abaqus 版本，可以導(dǎo)出：
單元剛度矩陣
單元質(zhì)量矩陣
單元分布節(jié)點荷載列陣
整體剛度矩陣
ABAQUS 剛度矩陣11個月前
我有個abaqus的問題，你們幫幫我出出主意。 是這樣的：
1，TestElement.py 是編寫的測試代碼，可輸出8結(jié)點線性單元的剛度矩陣。
2，abaqus文件Job-testing.inp ，運行可以輸出單元剛度矩陣。
問題是：他們的結(jié)點坐標(biāo)/排序，材料參數(shù)都一致， 但得到的剛度矩陣就不一樣。
需要：代碼輸出的剛度矩陣與abaqus得到的剛度矩陣一致或者基本一致
下面簡要介紹幾種常見單元的剛度矩陣推導(dǎo)方法:
2.1 1D 單元（如桿單元）
對于二維問題，常用的單元包三角形單元（如3節(jié)點三角形單元）和矩形單元。
對于1D問題，常用的單元是桿單元（桿、梁等），它的剛度矩陣推導(dǎo)可以通過虛功原理來實現(xiàn)。 假設(shè)桿單元是線性的，材料為均勻彈性材料。
材料的彈性特征可以使用剛度矩陣來進行完全描述。剛度矩陣中任意元素都可以根據(jù)由第一性原理計算得出的聲子色散曲線來確定。
在本次案例研究中，我們介紹了一個用立方體結(jié)構(gòu)來分析硅、金剛石和銅單晶的剛度矩陣的方法。
如圖1，硅是具有金剛石結(jié)構(gòu)的立方晶體，其剛度矩陣如下所示。
由于立方晶體具有對稱性，使用SIESTA模擬軟件計算可得該模型中有3個獨立元素：C11C11，C12C12，和C44C44
材料的彈性特征可以使用剛度矩陣來進行完全描述。剛度矩陣中任意元素都可以根據(jù)由第一性原理計算得出的聲子色散曲線來確定。
在本次案例研究中，我們介紹了一個用立方體結(jié)構(gòu)來分析硅、金剛石和銅單晶的剛度矩陣的方法。
如圖1，硅是具有金剛石結(jié)構(gòu)的立方晶體，其剛度矩陣如下所示。
由于立方晶體具有對稱性，使用SIESTA模擬軟件計算可得該模型中有3個獨立元素：C11C11，C12C12，和C44C44
1.引論
經(jīng)常使用Ansys、Abaqus等一系列有限元分析軟件進行計算、學(xué)習(xí)的學(xué)生或工程師們都會知道在有限元分析建模與計算中剛度矩陣與質(zhì)量矩陣的重要性。但是由于軟件的黑盒性質(zhì)，大家往往在實際使用十分成熟的商業(yè)化軟件的過程中慢慢忽視了有限元及其衍生出的商業(yè)軟件背后的原理與方法。
這時，不管是在學(xué)習(xí)中還是在工程應(yīng)用中往往都會遇到一個同樣的問題，那么就是如何將Ansys
材料的彈性特征可以使用剛度矩陣來進行完全描述。剛度矩陣中任意元素都可以根據(jù)由第一性原理計算得出的聲子色散曲線來確定。
在本次案例研究中，我們介紹了一個用立方體結(jié)構(gòu)來分析硅、金剛石和銅單晶的剛度矩陣的方法。
如圖1，硅是具有金剛石結(jié)構(gòu)的立方晶體，其剛度矩陣如下所示。
由于立方晶體具有對稱性，使用SIESTA模擬軟件計算可得該模型中有3個獨立元素：C11C11，C12C12，和C44C44
