直接剛度法的案例
(一維彈簧單元的直接剛度方法)Python編程和ABAQUS結(jié)果對比
在學(xué)習(xí)《有限元方法基礎(chǔ)教程》過程中，通過自己編程實現(xiàn)有限單元法的數(shù)值解答，加深對理論的理解。這個在我去年的時候就已經(jīng)發(fā)過帖子了，但是沒有講解代碼，沒有和ABAQUS有限元軟件對比。這次發(fā)帖子就是想講解代碼以及和ABAQUS結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)我又更深層次理解了有限元方法。
這次寫得是最簡單的模型：一維線彈簧單元。采用的是直接剛度法求解。
直接剛度法的求解思路如下所示，其中粉紅色的是輸入，淡藍色是輸出。主要是要區(qū)分齊次邊界條件和非齊次邊界條件，非齊次邊界條件的話就要修改【F】。
下面將貼出我用python寫得一維彈簧單元的直接剛度法：
例子計算：
如圖是一個彈簧系統(tǒng)，單元節(jié)點信息如下，5節(jié)點受到一個強制位移20mm，明顯這是一個非齊次邊界條件問題。
Python編程輸入信息如下：
結(jié)果如下：
可以看到，輸出結(jié)果和書上的答案一致。
下面進行ABAQUS模擬：
添加彈簧單元
添加邊界條件
顯示單元編號、節(jié)點編號如下所示，紅色表示單元編號，黃色是節(jié)點編號
ABAQUS計算結(jié)果如下：
首先是變形圖前后對比
反力云圖如下所示，基本和直接剛度法計算的結(jié)果一致
位移云圖如下所示，基本和直接剛度法計算的結(jié)果一致
整體剛度矩陣如下所示，因為ABAQUS彈簧單元是三維的，每一個節(jié)點有3個自由度，15x15，原味的剛度矩陣如下
我們把剛度矩陣轉(zhuǎn)化為一維的，方便和編程的結(jié)果對比
從結(jié)果可以看出，ABAQUS的整體剛度矩陣和直接剛度法計算出來的整體剛度矩陣有些差異，如圖標紅的所示。
那么在整體剛度矩陣上為什么ABAQUS會和直接剛度法的整體剛度矩陣有差異呢，到底ABAQUS的整體剛度矩陣對不對呢？答案將在下一期揭曉。歡迎大家積極討論。
展開 有限元編程-附源代碼《有限元方法基礎(chǔ)教程（第五版）》學(xué)習(xí)記錄1——直接剛度法（一維彈簧單元）
計算機語言：Python（個人愛好）
對應(yīng)章節(jié)：第2章 剛度法（位移法）
實現(xiàn)內(nèi)容：
（1）采用直接剛度法；
（2）定義了彈簧單元；
（3）實現(xiàn)剛度的組裝；
（4）考慮了齊次、非齊次邊界條件；
（5）可以輸出整體剛度矩陣、節(jié)點位移、節(jié)點外力、單元內(nèi)力、單元剛度矩陣。
下一步目標：
（1）補償法的實現(xiàn)；
（2）勢能法的研究。
非齊次例子展示：
SpringUnit.rar
續(xù)集(一維彈簧單元的直接剛度方法)Python編程和ABAQUS結(jié)果對比
上一個帖子鏈接：(一維彈簧單元的直接剛度方法)Python編程和ABAQUS結(jié)果對比
上一個帖子我們對比了基于直接剛度法來求解得到一維彈簧單元的剛度矩陣和ABAQUS提取出來的不太一樣。
今天我來詳細講一下其中的原理。
例子：還是上一個帖子的例子，它是一個非齊次邊界條件的單自由度彈簧系統(tǒng)。
我們知道這個公式:
在整個系統(tǒng)來看，此時
所以我們可以寫出
***注意一下，這里的剛度矩陣 [k] 的行列式 |K| =0, 是沒有逆矩陣的。
現(xiàn)在我們的目的是想求出U2,U3,U4 這三個位置位移，我們改寫一下這個線性方程組
然后移項化簡
這時，我們可以刪掉U=0的行，以及對應(yīng)的 [K] 中的列
整理一下
再把求得的位移反帶入公式中
這個是解線性方程組的直接解法，利用了矩陣的變換，結(jié)果是精確解。在過程中我們發(fā)現(xiàn)，原來不可逆的【K】矩陣經(jīng)過刪除行列之后變成了可逆的矩陣。
然而在ABAQUS中，不是這樣處理的。
在這一步的時候，我們的解法已經(jīng)介紹。然而，ABAQUS 運用了補償法這一巧妙的解法。在邊界的節(jié)點上補償一個剛度為kb的彈簧，其中Kb為大剛度系數(shù)，具體在公式中體現(xiàn)如下
不用懷疑，理論來講，方程組中的未知數(shù)U2,U3,U4,F1x,F5x的結(jié)果沒變。這個時候【K】的行列式|K|≠0，于是【K】有逆矩陣，我們可以直接通過解矩陣方法求解位置向量{U}，
在這里就要注意了，假設(shè)我們設(shè)Kb = 10^36 N/mm ，我們可以忽略F1x和F5x，所以求得的解都是近似解，解的精確程度取決于Kb取值的大小，Kb越大，結(jié)果越精確。
此時再把{U}反帶入
求得{F}。
展開 Opstruct基于模態(tài)分析的掃頻分析、隨機振動分析、動剛度分析（模態(tài)法、直接法） ￥100
動剛度分析（模態(tài)法、直接法）。
（由彈性力學(xué)虛功原理導(dǎo)出的）有限元法的核心理論的個人總結(jié)，請大家指正。
（由彈性力學(xué)虛功原理導(dǎo)出的）有限元法的核心理論的個人總結(jié)，請大家指正。
1） 虛功原理看起來沒有什么價值，的確在生產(chǎn)中毫無價值。但是沒有虛功原理，有限元法是無法建立起來的。毫不夸張的說，沒有虛功原理，就沒有有限元法。
2） 能用節(jié)點的位移來表示單元內(nèi)任意一點的位移，是微積分一個巨大的飛越。類似用導(dǎo)數(shù)表示斜率一樣，節(jié)點的位移來表示單元內(nèi)任意一點的位移絕對是人類數(shù)學(xué)史上的巨大成功。
3） 直接剛度法是有限元法的前身。有了直接剛度法，人們才有動力和能力建立有限元法。把（需要力或者位移分解的）角度揉入剛度矩陣，是直接剛度法最拍案驚奇之處。
4） CAD為各單元在整個物理場或者位移場的變化提供角度依據(jù)。一個單元便是一個點，再根據(jù)（CAD給出精準的角度）幾何關(guān)系把整個位移場疊加起來，或者把內(nèi)力疊加起來。
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1） 虛功原理看起來沒有什么價值，的確在生產(chǎn)中毫無價值。但是沒有虛功原理，有限元法是無法建立起來的。毫不夸張的說，沒有虛功原理，就沒有有限元法。
2） 能用節(jié)點的位移來表示單元內(nèi)任意一點的位移，是微積分一個巨大的飛越。類似用導(dǎo)數(shù)表示斜率一樣，節(jié)點的位移來表示單元內(nèi)任意一點的位移絕對是人類數(shù)學(xué)史上的巨大成功。
3） 直接剛度法是有限元法的前身。有了直接剛度法，人們才有動力和能力建立有限元法。把（需要力或者位移分解的）角度揉入剛度矩陣，是直接剛度法最拍案驚奇之處。
4） CAD為各單元在整個物理場或者位移場的變化提供角度依據(jù)。一個單元便是一個點，再根據(jù)（CAD給出精準的角度）幾何關(guān)系把整個位移場疊加起來，或者把內(nèi)力疊加起來。
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展開 關(guān)于Abaqus軟件求解的直接法和迭代法
直接法：全稱為直接式線性方程求解法，該方法可以用于線性和非線性的分析，在ABAQUS/Standard模塊下，完成非線性分析時常使用牛頓方法或者其他的方法，比如弧長法，在求解的每次迭代過程中都必須要求解一系列線性方程組，而直接線性求解器就是用來尋找這些線性方程組的精確解的。ABAQUS/Standard模塊下的直接線性方程求解器使用稀疏、直接、高斯消元法，并且往往表現(xiàn)在分析所消耗時間的大部分時間中（尤其是大型模型的計算）—計算中方程的存儲占據(jù)著磁盤空間的最大部分。
迭代法：全稱為迭代式線性方程求解法，該方法在ABAQUS/Standard模塊下，可以用于尋找線性、非線性、準靜態(tài)、地應(yīng)力、孔隙流動擴散以及熱傳導(dǎo)等分析步的線性方程組。由于采用迭代的技術(shù)，不能保證給定線性方程組有收斂解，當?shù)蠼馄鞑皇諗繒r，模型的改進有助于提高收斂性。在某些情況下，使用直接式線性求解可能是得到解答的唯一選擇，但當求解收斂時，使用迭代式線性求解法將獲得更精確的解答，當然這也要依賴于相對容許值的大小。通常情況下相對容許值的缺省值已經(jīng)足夠精確，然而對于特殊的分析適當?shù)卣{(diào)整容許值將會改善仿真的整體性能，如對于薄板或薄殼結(jié)構(gòu)，相比直接式線性方程求解法，迭代式線性方程求解法將會更適合進行該結(jié)構(gòu)的分析與計算。
從Abaqus幫助手冊中可以看出，上文提到的兩種方法均在形成線性方程組之后才區(qū)分了兩種方法，隱式中常說的迭代指的是求解剛度矩陣K時采用的求解方法，當剛度矩陣已經(jīng)求得并形成了線性方程組KU=P時，直接法就是直接對剛度矩陣求逆，進而得到位移解，而迭代法就是利用迭代的求解手段得到位移解，ABAQUS默認為直接法，即是在忽略計算時間的前提下，保證方程組一定有解的策略而設(shè)定，而迭代法是用于大型模型或者薄板及薄殼結(jié)構(gòu)求解時采用的，但前提是可以收斂。
展開 直接分析法實現(xiàn)詳細說明
08
指定構(gòu)件穩(wěn)定驗算方法為“直接分析法”
導(dǎo)航器>鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計>承載能力極限狀態(tài)配置>新建
穩(wěn)定驗算方法改為直接分析法，分配給所有構(gòu)件。（或者柱按直接分析法，梁和系桿按照一階彈性等效桿件法）
09
顯示驗算結(jié)果
圖形化顯示所有構(gòu)件最大應(yīng)力比。
【JY】ETABS的非線性直接積分法的設(shè)置與應(yīng)用
ETABS中有兩種彈塑性時程分析方法，分別是非線性模態(tài)分析法（FNA法）和非線性直接積分法。其中FNA適合于帶有少量非線性連接單元的結(jié)構(gòu)，計算速度快是其主要優(yōu)點，在減隔震分析中多被采用；而非線性直接積分法適用范圍更廣，適用于除時間相關(guān)效應(yīng)外的所有非線性行為，適用性強是其主要優(yōu)點，在大震彈塑性時程分析當中多被采用。本文主要介紹非線性直接積分法的相關(guān)設(shè)置與應(yīng)用。
1.時程分析的步驟
1.1 時程函數(shù)定義
用戶可以通過定義>函數(shù)>時程函數(shù)，進行時程函數(shù)的導(dǎo)入，通常我們可以采用來自于文件的方式將地震波文件導(dǎo)入ETABS中，目前支持的地震波格式主要為.txt或.dat文件。
圖1 地震波導(dǎo)入
我國規(guī)范規(guī)定，時程分析中必須要采用一條人工波，ETABS可以通過匹配反應(yīng)譜的方式生成人工波。ETABS在生成人工波時，不但考慮了人工波要在頻譜和幅值上與反應(yīng)譜吻合，還考慮了地震波的持時特性。從圖2中可以看出人工波（紅色曲線）與天然波（藍色曲線）的持時特性吻合得很好。生成人工波的方法有兩種，一種為頻域方法，另一種為時域方法。一般來講，時域方法匹配的效果更好一些，但是花費的時間更多。
圖2 生成人工波
1.2 初始重力工況
在進行非線性時程分析之前，需要先對結(jié)構(gòu)施加重力荷載，重力荷載通常使用非線性靜力工況或者階段施工工況模擬，某些情況下也可采用非線性時程工況模擬。用戶需要注意的是，前置的非線性靜力工況或階段施工工況 應(yīng)采用與后續(xù)的非線性時程工況相同的幾何非線性設(shè)置，這樣可以確保前后工況幾何剛度矩陣的一致性，否則可能會出現(xiàn)計算結(jié)果異常或無法收斂等情況。用戶可以通過定義>荷載工況，工況類型選擇“Nonlinear Static”或“Nonlinear Staged Construction”定義重力工況。
展開 利用Hypermesh和OptiStruct對懸臂梁進行直接法瞬態(tài)分析
瞬態(tài)分析中有兩種方法，模態(tài)法和直接法。其中模態(tài)法只能用于線性分析，求解速度快，由于模態(tài)截斷存在微小誤差。直接法可以用于線性和非線性分析，隨著模型自由度的增加，求解復(fù)雜度以幾何級數(shù)增加，求解速度較慢。
在OptiStruct中，線性瞬態(tài)分析直接法采用的是Newmark-β方法，除了求解算法不同外，其與模態(tài)法分析的差別在于阻尼的設(shè)置。
本文所采用的懸臂梁模型示意圖如下：
懸臂梁尺寸為L=1m，W=0.1m，厚度D=0.01m。彈性模量E=210Gpa，泊松比μ=0.3，密度為7850kg/m3。懸臂梁端部豎直受力為10N。
本例所用的HyperWorks版本為2022，在某些界面上有所不同，但是基本上不影響分析設(shè)置。
在Optistruct中用直接法進行瞬態(tài)分析的步驟如下：
1. 創(chuàng)建網(wǎng)格模型，并賦予材料、屬性
2. 定義約束SPC load collector并施加約束
3. 定義外力DAREA或強制運動SPCD
4. 定義動態(tài)載荷表TABLED1
5. 定義求解過程使用的時間步序列TSTEP
6. 定義瞬態(tài)載荷TLOAD1
7. 定義結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)PARAM,G和PARAM,W3
8. 定義瞬態(tài)分析工況
9. 定義瞬態(tài)響應(yīng)分析的響應(yīng)輸出類型
首先打開Hypermesh，選擇Optistruct模塊，創(chuàng)建懸臂梁網(wǎng)格模型，并賦予對應(yīng)材料和屬性。
把屬性和材料賦予組件。然后創(chuàng)建SPC loadcollector，將懸臂梁左部節(jié)點全約束。
在懸臂梁右側(cè)自由端上方中點施加載荷幅值，約束3方向自由度，取值為-1。
展開 【直播】大跨空間結(jié)構(gòu)直接分析設(shè)計法，實例解析！
第一講，7月11日晚7點
1、介紹空間結(jié)構(gòu)的構(gòu)成及分類
根據(jù)曲面的形式分類
根據(jù)構(gòu)件的類型(剛性、柔性)
根據(jù)傳力的的分類
2、空間結(jié)構(gòu)設(shè)計研究的方法及工具
介紹一種常用的建模工具grasshopper
介紹常用的分析工具midas/abaqus
介紹各軟件的特點及注意事項
3、空間結(jié)構(gòu)的傳統(tǒng)設(shè)計方法
介紹空間結(jié)構(gòu)設(shè)計需要注意的關(guān)鍵性問題
對新舊兩本鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范關(guān)于穩(wěn)定問題比較
介紹計算長度系數(shù)法的應(yīng)用
第二講，7月18日晚7點
1、 直接設(shè)計法的基本思路
介紹新版鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范關(guān)于直接設(shè)計法的內(nèi)容及實現(xiàn)原理
2、 彈性范圍內(nèi)進行的設(shè)計
介紹體系層面的初始缺陷施加方法
介紹構(gòu)件層面的初始缺陷施加方法
對施加初始缺陷的模型進行設(shè)計
將直接分析設(shè)計的結(jié)果與傳統(tǒng)的設(shè)計進行比較
3、 彈塑性的分析與設(shè)計
以abaqus為例，介紹施加初始缺陷之后的結(jié)構(gòu)全過程分析流程
對全過程分析結(jié)果進行解讀
考察是否施加初始缺陷，結(jié)構(gòu)極限承載力的影響
課程受眾人群
1、建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計的從業(yè)人員 (設(shè)計院的結(jié)構(gòu)專業(yè))
2、高校空間結(jié)構(gòu)研究生
3、建筑結(jié)構(gòu)類研究所的技術(shù)人員
4、建筑結(jié)構(gòu)程序開發(fā)人員
講師介紹
資深結(jié)構(gòu)工程師，擁有豐富的建筑結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計經(jīng)驗，尤其擅長：復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析與設(shè)計、大跨空間結(jié)構(gòu)、彈塑性、組合結(jié)構(gòu)。熟練掌握abaqus、HyperWorks、MIDAS、SAP2000、3D3S、YJK、PKPM等軟件。
展開 
有限元法起源的回顧 ——Clough RW (ECCM'99上的演講)
冬季期間最重要的進展是，Jon建議我嘗試通過組裝三角或矩形形狀的平面應(yīng)力小塊來建立機翼的剛度特性列式，但我確定三角形狀會更有用，因為這樣一種小塊可以組拼近似任意結(jié)構(gòu)形狀。況且，單個三角塊的剛度特性可以在假定X與Y方向主應(yīng)力的均勻分布結(jié)合剪應(yīng)力均勻分布狀態(tài)的基礎(chǔ)上很容易的計算。于是整個結(jié)構(gòu)的剛度由單個子塊的貢獻相應(yīng)疊加得到。波音小組稱這種方法為直接剛度法。1953年夏天的剩余時間花在演示用三角單元組裝成結(jié)構(gòu)的模型的變形計算結(jié)果和實際結(jié)構(gòu)的試驗室測量結(jié)果非常吻合。同樣，也很顯然的發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果的精度可以通過連續(xù)細分有限元網(wǎng)格漸進提高。那個夏天工作得到的結(jié)論由Jon Turner發(fā)表在1954年一月的Institue of Aeronautical Sciences年度會議上。然而至今我仍不明白為什么Jon直到許多月以后才把這篇論文拿去發(fā)表。因此，這篇被認為是有限元第一篇論文的文章直到1956年9月才發(fā)表[1]--在它被口頭提出兩年多后。
值得強調(diào)的是Jon Turner的結(jié)構(gòu)動力學(xué)小組做這個工作的基本目的是為了振動和顫振分析。他們并不關(guān)心應(yīng)力分析，因為那是應(yīng)力分析小組的任務(wù)。然而，很顯然的是通過直接剛度法建立的模型除了用于振動分析，同樣可以用于應(yīng)力分析。因此我計劃一旦可能，馬上調(diào)查它在應(yīng)力分析中的應(yīng)用。然而當時我有其它研究任務(wù)，我無法抽出有用的時間在應(yīng)力分析問題上，直到1956年9月我申請到挪威Trondheim進行休假。于是，當我到達挪威時，我所能做的只是擬定了一個研究方案，并且用一臺臺式計算器計算一些很小的系統(tǒng)，因為挪威理工學(xué)院那時還沒有一臺自動電子計算機。
展開 關(guān) 于 有 限 元 起 源 的 思&nb
于是整個結(jié)構(gòu)的剛度由單個子塊的貢獻相
應(yīng)疊加得到。波音小組稱這種方法為直接剛度法。
1953年夏天的剩余時間花在演示用三角單元組裝成結(jié)構(gòu)的模型的變形計算結(jié)果和實
際結(jié)構(gòu)的試驗室測量結(jié)果非常吻合。同樣，也很顯然的發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果的精度可以通過連
續(xù)細分有限元網(wǎng)格漸進提高。那個夏天工作得到的結(jié)論由Jon Turner發(fā)表在1954年一月
的Institue of Aeronautical Sciences年度會議上。然而至今我仍不明白為什么Jon直
到許多月以后才把這篇論文拿去發(fā)表。因此，這篇被認為是有限元第一篇論文的文章直
到1956年9月才發(fā)表[1]--在它被口頭提出兩年多后。
值得強調(diào)的是Jon Turner的結(jié)構(gòu)動力學(xué)小組做這個工作的基本目的是為了振動和顫
振分析。他們并不關(guān)心應(yīng)力分析，因為那是應(yīng)力分析小組的任務(wù)。然而，很顯然的是通
過直接剛度法建立的模型除了用于振動分析，同樣可以用于應(yīng)力分析。因此我計劃一旦
可能，馬上調(diào)查它在應(yīng)力分析中的應(yīng)用。然而當時我有其它研究任務(wù)，我無法抽出有用
的時間在應(yīng)力分析問題上，直到1956年9月我申請到挪威Trondheim進行休假。于是，當
我到達挪威時，我所能做的只是擬定了一個研究方案，并且用一臺臺式計算器計算一些
很小的系統(tǒng)，因為挪威理工學(xué)院那時還沒有一臺自動電子計算機。
在Institute of Aeronautical Sciences上發(fā)表的那篇文章[1]第一次向技術(shù)人員引
入了有限元的原理；盡管很短時間后這種方法的一些基本概念在1954年八月到1955年五
月期間被John H. Argyris博士[2]在Aircraft Engineering發(fā)表的一系列論文提出。然
而，在這些論文中出現(xiàn)的矩形單元僅僅是所做貢獻的一小部分。
展開 基于Python語言求解桁架問題 ￥59.9
</p><h2>5．總結(jié)</h2><p>通過使用有限元法解決桁架問題，我們可以了解有限元法的原理，掌握python的編程方法和操作環(huán)境以及將問題模塊化處理的思路。將問題的已知條件轉(zhuǎn)化python語言，并列出邊界條件和協(xié)調(diào)性條件，計算出所求未知物理量。有限元法的基本思路是首先將系統(tǒng)離散化處理，對于該問題的桁架結(jié)構(gòu)， 是將其分解為桿單元和節(jié)點，這一步?jīng)Q定了有限元方法的精確度。利用公式單元剛度矩陣，并根據(jù)幾何關(guān)系利用直接剛度法，將每個單元裝配在系統(tǒng)剛度矩陣中。題中幾何關(guān)系所示的邊界條件是支撐節(jié)點的位移為零，以及外加載荷節(jié)點的外力是7000N。程序?qū)⒎匠探鉀Q后即可的出未知節(jié)點的位移、應(yīng)變以及支座反力。</p>
展開 有限元格式形成的一般方法
直接剛度法
變分方法
加全余量法
