內能的案例
LS-DYNA中的操作及設置（四）（內能，總能量）
本文翻譯自官方文檔，原文鏈接：
https://www.dynasupport.com/howtos/general
一、內能（Internal Energy）
在LS-DYNA中，內能由每一個單元的應力和應變的六個張量分量計算而來：
(IE)new = (IE)old + sum over all six directions of (stress * incremental strain * volume)
所有單元的內能總和即為整個系統的內能。
此外，如果*CONTROL_ENERGY中的RYLEN=1，那么在內能計算中還會考慮由于剛度阻尼（*DAMPING_PART_STIFFNESS）所產生的內能耗散。
若在殼單元中出現負的內能，可以通過以下幾個方面進行調整：
1.在*CONTROL_SHELL中通過ISTUPD禁止殼單元厚度變薄；
2.調用 TYPE =-2 （ *CONTROL_BULK_VISCOSITY），使程序考慮殼單元的體積粘性。
3.對于出現了負內能的部件，對其使用關鍵字*DAMPING_PART_STIFFNESS，最開始嘗試的時候可以先試用一個較小得值，例如0.01。若RYLEN=2，那么由于剛度阻尼而產生的內能會計算到整體內能中去。（此句與上文矛盾，存疑）
二、總能量（Total energy）
LS-DYNA可以輸出GLSTAT文件（*DATABASE_GLSTAT），其中記錄了系統的能量變化情況。
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LS-dyna能量介紹
(nanosec).. 11286
GLSTAT(參見*database_glstat)文件中報告的總能量是下面幾種能量的和：
內能 internal energy
動能 kinetic energy
接觸(滑移)能 contact(sliding) energy
沙漏能 houglass energy
系統阻尼能 system damping energy
剛性墻能量 rigidwall energy
GLSTAT中報告的彈簧阻尼能”Spring and damper energy”是離散單元(discrete elements)、安全帶單元(seatbelt elements)內能及和鉸鏈剛度相關的內能(*constrained_joint_stiffness…)之和。而內能”Internal Energy”包含彈簧阻尼能”Spring and damper energy”和所有其它單元的內能。 因此彈簧阻
尼能”Spring and damper energy”是內能”Internal energy”的子集。
由SMP 5434a版輸出到glstat文件中的鉸鏈內能”joint internal energy”跟*constrained_joing_stiffness不相關。它似乎與*constrained_joint_revolute(_spherical,etc)的罰值剛度相關連。這是SMP 5434a之前版本都存在的缺失的能量項，對MPP 5434a也一樣。這種現象在用拉格朗日乘子(Lagrange Multiplier)方程時不會出現。
與*constrained_joint_stiffness相關的能量出現在jntforc文件中，也包含在glstat文件中的彈簧和阻尼能和內能中。
展開 ABAQUS中的能量平衡
能量圖：動能:ALLWK(external work for whole model)
內能:ALLIE(internal energy for whole model）
外部荷載功:ALLKE(Kinetic energy for whole model)
內能、應變能、塑性耗能
內能：ALLIE(internal energy for whole model)
應變能：ALLPD(Platic dissipation for whole model)
塑性耗能：ALLSE(strain energy for whole model)
損傷耗能、應變能
順上耗能：ALLDMD(damage dissipation energy for whole model)
應變能：ALLPD(Platic dissipation for whole model)
關于本文網友的疑問：
根據莊茁老師《基于ABAQUS分析的有限元分析和應用》書中（9.6.1節）表述：整體模型的能量平衡可以寫為：
ALLIE+ALLVD+ALLFD+ALLKE-ALLWK=ETOTAL=constant （公式1）
即，內能+粘性耗散能+摩擦耗散能+動能-外力功=常量
ALLIE=ALLSE+ALLPD+ALLCD+ALLAE (公式2)
即，內能=存儲的應變能+非彈性耗散能+粘彈性耗散能（或者蠕變耗散能）+偽應變能
問題是：
1、ABAQUS中ALLWK指的是外荷載所做的功，我認為它應該等于其它能量項之和，比如說公式1中，外力功=內能+粘性耗散能+摩擦耗散能+動能，這樣的話，ETOTAL應該是在0附近變化（<1%）;如果我的理解有誤，不知ETOTAL
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玻璃杯跌落仿真與車載導航屏碰撞仿真關系的研究 ￥10
四、結論
對于整體模型的能量平衡方程為
E|內能+E|耗散能+E|動能-E|外力做功=constant
在上面分析模型中，外力做功為碰撞接觸力做的功。在分析系統中兩個相互作用的模型從接觸到破壞的碰撞過程中，系統的內能不斷增大，而動能則在減小，最大的碰撞接觸力也將出現在該過程中的某個時刻，如下圖。當內能達到某個數值，模型破壞，內能就停止增加，則動能也停止減少，系統的能量達到另一個平衡點。
系統的能量由開始的動能決定，如果系統開始時就采用質量放大技術進行分析，則碰撞的最大力必定受到影響，且質量放大系數越大，則碰撞的作用力就越大，因此，該碰撞系統不宜采用質量縮放技術。該分析有別于像沖壓成型這樣的準靜態過程分析，因為準靜態過程中，系統的所有的動能轉化為成型后的內能（塑性應變能），且準靜態過程可以通過“E|動能”與“E|內能”的比值來評價質量縮放對分析精度的影響（通常比值<5%，且動能較為平滑而無較大波動情況，則認為質量縮放對分析結果無影響）。
上圖中顯示，動能ALLKE始終大于內能ALLIE，因此不能用E|動能”與“E|內能”的比值來評價采用質量縮放技術后的分析結果，也就是說該碰撞分析不宜采用質量縮放技術。由于模型的網格細，單元尺寸很小，導致了顯示分析步的穩定步長到達E-9級別，往往部分工程師或學生會直接采用質量縮放技術，所以需要注意這一點。
展開 LS-DYNA的狀態方程模型
17.4 狀態方程形式4：Gruneisen
具有立方激波速度-粒子速度的Gruneisen狀態方程將壓縮材料的壓力定義為
（17.4.1）
其中E為單位初始體積的內能，C為vs—vp（剪切-壓縮波速）曲線的截距，S1、S2、S3為vs—vp曲線的斜率系數，γ0為Gruneisen gamma，a為對γ0的一階體積修正。常數C、S1、S2、S3、γ0、a均為輸入參數。壓縮根據相對體積V定義為：
對于膨脹材料，其壓力的定義為：
（17.4.2）
17.5 狀態方程形式5：Ratio of Polynomials
多項式狀態方程比率將壓力定義為：
（17.5.1）
其中
（17.5.2）
在擴展區域中，F1被F’1=F1+βμ2替代，常數Aij，α和β是用戶輸入。
17.6 狀態方程形式6：Linear With Energy Deposition
這個多項式狀態方程，單位初始體積，E，的內能呈線性，由
（17.6.1）
其中C0，C1，C2，C3，C4，C5和C6是用戶定義常數。
（17.6.2）
V是相對體積，在膨脹單元中，的系數設為零，即：
內能E根據能量沉積速率隨時間曲線的增加，其ID在輸入中定義。
17.7狀態方程形式7：Ignition and Growth Model
JWL狀態方程將未反應高爆物的壓力定義為
（17.7.1）
其中Ve為相對體積，Ee為內能，常數Ae、Be、ωe、R1e、R2e為輸入常數。
展開 ABAQUS疑難雜癥之沙漏剛度
繪制出偽應變能與內能曲線，在最后一個增量步的時候，偽應變能為60921.6，內能為1.24224e7，偽應變能是內能的0.5%，盡管小于1%，但是單元中出現了梯形交替的形狀，需要將單元類型改為CPE4I。
對稱邊界條件。模型中左側沒有施加對稱邊界條件，導致坯料左上方頂點的節點是自由的，剛體擠壓后，頂點在剛體的上方，出現“穿透”現象，這樣以來就違反了接觸分析的重要原則：從面節點在分析過程中應該始終處于主面法線的覆蓋范圍之內，而不能落在主面之外。
剛體參考點位置。建模過程中一個很好的習慣就是將參考點設置在剛體形心位置處，如果模型涉及轉動不至于出現偏離。
源文件可在公眾號:‘易木木響叮當’ 內回復“沙漏剛度”自動獲取。
展開 帶內熱源的UMATHT子程序入門小例子 ￥5
與UMAT必須定義雅可比矩陣和更新后應力類似，下圖中列出了UMATHT在使用過程中必須定義內能隨溫度的變化等變量：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202007/eea167ddfbfe4812839b7903c765e66d.png" alt="UM8.png"></p><p> 包括U內能，(這里需要注意一下，U的單位是單位質量的內能與前面方程中推導的過程中不同，后面加入內熱源項需要考慮)。其他變量在后面的例子中再介紹。</p><h2>2.帶內熱源的小例子</h2><p> 建一個1m*1m*1m的立方體，給定密度7900(kg/m3)，熱導率50(W/m/K)，比熱容500(J/kg/K)。hetval子程序使用的時候要在Thermal中選擇Heat Generation，要不然子程序不起作用。</p><p><img src="https://img.jishulink.com/upload/202007/2b4dc6e653de41e680d7db48ec54fa5e.png" alt="UM9.png"></p><p>初始溫度0度，時間步長5s總共50s。
展開 004. 淺析有限元分析中的沙漏現象及其控制方法
應力根據本構方程由應變計算得到，然后通過積分計算單元的內能。
如果采用單點積分（積分點在等參元中心），在某些情況下節點位移不為零，即單元有形變，但插值得到的應變卻為零。
比如，一個正方體單元變形為等腰梯形，節點位移相等卻方向相反，各點的形函數為零，所以插值結果為零，這樣內能計算結果也為零，即計算認識單元沒有變形，與事實相左。
LS-DYNA 里的 Hourglass 現象基本上只發生在單點積分的單元里。
舉例來說，考慮一個由四個邊構成的殼單元。這個單元只有一個積分點，而這四個邊只需環繞著這個積分點即可。具體說，無論這四個邊的形狀是正方形、菱形，還是其他創意形狀，積分點都是固定的。然而，在計算過程中，如果開始時形狀是長方形，而后在變形過程中卻變成了其他奇異形狀，這很可能是產生了Hourglass現象的跡象。
2.如何判斷是否出現沙漏模式？
方法一： 查看單元變形過程。如果有單元變形明顯異常，或有單元變成交替出現的梯形形狀，一般是出現沙漏模式。
方法二：查看沙漏能在總內能中所占比例。當沙漏能約占總內能的 1% 時，表明沙漏模式對計算結果的影響不大;當其超過總內能的 10% 時，分析就是無效的，必須采取措施加以解決。
3.控制沙漏的方法
Hourglass 可通過引入內部節點力來控制，相關的關鍵字有CONTROL Hourglass,*Hourglass 等，但是這就有了另一個問題，既然是人為的引用了節點力，那么這個人為的力所產生的能量(Hourglass energy)就得越小越好，一般要求沙漏能要小于總能量的 5% 才認為結果是可靠的。
能量之間是可以轉化的。但是，對于動力學問題，總能量一般是不變的，也就是能量守恒原理。沙漏模式也就是零能模式在理論上是存在的，大多數實際的模型中是不可能的。
展開 Abaqus準靜態小例子: 能量平衡、質量放大
3，能量平衡
評估模擬是否產生了正確的準靜態響應，當模型太復雜時，單純的通過應力作用不明顯，通常的作法是通過對比能量的角度，能量平衡方程式：
E1+EV+EKE+EFD-EW=Etotal=constant
其中E1是內能增量（包括彈性和塑性應變能），EV是粘性耗散吸收的能量，EKE是系統的動能，EFD是摩擦耗散的能量，EW是外力作的功，Etotal系統中的總能量。從這個方程中可以看出，當系統的動能不超過內能的一個小的比例時（5%—10%）就可以簡單的認為是一個準靜態響應。如果模擬的結果發現動能占的比例太大，一般的作法是將加大加載時間，也可以利用質量放大技術。
展開 LS-dyna 常見問題匯總
7.Energy balance 能量平衡
GLSTAT(參見*database_glstat)文件中報告的總能量是下面幾種能量的和：
內能 internal energy
動能 kinetic energy
接觸(滑移)能 contact(sliding) energy
沙漏能 houglass energy
系統阻尼能 system damping energy
剛性墻能量 rigidwall energy
GLSTAT中報告的彈簧阻尼能”Spring and damper energy”是離散單元(discrete elements)、安全帶單元
(seatbelt elements)內能及和鉸鏈剛度相關的內能(*constrained_joint_stiffness…)之和。而內能”Internal Energy”包含彈簧阻尼能”Spring and damper energy”和所有其它單元的內能。 因此彈簧阻尼能”Spring and damper energy”是內能”Internal energy”的子集。
由SMP 5434a版輸出到glstat文件中的鉸鏈內能”joint internal energy”跟*constrained_joing_stiffness不相關。它似乎與*constrained_joint_revolute(_spherical,etc)的罰值剛度相關連。這是SMP 5434a之前版本都存在的缺失的能量項，對MPP 5434a也一樣。這種現象在用拉格朗日乘子(Lagrange Multiplier)方程時不會出現。
與*constrained_joint_stiffness相關的能量出現在jntforc文件中，也包含在glstat文件中的彈簧和阻尼能和內能中。
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基于LS-DYNA的鋁合金前防撞橫梁結構設計與優化
隨著時間的不斷增加，整個系統的動能在不斷地減小，而內能在不斷地增加。在0.032s的時候，系統的動能和內能相等。由于0s至0.054s系統處于壓縮階段，所以內能不斷地增加，直到0.054s達到峰值，為723.74J，與原鋼制前防撞梁系統的內能峰值基本一致，但比原鋼制系統能量轉化速度要快；同時動能不斷減小，并在0.054s達到最小值，0J。而在0.054s至0.3s，系統處于回彈階段，所以內能在減小而動能在增加，隨著時間的推移，內能最終趨于穩定值577.03J。
圖4.5 鋁合金前防撞梁系統100%重疊剛性墻低速碰撞的能量
綜上所言，新設計的鋁合金前防撞梁系統整體剛度要高于原鋼制前防撞梁系統的，并且此鋁合金前防撞梁系統在100%重疊剛性墻低速碰撞仿真分析中表現綜合要優于原鋼制前防撞梁系統。因此鋁合金前防撞橫梁的結構設計與優化基本達成目標。
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展開 炸藥爆轟產物JWL狀態方程
關于炸藥爆轟產物狀態方程，很多文獻都有給出，但不同文獻之間存在明顯區別，尤其是關于內能密度和相對體積，有的采用初始內能密度，有的采用內能密度，有的采用初始相對體積，有的采用相對體積，莫衷一是。
在此拋磚引玉，請各位發表高見！
基于LS-DYNA的鋁合金前防撞橫梁結構設計與優化
隨著時間的不斷增加，整個系統的動能在不斷地減小，而內能在不斷地增加。在0.032s的時候，系統的動能和內能相等。由于0s至0.054s系統處于壓縮階段，所以內能不斷地增加，直到0.054s達到峰值，為723.74J，與原鋼制前防撞梁系統的內能峰值基本一致，但比原鋼制系統能量轉化速度要快；同時動能不斷減小，并在0.054s達到最小值，0J。而在0.054s至0.3s，系統處于回彈階段，所以內能在減小而動能在增加，隨著時間的推移，內能最終趨于穩定值577.03J。
圖5.5 鋁合金前防撞梁系統100%重疊剛性墻低速碰撞的能量
綜上所言，新設計的鋁合金前防撞梁系統整體剛度要高于原鋼制前防撞梁系統的，并且此鋁合金前防撞梁系統在100%重疊剛性墻低速碰撞仿真分析中表現綜合要優于原鋼制前防撞梁系統。因此鋁合金前防撞橫梁的結構設計與優化基本達成目標。
當然，本基于LS-DYNA的鋁合金前防撞橫梁結構設計與優化研究仍存在諸多不足之處，歡迎各位專家批評指正，交流推動進步，分享加快發展，謝謝。
展開 OpenFOAM中的能量方程
1.2 熱力功率
熱能或內能的變化率為
（4）
其中e是比內能（每單位體積的內能）。熱通量
（5）
其中q是熱通量矢量，指向內部定義為正向。熱源是
（6）
其中r是任何特定的熱源。
1.3 能量守恒
材料點的總能量變化率必須等于作用在點上的來自通量和源的機械和熱力學功率的輸入。在材料點趨于無限小時有
（7）
2 內能
內部能量的方程是通過簡化機械功得到的，表示為
（8）
結合動量方程
（9）
以減少對的機械貢獻。這樣方程7可以表示為
（10）
項表示機械功率對內能的貢獻，因此，顆粒的隨機運動。因此，表達式（??σ）?U必須表示由于顆粒的整體運動引起的功率。
3 總能量/焓，局部導數
我們可以用局部導數（或偏導數，空間導數，...）表示我們的方程，其中
。應用質量守恒，以下關系適用于任何張量Q：
（11）
結合方程7和11，以及分解應力張量，給出：
(12)
焓是內能和運動壓力的總和，即 。將其與等式12結合，給出：
(13)
總能量可以定義為。將其與等式12相組合給出：
(14)
4 OpenFOAM求解器中的能量方程
能量方程的求解在OpenFOAM中被包括在多個求解器中，用于可壓縮流動，燃燒，熱傳遞，多相流和粒子跟蹤。可以在OpenFOAM的$FOAM_SOLVERS目錄（包括可壓縮，熱傳導，燃燒，多相和拉格朗日子目錄）的子目錄中的文件中找到這些解算器的源代碼。
能量方程通常以在方程12和13中表示的總能量的形式實現，而沒有機械源項和。假設熱通量
，其中有效熱擴散率
是層流和湍流熱擴散率的總和。每個能量方程的實現包含關于特定求解器的熱源項ρr。
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