邊界元法的案例
向邊界元法致敬！
高級(jí)工程師 René Christensen 利用軟件中的邊界元法（boundary element method，簡稱 BEM）功能完成了這項(xiàng)任務(wù)。模型完成后，許多同事都發(fā)現(xiàn)各自的研究均可以采用此仿真工具替代人體模型。
為何選擇邊界元法？
軀干、頭部、耳廓和耳道對(duì)空氣傳播聲音信號(hào)以及頭部周圍聲場的綜合影響，被稱之為頭部相關(guān)傳輸函數(shù)。 “在遠(yuǎn)離頭部的空間中指定一點(diǎn)，你可以描述該點(diǎn)發(fā)出的聲音到耳膜的傳輸過程。”Christensen 解釋道。這種確定性模擬方法可以對(duì)麥克風(fēng)擺放在不同位置時(shí)產(chǎn)生的聲音（示例興趣點(diǎn)見圖 2）進(jìn)行可視化研究，由此協(xié)助工程師制定工程決策，并探索頭部和軀體對(duì)總聲壓的影響（圖3）。以米為量級(jí)的尺度下進(jìn)行聲學(xué)模擬的挑戰(zhàn)在于，常用的有限元法（finite element method，簡稱 FEM）的計(jì)算量會(huì)很大并且占用大量內(nèi)存。
圖 2. 上和中：“近耳”點(diǎn)，在這些位置計(jì)算了口對(duì)點(diǎn)的近耳傳輸函數(shù)，這是一種更具體的關(guān)于頭部的傳輸函數(shù)。下：3200 Hz 頻率下的聲壓分布。紅色表示高正壓，藍(lán)色表示高負(fù)壓。
圖 3. 3200 Hz 頻率、1 m 半徑的總聲壓極坐標(biāo)圖。
對(duì)于在筆記本電腦上執(zhí)行大部分模擬工作的 Christensen 而言，計(jì)算量與內(nèi)存需求是一個(gè)嚴(yán)重的桎梏，但是 COMSOL Multiphysics? 軟件讓他能夠隨意選擇適合的方法。針對(duì)這一案例，他可以充分利用軟件中的聲學(xué)邊界元法，實(shí)現(xiàn)更為高效的模擬。雖然邊界元法在每個(gè)自由度上的計(jì)算量超過了有限元法，但邊界元法在大體積范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)相同的精度時(shí)，所需的自由度要比有限元法少很多。利用邊界元法，可以在域內(nèi)的任一點(diǎn)上提取聲壓值，而僅需對(duì)表面進(jìn)行網(wǎng)格劃分和計(jì)算。顯而易見，這項(xiàng)功能具備實(shí)質(zhì)性的計(jì)算優(yōu)勢(shì)。有限元法需要對(duì)整個(gè)體進(jìn)行網(wǎng)格劃分，更加適用于近場分析。
展開 邊界元法進(jìn)展及通用程序
邊界元法進(jìn)展及通用程序1邊界元
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邊界元法進(jìn)展及通用程序.part2.rar
邊界元法進(jìn)展及通用程序.part3.rar
邊界元法在復(fù)合材料中的應(yīng)用
邊界元法在求解復(fù)合材料力學(xué)問題中的應(yīng)用
聲振耦合分析之邊界元法
聲振耦合分析之邊界元法 分析步驟簡要介紹： 1 模型簡化、材料屬性、邊界條件、載荷及響應(yīng)梳理； 2 振動(dòng)響應(yīng)分析；或者來自外部的振動(dòng)響應(yīng)結(jié)果； 3 聲學(xué)邊界元設(shè)置； 4 求解計(jì)算及結(jié)果查看； 5 方法總結(jié) 如果你想要了解這些，不要猶豫可以聯(lián)系我。
申光憲教授《邊界元法》著作
為大家提供一些資料，先將申光憲教授《邊界元法》上傳，需要超星閱覽器。
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DEFORM利用邊界元法模擬感應(yīng)加熱+淬火[3D ] ￥9.99
DEFORM利用邊界元法模擬感應(yīng)加熱+淬火[2D ]
后臺(tái)有同學(xué)需要3D的例子，其實(shí)和2D差不多，所不同的是3D的感應(yīng)線圈需要設(shè)置電流出入口。
此示例同樣需要一個(gè)額外的 DAT 文件 (DEF_INDH.DAT)，與2D內(nèi)容一樣。
本次材料和DAT文件與2D案例一樣。
要點(diǎn)：
感應(yīng)加熱3D
淬火
溫度窗口的使用
1 模擬控制設(shè)置
跟往常一樣，新建一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入前處理，然后進(jìn)入模擬控制窗口，勾選相轉(zhuǎn)變和感應(yīng)加熱模式。總步數(shù)設(shè)置110步，5步一存，步長0.1s/step也就是說整個(gè)模擬過程持續(xù)11s。
2 建立對(duì)象
添加2個(gè)對(duì)象，分別為坯料和感應(yīng)線圈。
2.1 坯料設(shè)置
坯料由于考慮熱應(yīng)力，故設(shè)置成彈塑性體，材料選擇AISI-1080。需要注意的是計(jì)算感應(yīng)加熱時(shí)，坯料和線圈均需要設(shè)置電/磁參數(shù)。另外，計(jì)算熱處理相轉(zhuǎn)變需要有各個(gè)相以及相轉(zhuǎn)變熱力學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型。
導(dǎo)入坯料幾何模型，本次通過文件方式導(dǎo)入。
給坯料劃分網(wǎng)格，為了演示劃分16000個(gè)網(wǎng)格，實(shí)際計(jì)算時(shí)可酌情進(jìn)行局部細(xì)化。
邊界條件設(shè)置。首先是固定邊界條件，將底部x，y，z方向固定。
設(shè)置換熱邊界條件，除了設(shè)置常規(guī)的換熱邊界條件外，還需要設(shè)置一個(gè)額外的淬火窗口(傳熱窗口),點(diǎn)擊Env.Windows，然后進(jìn)入窗口定義，設(shè)置成矩形框，輸入坐標(biāo)進(jìn)行矩形框繪制。運(yùn)動(dòng)選擇跟著上模（感應(yīng)線圈）運(yùn)動(dòng)，環(huán)境溫度設(shè)置為20度，換熱系數(shù)這里設(shè)的比較大，主要是因?yàn)榇慊鸬膿Q熱時(shí)間比較短，所以夸大一點(diǎn)效果，實(shí)際過程淬火窗口可單獨(dú)設(shè)置速度不需跟著感應(yīng)線圈。
展開 斷裂力學(xué)與有限元法、邊界元法
<p> </p><p>盡管有限元法的適應(yīng)性極強(qiáng)，并具有廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域，但這種利用局部定義的多項(xiàng)展開式來實(shí)現(xiàn)的方法仍有某些不足之處。具體來進(jìn)，困難出現(xiàn)在如下兩種情況下：（a）問題的定義域?yàn)闊o限域時(shí)，（b）存在奇異性（部分或全部導(dǎo)數(shù)為無窮大）時(shí)。</p><p>顯然，無限域無法用有限的單元來得到；而用多項(xiàng)展開式來描述奇異性時(shí)則近似程度很差。事實(shí)上，收斂定理在后一個(gè)問題中已不再能使用，因?yàn)樵谄娈慄c(diǎn)附近泰勒展開式不再收斂。</p><p>在著重于實(shí)用的工程方法中，常常十分正確地迴避了這兩種困難，因?yàn)閷?shí)際上無限域及奇異性只是數(shù)學(xué)上的假設(shè)——這使我們能用大而有限的區(qū)域及接近奇異的點(diǎn)得到有用的結(jié)果，然而這兩種數(shù)學(xué)“假設(shè)”都是有用的，因?yàn)槔盟鼈兡苁褂?jì)算工作量有本質(zhì)性的下降。實(shí)際上大家都知道，對(duì)于“無限域”和“奇異性”問題，存在著許多極為簡單的精確解，只要有可能，利用這些解答總是值得的。因此，本章的任務(wù)就是論述如何在數(shù)值離散化方法中利用這些解析解，可以用許多其它的辦法把問題轉(zhuǎn)變（或簡單地修正一下，以避免無限域及奇異性，但最有效的還是所謂“邊界解”法或特雷弗茨（Trefftz）法。因此，我們將首先較為詳細(xì)地討論這種方法和有限元法的異同，并且指出：只要表述和處理都得當(dāng)邊界解法的所有長處均可在有限元分析中得到保留。我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這里所用的一些方法和第十二章中推導(dǎo)各種雜交單元的方法是一樣的。</p><p> </p><p>邊界群法的本質(zhì)是；按標(biāo)準(zhǔn)形式為未知函數(shù)選擇一組試試探函數(shù)。</p><p>邊界解法和普通有限元法的差別在于：</p><p>（1）選擇形狀函數(shù)時(shí)要滿足式。</p><p>（2）只在問題的邊界條件上作出近似。</p><p>由于現(xiàn)在的離散處理僅涉及邊界，所以其參數(shù)的數(shù)目可以比準(zhǔn)有限元法所用的少很多。
展開 有限元法邊界條件的處理
邊界上的節(jié)點(diǎn)通常有兩種情況，
1. 一種邊界上的節(jié)點(diǎn)可自由變形，此時(shí)節(jié)點(diǎn)上的載荷等于0，或者節(jié)點(diǎn)上作用某種外載荷，可以令該點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)載荷等于規(guī)定的載荷Q。這種情況的處理是比較簡單的。
2. 另一種邊界上的節(jié)點(diǎn)，規(guī)定了節(jié)點(diǎn)位移的數(shù)值。這種情況下，有兩種方法可以處理：
* 劃0置1法
* 置大數(shù)法
劃0置1法是精確的方法，置大數(shù)法則是近似的方法。下面分別介紹這兩種方法
置大數(shù)法
假設(shè)v自由度的位移已知為b(b可以為0或者其他任意值)。
1. 將v自由度相應(yīng)對(duì)角線上的剛度系數(shù) k(v,v) 換成一個(gè)極大的數(shù)，例如可以換成 k(v,v)*1E8
k(v,v) ---> k(v,v) * 1E8
2. 將v自由度相應(yīng)節(jié)點(diǎn)載荷 F(v) 換成 F(v) * 1E8 * b
F(v) ---> F(v) * 1E8 * b
3. 其余均保留不變，求出的
v =~ b
此方法的處理只需要修改兩個(gè)數(shù)值即可，簡單方便，雖然求得的是近似值，但一般仍然推薦使用
劃0置1法
假設(shè)v自由度的位移已知為b(b可以為0或者其他任意值)。
位移為0
1. 只保留相應(yīng)主對(duì)角線上的元素k(v,v)，其所在行(v)列(v)上其他元素均改為0。
2. 在載荷向量中，令F(v)=0
此時(shí)，求出的v = 0是精確解
位移不為0
1. 只保留相應(yīng)主對(duì)角線上的元素 k(v,v)，其所在行(v)列(v)上其他元素均改為0。
2. 在載荷向量中，令
F(v) = k(v,v)*b
F(i) = F(i) - k(i,v)*b i != v
此時(shí)，求出的v = b是精確解
劃0置1法處理上比置大數(shù)法要麻煩不少，雖然求得的是精確解，但是還是使用比較少
展開 入門邊界元法（記錄自用）
http://blog.sina.com.cn/s/blog_68c287690102zx2n.html
DEFORM利用邊界元法模擬感應(yīng)加熱+淬火[2D ] ￥10
此示例需要一個(gè)額外的 DAT 文件 (DEF_INDH.DAT)，文件中中第一行“0”表示需要使用邊界元素技術(shù)（BEM），第二行“5”表示需要計(jì)算電壓的步長。親測(cè)沒有這個(gè)文件計(jì)算結(jié)果差別有點(diǎn)大。
要點(diǎn)：
感應(yīng)加熱
淬火
溫度窗口的使用
1 模擬控制設(shè)置
跟往常一樣，新建一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)入前處理，點(diǎn)擊2D模式，然后進(jìn)入模擬控制窗口，勾選相轉(zhuǎn)變和感應(yīng)加熱模式。總步數(shù)設(shè)置200步，5步一存，步長0.1s/step也就是說整個(gè)模擬過程持續(xù)20s。
2 建立對(duì)象
添加3個(gè)對(duì)象，分別為坯料和上下模。
2.1 坯料設(shè)置
坯料由于考慮熱應(yīng)力，故設(shè)置成彈塑性體，材料選擇AISI-1045-trans。需要注意的是計(jì)算感應(yīng)加熱時(shí)，坯料和線圈均需要設(shè)置電/磁參數(shù)。另外，計(jì)算熱處理相轉(zhuǎn)變需要有各個(gè)相以及相轉(zhuǎn)變熱力學(xué)、動(dòng)力學(xué)模型。
導(dǎo)入坯料幾何模型，本次通過文件方式導(dǎo)入。
給坯料劃分網(wǎng)格，為了演示劃分2400個(gè)網(wǎng)格，實(shí)際計(jì)算時(shí)可將坯料邊界的網(wǎng)格進(jìn)行局部細(xì)化。
邊界條件設(shè)置。首先是考慮對(duì)稱邊界條件，將坯料左邊進(jìn)行x軸方向固定，下邊進(jìn)行Y方向固定。
展開 簡述幾種常用數(shù)值方法的優(yōu)勢(shì)及適用性
邊界元法（BEM, Boundary Element Method）
邊界元法是在經(jīng)典積分方程法和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種數(shù)值方法,與有限元法在求解域內(nèi)劃分單元的思想不同，邊界元法只在定義域的邊界上劃分單元，將邊界積分方程離散化為線性代數(shù)方程組，通過求解這些方程組得到邊界節(jié)點(diǎn)物理量。
邊界元法只需要在邊界上進(jìn)行離散，降低了求解問題的維數(shù)，減少了計(jì)算的自由度，計(jì)算速度快、精度高；對(duì)無窮邊界或邊界條件占主導(dǎo)的問題具有較好的適用性，但較難應(yīng)用在非均勻介質(zhì)問題或大規(guī)模復(fù)雜問題。
作為一種準(zhǔn)確而高效的計(jì)算方法，邊界元法廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析、電磁場分析、流體力學(xué)等工程領(lǐng)域。比如在結(jié)構(gòu)分析中，邊界元法在解決彈性、彈塑性、斷裂力學(xué)等方面具有很大優(yōu)勢(shì)；在電磁場分析中，可以用于求解靜電場、磁場、電磁場耦合等問題，提供各種電場特性如電勢(shì)、電場強(qiáng)度、電流分布等信息。
數(shù)值方法不一而足，每種方法在求解不同類型問題時(shí)各具優(yōu)缺點(diǎn)。除上述幾種方法，還有物質(zhì)點(diǎn)法（適合模擬涉及材料特大變形和斷裂破碎等問題）、譜方法（適合計(jì)算流體力學(xué)復(fù)雜流場問題）、時(shí)域有限差分（適合求解電磁波場分布）、格子玻爾茲曼（求解CFD問題）、絕對(duì)坐標(biāo)法（求解多體動(dòng)力學(xué)問題）等。
各種數(shù)值方法并非只能單獨(dú)使用，通常會(huì)結(jié)合實(shí)際問題選擇適合的方法組合使用，以獲得更精確、穩(wěn)定、高效的解決方案。
工業(yè)軟件也是如此。
云道智造自主研發(fā)的通用多物理場仿真PaaS平臺(tái)伏圖（Simdroid，點(diǎn)擊文字可申請(qǐng)?jiān)囉茫┚邆涠喾N自主可控的通用求解器，支持多物理場耦合仿真。其中隱式結(jié)構(gòu)、顯式動(dòng)力學(xué)、熱、低頻電磁、高頻電磁等模塊采用有限元法，流體、電子散熱模塊采用有限體積法，多體動(dòng)力學(xué)模塊采用絕對(duì)坐標(biāo)法。下一步，將在高頻電磁模塊引入邊界元法和時(shí)域有限差分。
展開 
基于多面體比例邊界有限元法的混凝土壩地震響應(yīng)分析
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<figure class="figure-image" data-img="https://img.jishulink.com/202407/attachment/03ccdac5ed814e0aa972e93cde6e8994.png" style="text-align: center">
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展開 第二屆比例邊界有限元法最新進(jìn)展研討會(huì)將在大連召開
來源：中國力學(xué)學(xué)會(huì)
如何利用邊界元方法進(jìn)行聲學(xué)建模
圖片來自振動(dòng)聲學(xué)揚(yáng)聲器仿真：基于混合 BEM-FEM 法的多物理場教學(xué)模型。
利用邊界元法，我們只需對(duì)鄰近建模域的表面劃分網(wǎng)格。這意味著不需要對(duì)大型體積進(jìn)行網(wǎng)格劃分（有限元法則不然），因此基于 BEM 的接口尤其適用于涉及輻射和散射，且擁有詳細(xì) CAD 幾何的模型。該接口還提供了內(nèi)置條件，供用戶設(shè)置無限硬聲場邊界（壁）或無限軟聲場邊界。這些邊界條件對(duì)建模十分有利，例如在水下聲學(xué)問題中，無限軟聲場邊界可用于模擬海洋表面。
對(duì)于包含大型流體域的問題，基于 BEM 的接口通常更具優(yōu)勢(shì)，若使用 FEM，就必須創(chuàng)建對(duì)大型體積進(jìn)行網(wǎng)格劃分，而較大的三維網(wǎng)格會(huì)導(dǎo)致內(nèi)存溢出。針對(duì)類似情況，邊界元法甚至能夠拓寬 COMSOL Multiphysics 可處理的問題類型。這些問題的一些相關(guān)示例包括：
無限壁或無限軟聲場邊界與輻射對(duì)象相距很遠(yuǎn)（就波長而言）的模型
散射對(duì)象和輻射對(duì)象相距很遠(yuǎn)且發(fā)生相互作用的模型
復(fù)雜非緊湊幾何的輻射問題，對(duì)此類問題使用 FEM 時(shí)，很難施加合適的輻射條件或完美匹配層（perfectly matched layer，簡稱 PML）
與散射對(duì)象相距很遠(yuǎn)的換能器陣列的示例圖。由于內(nèi)存需求很大，這種問題很難或者不可能單純利用有限元法來求解。邊界元法適用于求解此類模型（將球體移動(dòng)到遠(yuǎn)處不會(huì)增加計(jì)算量）。圖片來自聲納系統(tǒng)的蘑菇形換能器陣列教學(xué)模型。
針對(duì)相同數(shù)量的自由度（degrees of freedom，簡稱 DOF），邊界元法對(duì)計(jì)算能力的要求比有限元法更高，但另一方面，要獲得相同的精度，邊界元法要求的自由度一般比有限元法少得多。BEM 可生成完全填充且密集的系統(tǒng)矩陣，因此它需要使用與 FEM 不同的專用數(shù)值方法。
展開 計(jì)算流體力學(xué)常用的五大類數(shù)值方法簡介
由于單元的幾何形狀是規(guī)則的，因此在單元上構(gòu)造基函數(shù)可以遵循相同的法則，每個(gè)單元的有限元方程都具有相同的形式，可以用標(biāo)準(zhǔn)化的格式表示，其求解步驟也就變得很規(guī)范，即使是求解域剖分各單元的尺寸大小不一樣，其求解步驟也不用改變，這就為利用計(jì)算機(jī)編制通用程序進(jìn)行求解帶來了方便。
有限元法的主要優(yōu)點(diǎn)是對(duì)于求解區(qū)域的單元剖分沒有特別的限制，因此特別適合處理具有復(fù)雜邊界流場的區(qū)域。
邊界元法
邊界元法是在經(jīng)典積分方程和有限元法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的求解微分方程的數(shù)值方法，其基本思想是：將微分方程相應(yīng)的基本解作為權(quán)函數(shù)，應(yīng)用加權(quán)余量法并應(yīng)用格林函數(shù)導(dǎo)出聯(lián)系解域中待求函數(shù)值與邊界上的函數(shù)值與法向?qū)?shù)值之間關(guān)系的積分方程；令積分方程在邊界上成立，獲得邊界積分方程，該方程表述了函數(shù)值和法向?qū)?shù)值在邊界上的積分關(guān)系，而在這些邊界值中，一部份是在邊界條件中給定的，另一部份是待求的未知量，邊界元法就是以邊界積分方程作為求解的出發(fā)點(diǎn)，求出邊界上的未知量；在所導(dǎo)出的邊界積分方程基礎(chǔ)上利用有限元的離散化思想，把邊界離散化，建立邊界元代數(shù)方程組，求解后可獲得邊界上全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和法向?qū)?shù)值；將全部邊界值代入積分方程中，即可獲得內(nèi)點(diǎn)函數(shù)值的計(jì)算表達(dá)式，它可以表示成邊界節(jié)點(diǎn)值的線性組合。
邊界元法的優(yōu)點(diǎn)是：
(1) 將全解域的計(jì)算化為解域邊界上的計(jì)算，使求解問題的維數(shù)降低了一維，減少了計(jì)算工作量；
(2) 能夠方便地處理無界區(qū)域問題。例如對(duì)于勢(shì)流等的無限區(qū)域問題，使用邊界元法求解時(shí)由于基本解滿足無窮遠(yuǎn)處邊界條件，在無窮遠(yuǎn)處邊界上的積分恒等于零。
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