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因此相應的梯度場可以插值為：B矩陣的是由形函數對物理坐標的導數組成的。同理有：代入到弱形式方程中可得殘值方程；使用牛頓迭代法求解上述非線性系統。

以往廣泛應用的數值方案通常是：先把 積分點的數據外推到節點，再用線性形函數求梯度，然而這類方案只能用特定單元（如 C3D8），對自適應網格、復雜接觸不友好。

總位錯密度分為兩類（幾何必須位錯密度和統計位錯密度）：應變梯度與幾何必須位錯密度之間存在線性關系，其斜率為burger矢量的大小。因此作者以應變梯度為橋梁，搭建了材料微觀位錯密度演化與材料屈服面演化的關系，建立了考慮尺寸效應的剪切修正GTN模型。作者將該理論編寫了umat子程序。

https://www.yqgqt.org.cn/content/post/430177 第八篇：UMAT用戶子程序開發步驟。https://www.yqgqt.org.cn/content/post/432848 第九篇：編寫線性UMAT Step By Step。