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坐標系轉換關系：單元內任一點的應力，由4個高斯積分點應力進行插值時，可表示為其中，是基于高斯積分點的形函數，第一個積分點的坐標在母單元坐標系下為（-1，-1），根據上述的坐標系轉換的方式，在高斯積分點的坐標系下，第一個單元節點在高斯積分點坐標系下坐標為，將此坐標值代入第一個形函數，得，相同的道理，可推導至四個節點在4個形函數下的外插矩陣：對于Q8、Q9單元，

繼上次的推文：有限元計算過程中積分點應力如何外插至節點處？【公式推導篇】，本次分享單元積分點應力外插至節點處的數值實現過程。

5.77350269E-01 -5.77350269E-01 1.00000000E-02 npt = 3 coords = -5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02 npt = 4 coords = 5.77350269E-01 5.77350269E-01 1.00000000E-02 因此Abaqus中平面應力單元高斯積分點的順序為

總結inp中添加關鍵字輸出單元的積分點坐標：*EL FILE COORD輸出節點坐標：*NODE FILE COORD原貼出處：https://www.researchgate.net/post/How-to-find-integration-point-coordinates-in-Abaqus-CAE

image_process=/format,webp" data-initial-src="https://img.jishulink.com/upload/202308/865d98a129374c668e89080010b652c9.jpg"> </div><p>上式中，x的最高次數是3，因此我們采用2點高斯積分進行積分（2點高斯積分可以準確積分2*2-1階多項式），積分點位置和權重分別為（

(21)4、高斯積分公式（20）中的單元剛度矩陣通過數值積分求得，本案例中的四節點和八節點四邊形等參單元均采用2*2個積分點的高斯積分即可求得精確結果。高斯積分點的坐標具體如圖所示。

高斯積分的原理簡單來說是：對于f(x)在a-b區間的積分，我們可以取a到b之間的n個點，總的積分值等于這些點處的函數值的加權和。圖中的積分點坐標是等參坐標。等參變換可以理解為一種歸一化，等參變換不影響本文的討論，為理解上的直觀起見，本文仍采取自然坐標xy描述。以一個平面應力問題的四節點矩形單元為例。單元的坐標系建立在中心。

</strong></p><h2>2.5 高斯積分</h2><p>上述積分的計算需要使用數值積分，一維高斯積分點的坐標以及權系數如下：</p><p><img src="https://img.jishulink.com/msimage/202403/e2b09e5be1a98ebfad3d72b9372ef67f.png"></p><p>采用2x2x2的高斯積分點。

對于這樣一種線性單元，在構造剛度矩陣的時候，需要進行下式所示的積分。（四節點矩形單元應該是8×8)其中B矩陣是單元形函數對空間坐標的相關偏導，D矩陣是本構矩陣。該積分中的被積矩陣（8×8）的每一個元素都是一個三元函數，其針對單元域的積分值成為一個剛度系數。如上單元在高斯積分方案下的減縮積分就是取被積函數在積分域中心點的函數值乘以2（曾攀04P178），實際上就是梯形積分公式。

要點 為防止軸力過大出現“過度的剛性行為”，常常在梁單元內部增加一個節點，發揮“緩和”作用，增加的這個節點只有切線自由度，即切線位移，單元剛度矩陣的求解需要用到高斯數值積分。 三節點梁單元示意圖 如上圖所示，三節點梁單元共有 7 個自由度，需要兩個高斯積分點保證數值結果精度，節點順序按照上圖表示的來，中間節點為第三個節點。

U(ElementNodeDOF);%12*1 節點位移列陣 ElementNodeDisplacement=reshape(ElementNodeDisplacement,Dof,4);%3*4 % 計算單元應變 Strain3_3 3*3的應變矩陣 Strain3_3=ElementNodeDisplacement*NDxyz';%高斯積分點處應變 3*4 4*3

節點應力與積分點應力：不同單元類型提供的應力結果位置和精度不同。一般來說，積分點應力（高斯點應力）比節點應力更準確，但節點應力更便于結果展示和比較。對于線性縮減積分單元，節點應力是通過積分點應力外插和平均得到的，精度可能較低。 結果驗證策略：在混合使用不同類型單元時，應使交界處遠離模型中重點關注的區域，減少應力不連續等問題對關鍵部位分析結果的影響。

在 COMSOL Multiphysics 中，此問題在內部由熱膨脹多物理場耦合節點（以及吸濕膨脹 和插層應變 等類似特征）處理。非彈性應變場被重新插值到一個多項式階數，該階數與從位移場計算出的應變相匹配。這將減少局部應力解中的這種假象。逐點狀態還有另一種類型的非彈性應變根本不涉及場，而是在積分點（高斯點）處逐點的局部狀態。

有限元在求解結構問題時，最先得到的是各個節點的位移，再通過彈性力學方程得到單元的應力和應變，得到的單元應力應變實際上是一個函數，這個函數能夠描述單元內所有位置處的應力場。無疑，這樣沒法在軟件中顯示結果，因此單元解需要確定一些積分點（高斯點），通過積分得到這些積分點的解，這些積分點的解代表單元解。

(3) 15節點的三角形單元T1515節點的三角形單元(15 Noded Trangles)能夠更精確地表示應力應變關系，特別是對于軸對稱問題，目前只有Plaxis提供這種單元。T5對位移進行了四階插值，對12個高斯點(應力點)進行數值積分。T15單元能夠精確計算一些巖土工程特殊問題的應力，例如不可壓縮土層中的塌陷計算。

——勒讓德積分從上圖我們可以看出單元積分點的分布特別符合高斯——勒讓德積分域（-1，1），于是采用高斯——勒讓德積分，相應的積分點，權系數數值分析教材中肯定會涉及，針對兩點高斯積分，積分點為 ，權系數為1。